初中数学苏科版九年级上册2.6 正多边形与圆 同步测试
一、单选题
1．（2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.6正多边形与圆 第1课时 正多边形的概念及正多边形与圆的关系 同步训练）以下说法正确的是（ ）
A．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形
B．正n边形的对称轴不一定有n条．
C．正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．
D．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．
2．（北师大版数学九年级下册第三章第八节《圆内接正多边形》同步检测）正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
3．（2020九上·鄞州期末）圆内接正六边形的边长为3，则该圆的直径长为（ ）
A．3 B．3 C．3 D．6
4．（正多边形和圆++++++++++++ ）已知正六边形的边长为6，则它的边心距（ ）
A．3 B．6 C．3 D．
5．正三角形的外接圆的半径和高的比为（ ）
A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．1：
6．（2020九下·沈阳月考）如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．（2019·湖州）如图，已知正五边形 ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（ ）
A．60° B．70° C．72° D．144°
8．有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为( )
A．40 B．50 C．60 D．80
9．（2019九上·汕头期末）如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
10．如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
二、填空题
11．（2018九上·硚口月考）若正六边形的边长是4，则其半径是 ，边心距是 ，面积是
12．（正多边形和圆++++++++++++ ）在半径为R的圆中，它的内接正三角形、内接正方形、内接正六边形的边长之比为（ ）
A．1： ： B． ： ：1 C．1：2：3 D．3：2：1
13．（2020·南京）如图，在边长为 的正六边形 中，点P在BC上，则 的面积为 .
14．（2020·潜江模拟）如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在 上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n= .
15．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第二章圆 单元卷）如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为 ．
16．（2017·贵阳）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为 ．
三、解答题
17．（2018九上·丰城期中）如图，已知正三角形ABC内接于 ，AD是 的内接正十二边形的一条边长，连接CD，若 ，求 的半径．
18．如图，在半径为10cm的圆中作一个正六边形ABCDEF，试求此正六边形的面积．
19．（正多边形和圆++++++++++++ ）如图，已知正n边形边长为a，边心距为r，求正n边形的半径R、周长P和面积S．
20．如图，半径为R的圆内，ABCDEF是正六边形，EFGH是正方形．
（1）求正六边形与正方形的面积比；
（2）连接OF、OG，求∠OGF．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：A、每个内角都是120°的六边形不一定是正六边形，故A不符合题意；
B、正n边形的对称轴一定有n条，故B不符合题意；
C、正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数，故C符合题意；
D、正偶数边的多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．正奇数边的多边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据正n边形的性质，分别对各个选项作出判断，就可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】设这个正多边形的边数是n，
∵正多边形的中心角是36°，
∴360°
n =36°，解得n=10．
故选A．
【分析】设这个正多边形的边数是n，再根据正多边形的中心角是36°求出n的值即可．
3．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵圆内接正六边形的边长为3，
∴该圆的半径为3，
∴直径为2×3=6.
故答案为：D.
【分析】利用圆内接正六边形的边长和半径相等，就可求出该圆的直径。
4．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，此正六边形中AB=6，
则∠AOB=60°；
∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∵OG⊥AB，
∴∠AOG=30°，
∴OG=OA cos30°=6× =3 ，
故选A．
【分析】已知正六边形的边长为6，欲求边心距，可通过边心距、边长的一半和内接圆半径构造直角三角形，通过解直角三角形求解即可．
5．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB，AO，延长AO交BC于D，
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴AD⊥BC，∠OBC= ∠ABC= ×60°=30°，
∵∠ADB=90°，∠OBC=30°，
∴OD= OB，
∵AD=OA+OD，
∴AD=OB+ OB= OB，
即OB：AD=OB：（ OB）=2：3.
故答案为：B.
【分析】连接OB，AO，延长AO交BC于D，根据⊙O是等边三角形ABC的外接圆求出∠OBC=30°，推出OB=2OD，求出AD= OB，代入求出即可.
6．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，
∵⊙O的周长等于4πcm，
∴⊙O的半径为： ＝2cm，
∵ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴OA＝OB＝AB＝2cm，
∵OG⊥AB，
∴AG＝BG＝ AB＝1 cm，
∴OG＝ cm，
∴S△AOB＝ AB OG＝ ×2× ＝ cm2，
∴它的内接正六边形ABCDEF的面积是6S△AOB＝ cm2.
故答案为：C.
【分析】根据⊙O的周长等于4πcm，可得⊙O的半径为2，然后求出三角形AOB的面积，进而根据圆内接正六边形ABCDEF的面积等于6倍三角形AOB的面积即可解答.
7．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠ABC=∠C= (5 2)×180°=108°，
∵CD=CB，
∴∠CBD== (180° 108°)=36°，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=72°，
故答案为：C.
【分析】由正多边形的内角和公式可求得∠ABC和∠C的度数，又由等边对等角可知∠CBD=∠CDB，从而可求得∠CBD，进而求得∠ABD。
8．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】
过C作CL⊥AD于L，连接HE，则四边形ADEH是矩形；
设正八边形的边长为a，AD=h，
则S△ADE=
DE AD=ah=10，ah=20，即S矩形ADEH=20，
∵正八边形的内角度数为=135°，
∴∠LCD=135°-90°=45°，
∴△CDL是等腰直角三角形，设CL=x，
∴CD2=CL2+LD2，即a2=x2+x2，x=a，
∴AD=h=a+a，
∵ah=20，
∴（1+)a2=20，a2=，
∴S梯形ABCD=
同理，S梯形EFGH=10，
∴S正八边形ABCDEFGH=S梯形ABCD+S梯形ABCD+S矩形ADEH=10+10+20=40．
故选A．
另解：取AE中点I，则点I为圆的圆心，圆内接正八边形ABCDEFGH是由8个与△IDE全等的三角形构成．易得△IDE的面积为5，则圆内接正八边形ABCDEFGH为8×5=40．
【分析】过C作CL⊥AD于L，连接HE，设正八边形的边长为a，AD=h；先根据△ADE的面积求出矩形ADEH的面积，再根据正多边形内角和定理求出各内角的度数，判断出△CDL的形状，求出边长；进一步可求出梯形ABCD的面积，根据S正八边形ABCDEFGH=S梯形ABCD+S梯形ABCD+S矩形ADEH即可解答．本题比较复杂，涉及到正多边形的性质、直角三角形的性质及梯形的面积公式，解答此题的关键是作出辅助线构造出直角三角形解答
9．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接AC、GE、EC，如图所示：
则四边形ACEG为正方形，
∴∠EAG＝45°，
故答案为：C
【分析】根据正八边形的性质可求出各内角以及判断出各边相等，从而可判断出四边形ACEG为正方形，故可求出∠EAG。
10．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】因为五边形的各边长都和小圆的周长相等，所有小圆在每一边上滚动正好一周，另外五边形的外角和为360°，所有小圆在五个角处共滚动一周，可以求出小圆滚动的圈数．
【解答】因为五边形的各边长都和小圆的周长相等，所有小圆在每一边上滚动正好一周，在五条边上共滚动了5周．由于每次小圆从五边形的一边滚动到另一边时，都会翻转72°，所以小圆在五个角处共滚动一周．因此，总共是滚动了6周．
故选：C．
【点评】本题考查的是对圆的认识，根据圆的周长与五边形的边长相等，可以知道圆在每边上滚动一周．然后由多边形外角和是360°，可以知道圆在五个角处滚动一周．因此可以求出滚动的总圈数．
11．【答案】4；2 ；24
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，
因为六边形ABCDEF是正六边形，
所以∠BOC=360°·
=60°.
∵OB=OC，即△OBC是等边三角形.
∴OB=OC=BC=4，
所以半径为4，边长为4.
∵在直角三角形OBH中，OH=OB·sin60°=2
.
即边心距为2
.
S正六边形ABCDEF=6·
·4·2
=12
.
所以答案为4，2 24 .
【分析】连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，由正六边形的性质易得△OBC是等边三角形.所以所以半径=边长可求解；然后解直角三角形OBH即可求得正六边形ABCDEF的边心距；根据S正六边形ABCDEF=6S△OBC可求得正六边形ABCDEF的面积.
12．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图1所示，
在正三角形ABC中连接OB，过O作OD⊥BC于D，
则∠OBC=30°，BD=OB cos30°= R，
故BC=2BD= R；
如图2所示，
在正方形ABCD中，连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，
则△OBE是等腰直角三角形，
2BE2=OB2，即BE= R，
故BC= R；
如图3所示，
在正六边形ABCDEF中，连接OA、OB，过O作OG⊥AB，
则△OAB是等边三角形，
故AG=OA cos60°= R，AB=2AG=R，
∴圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 R： R：R= ： ：1．
故选：B．
【分析】根据题意画出图形，再由正多边形的性质及直角三角形的性质求解即可．
13．【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接 过A作 于G，
正六边形 ，
故答案为：
【分析】如图，连接BF 过 作 于G，利用正六边形的性质求解 的长，利用 与 上的高相等，从而可得答案.
14．【答案】24
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】连接OC，
∵AB是⊙O内接正六边形的一边，
∴
∵BC是⊙O内接正八边形的一边，
∴
∴
∴
故答案为24；
【分析】根据中心角的度数=360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，则∠AOC=15°，则边数n=360°÷中心角.
15．【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】连接OC、OD、OE、OG，作OI⊥EG，
∵正方形ABCD，∴∠COD=90°，
∴OC2+OD2=CD2，
∴2OC2=42，OC= ，
又等边△EFG，∴∠EOG=120°，
∵OI⊥EG，∴∠OIG=90°，∠IOG=60°，
∴OGI=30°，OI= OG= ，
∴IG= = ，
∴EG=2IG= 。
故答案为： 。
【分析】由正方形的中心角是90°结合勾股定理可求出⊙O的半径，再根据正三角形的中心角，利用垂径定理结合勾股定理即可求出EG长，即正三角形的边长。
16．【答案】3
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，
∴∠BOM= =30°，
∴OM=OB cos∠BOM=6× =3 ；
故答案为：3 ．
【分析】先根据圆内接正多边形性质得到∠BOM度数。再应用解直角三形进行解答即可得到结论.
17．【答案】解：如图所示，连接OA、O
D、OC，
等边 内接于 ，AD为内接正十二边形的一边，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
即 的半径为6cm．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】 如图所示，连接OA，OD，OC，根据圆内接正多边形的性质求出∠AOC、∠AOD的度数，从而求出∠COD的度数，继而求出△OCD为等腰直角三角形，由OC=OD=CD，即可求出半径.
18．【答案】解：连接OA，OB，且过点O作OH⊥AB，由正六边形ABCDEF可得△OAB是等边三角形，∴AB=OA=10，∴OH=OAsin60°=10×=5，∴S△OAB=×AB×OH=×10×5=25，∴S正六边形ABCDEF=6×25=150cm2．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】连接OA，OB，且过点O作OH⊥AB，易求△OAB的面积，所以正六边形ABCDEF的面积是6倍的△OAB的面积，问题得解．
【分析】连接OA，OB，且过点O作OH⊥AB，易求△OAB的面积，所以正六边形ABCDEF的面积是6倍的△OAB的面积，问题得解．
19．【答案】解：∵正n边形边长为a，OM⊥AB，OA=OB，
∴AM= AB= a，
∵边心距为r，
∴正n边形的半径R= = = ；
∴周长P=na；
∴面积S=nS△OAB=n× a×r= nar
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】由正n边形边长为a，边心距为r，利用勾股定理即可求得正n边形的半径R，继而求得周长P，然后由面积S=nS△OAB求得答案．
20．【答案】（1）解：设正六边形的边长为a，则三角形OEF的边EF上的高为a，
则正六边形的面积为：6××a×a=a2，
∴正方形的面积为：a×a=a2，
∴正六边形与正方形的面积比a2：a2=3：2；
（2）解：∵OF=EF=FG，
∴∠OGF=（180°﹣60°﹣90°）=15°．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）设正六边形的边长为a，可表示出正六边形的面积以及正方形的面积，求比值即可；
（2）根据正六边形的边长等于外接圆的半径，可得出三角形OFG是正三角形，即可得出答案．
1 / 1初中数学苏科版九年级上册2.6 正多边形与圆 同步测试
一、单选题
1．（2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.6正多边形与圆 第1课时 正多边形的概念及正多边形与圆的关系 同步训练）以下说法正确的是（ ）
A．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形
B．正n边形的对称轴不一定有n条．
C．正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．
D．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：A、每个内角都是120°的六边形不一定是正六边形，故A不符合题意；
B、正n边形的对称轴一定有n条，故B不符合题意；
C、正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数，故C符合题意；
D、正偶数边的多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．正奇数边的多边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据正n边形的性质，分别对各个选项作出判断，就可得出答案。
2．（北师大版数学九年级下册第三章第八节《圆内接正多边形》同步检测）正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】设这个正多边形的边数是n，
∵正多边形的中心角是36°，
∴360°
n =36°，解得n=10．
故选A．
【分析】设这个正多边形的边数是n，再根据正多边形的中心角是36°求出n的值即可．
3．（2020九上·鄞州期末）圆内接正六边形的边长为3，则该圆的直径长为（ ）
A．3 B．3 C．3 D．6
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵圆内接正六边形的边长为3，
∴该圆的半径为3，
∴直径为2×3=6.
故答案为：D.
【分析】利用圆内接正六边形的边长和半径相等，就可求出该圆的直径。
4．（正多边形和圆++++++++++++ ）已知正六边形的边长为6，则它的边心距（ ）
A．3 B．6 C．3 D．
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，此正六边形中AB=6，
则∠AOB=60°；
∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∵OG⊥AB，
∴∠AOG=30°，
∴OG=OA cos30°=6× =3 ，
故选A．
【分析】已知正六边形的边长为6，欲求边心距，可通过边心距、边长的一半和内接圆半径构造直角三角形，通过解直角三角形求解即可．
5．正三角形的外接圆的半径和高的比为（ ）
A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．1：
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB，AO，延长AO交BC于D，
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴AD⊥BC，∠OBC= ∠ABC= ×60°=30°，
∵∠ADB=90°，∠OBC=30°，
∴OD= OB，
∵AD=OA+OD，
∴AD=OB+ OB= OB，
即OB：AD=OB：（ OB）=2：3.
故答案为：B.
【分析】连接OB，AO，延长AO交BC于D，根据⊙O是等边三角形ABC的外接圆求出∠OBC=30°，推出OB=2OD，求出AD= OB，代入求出即可.
6．（2020九下·沈阳月考）如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，
∵⊙O的周长等于4πcm，
∴⊙O的半径为： ＝2cm，
∵ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴OA＝OB＝AB＝2cm，
∵OG⊥AB，
∴AG＝BG＝ AB＝1 cm，
∴OG＝ cm，
∴S△AOB＝ AB OG＝ ×2× ＝ cm2，
∴它的内接正六边形ABCDEF的面积是6S△AOB＝ cm2.
故答案为：C.
【分析】根据⊙O的周长等于4πcm，可得⊙O的半径为2，然后求出三角形AOB的面积，进而根据圆内接正六边形ABCDEF的面积等于6倍三角形AOB的面积即可解答.
7．（2019·湖州）如图，已知正五边形 ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（ ）
A．60° B．70° C．72° D．144°
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠ABC=∠C= (5 2)×180°=108°，
∵CD=CB，
∴∠CBD== (180° 108°)=36°，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=72°，
故答案为：C.
【分析】由正多边形的内角和公式可求得∠ABC和∠C的度数，又由等边对等角可知∠CBD=∠CDB，从而可求得∠CBD，进而求得∠ABD。
8．有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为( )
A．40 B．50 C．60 D．80
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】
过C作CL⊥AD于L，连接HE，则四边形ADEH是矩形；
设正八边形的边长为a，AD=h，
则S△ADE=
DE AD=ah=10，ah=20，即S矩形ADEH=20，
∵正八边形的内角度数为=135°，
∴∠LCD=135°-90°=45°，
∴△CDL是等腰直角三角形，设CL=x，
∴CD2=CL2+LD2，即a2=x2+x2，x=a，
∴AD=h=a+a，
∵ah=20，
∴（1+)a2=20，a2=，
∴S梯形ABCD=
同理，S梯形EFGH=10，
∴S正八边形ABCDEFGH=S梯形ABCD+S梯形ABCD+S矩形ADEH=10+10+20=40．
故选A．
另解：取AE中点I，则点I为圆的圆心，圆内接正八边形ABCDEFGH是由8个与△IDE全等的三角形构成．易得△IDE的面积为5，则圆内接正八边形ABCDEFGH为8×5=40．
【分析】过C作CL⊥AD于L，连接HE，设正八边形的边长为a，AD=h；先根据△ADE的面积求出矩形ADEH的面积，再根据正多边形内角和定理求出各内角的度数，判断出△CDL的形状，求出边长；进一步可求出梯形ABCD的面积，根据S正八边形ABCDEFGH=S梯形ABCD+S梯形ABCD+S矩形ADEH即可解答．本题比较复杂，涉及到正多边形的性质、直角三角形的性质及梯形的面积公式，解答此题的关键是作出辅助线构造出直角三角形解答
9．（2019九上·汕头期末）如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接AC、GE、EC，如图所示：
则四边形ACEG为正方形，
∴∠EAG＝45°，
故答案为：C
【分析】根据正八边形的性质可求出各内角以及判断出各边相等，从而可判断出四边形ACEG为正方形，故可求出∠EAG。
10．如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】因为五边形的各边长都和小圆的周长相等，所有小圆在每一边上滚动正好一周，另外五边形的外角和为360°，所有小圆在五个角处共滚动一周，可以求出小圆滚动的圈数．
【解答】因为五边形的各边长都和小圆的周长相等，所有小圆在每一边上滚动正好一周，在五条边上共滚动了5周．由于每次小圆从五边形的一边滚动到另一边时，都会翻转72°，所以小圆在五个角处共滚动一周．因此，总共是滚动了6周．
故选：C．
【点评】本题考查的是对圆的认识，根据圆的周长与五边形的边长相等，可以知道圆在每边上滚动一周．然后由多边形外角和是360°，可以知道圆在五个角处滚动一周．因此可以求出滚动的总圈数．
二、填空题
11．（2018九上·硚口月考）若正六边形的边长是4，则其半径是 ，边心距是 ，面积是
【答案】4；2 ；24
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，
因为六边形ABCDEF是正六边形，
所以∠BOC=360°·
=60°.
∵OB=OC，即△OBC是等边三角形.
∴OB=OC=BC=4，
所以半径为4，边长为4.
∵在直角三角形OBH中，OH=OB·sin60°=2
.
即边心距为2
.
S正六边形ABCDEF=6·
·4·2
=12
.
所以答案为4，2 24 .
【分析】连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，由正六边形的性质易得△OBC是等边三角形.所以所以半径=边长可求解；然后解直角三角形OBH即可求得正六边形ABCDEF的边心距；根据S正六边形ABCDEF=6S△OBC可求得正六边形ABCDEF的面积.
12．（正多边形和圆++++++++++++ ）在半径为R的圆中，它的内接正三角形、内接正方形、内接正六边形的边长之比为（ ）
A．1： ： B． ： ：1 C．1：2：3 D．3：2：1
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图1所示，
在正三角形ABC中连接OB，过O作OD⊥BC于D，
则∠OBC=30°，BD=OB cos30°= R，
故BC=2BD= R；
如图2所示，
在正方形ABCD中，连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，
则△OBE是等腰直角三角形，
2BE2=OB2，即BE= R，
故BC= R；
如图3所示，
在正六边形ABCDEF中，连接OA、OB，过O作OG⊥AB，
则△OAB是等边三角形，
故AG=OA cos60°= R，AB=2AG=R，
∴圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 R： R：R= ： ：1．
故选：B．
【分析】根据题意画出图形，再由正多边形的性质及直角三角形的性质求解即可．
13．（2020·南京）如图，在边长为 的正六边形 中，点P在BC上，则 的面积为 .
【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接 过A作 于G，
正六边形 ，
故答案为：
【分析】如图，连接BF 过 作 于G，利用正六边形的性质求解 的长，利用 与 上的高相等，从而可得答案.
14．（2020·潜江模拟）如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在 上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n= .
【答案】24
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】连接OC，
∵AB是⊙O内接正六边形的一边，
∴
∵BC是⊙O内接正八边形的一边，
∴
∴
∴
故答案为24；
【分析】根据中心角的度数=360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，则∠AOC=15°，则边数n=360°÷中心角.
15．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第二章圆 单元卷）如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为 ．
【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】连接OC、OD、OE、OG，作OI⊥EG，
∵正方形ABCD，∴∠COD=90°，
∴OC2+OD2=CD2，
∴2OC2=42，OC= ，
又等边△EFG，∴∠EOG=120°，
∵OI⊥EG，∴∠OIG=90°，∠IOG=60°，
∴OGI=30°，OI= OG= ，
∴IG= = ，
∴EG=2IG= 。
故答案为： 。
【分析】由正方形的中心角是90°结合勾股定理可求出⊙O的半径，再根据正三角形的中心角，利用垂径定理结合勾股定理即可求出EG长，即正三角形的边长。
16．（2017·贵阳）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为 ．
【答案】3
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，
∴∠BOM= =30°，
∴OM=OB cos∠BOM=6× =3 ；
故答案为：3 ．
【分析】先根据圆内接正多边形性质得到∠BOM度数。再应用解直角三形进行解答即可得到结论.
三、解答题
17．（2018九上·丰城期中）如图，已知正三角形ABC内接于 ，AD是 的内接正十二边形的一条边长，连接CD，若 ，求 的半径．
【答案】解：如图所示，连接OA、O
D、OC，
等边 内接于 ，AD为内接正十二边形的一边，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
即 的半径为6cm．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】 如图所示，连接OA，OD，OC，根据圆内接正多边形的性质求出∠AOC、∠AOD的度数，从而求出∠COD的度数，继而求出△OCD为等腰直角三角形，由OC=OD=CD，即可求出半径.
18．如图，在半径为10cm的圆中作一个正六边形ABCDEF，试求此正六边形的面积．
【答案】解：连接OA，OB，且过点O作OH⊥AB，由正六边形ABCDEF可得△OAB是等边三角形，∴AB=OA=10，∴OH=OAsin60°=10×=5，∴S△OAB=×AB×OH=×10×5=25，∴S正六边形ABCDEF=6×25=150cm2．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】连接OA，OB，且过点O作OH⊥AB，易求△OAB的面积，所以正六边形ABCDEF的面积是6倍的△OAB的面积，问题得解．
【分析】连接OA，OB，且过点O作OH⊥AB，易求△OAB的面积，所以正六边形ABCDEF的面积是6倍的△OAB的面积，问题得解．
19．（正多边形和圆++++++++++++ ）如图，已知正n边形边长为a，边心距为r，求正n边形的半径R、周长P和面积S．
【答案】解：∵正n边形边长为a，OM⊥AB，OA=OB，
∴AM= AB= a，
∵边心距为r，
∴正n边形的半径R= = = ；
∴周长P=na；
∴面积S=nS△OAB=n× a×r= nar
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】由正n边形边长为a，边心距为r，利用勾股定理即可求得正n边形的半径R，继而求得周长P，然后由面积S=nS△OAB求得答案．
20．如图，半径为R的圆内，ABCDEF是正六边形，EFGH是正方形．
（1）求正六边形与正方形的面积比；
（2）连接OF、OG，求∠OGF．
【答案】（1）解：设正六边形的边长为a，则三角形OEF的边EF上的高为a，
则正六边形的面积为：6××a×a=a2，
∴正方形的面积为：a×a=a2，
∴正六边形与正方形的面积比a2：a2=3：2；
（2）解：∵OF=EF=FG，
∴∠OGF=（180°﹣60°﹣90°）=15°．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）设正六边形的边长为a，可表示出正六边形的面积以及正方形的面积，求比值即可；
（2）根据正六边形的边长等于外接圆的半径，可得出三角形OFG是正三角形，即可得出答案．
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