人教版数学七年级下册 第五章 相交线与平行线5.3.2 命题、定理、证明 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
5.3.2 命题、定理、证明
第五章 相交线与平行线
1.理解命题，定理及证明的概念，会区分命题的题设和结论.
2.会判断真假命题，知道证明的意义及必要性，了解反例的作用.
3.理解证明要步步有据，培养学生养成科学严谨的学习态度.
重点难点：
1.能够理解命题的概念和会区分命题的题设和结论．
2.会判断真假命题，了解反例的作用.
学习目标：
秦哲学家公孙龙(约公元前320-前250年)提出一个非常经典的辩论“白马非马”，也就是白马并不是马.他提出多种理由来论证，比如，只要是马，黄马黑马都可以，但白马只能是白马，不能是黄马黑马，所以白马非马.你同意公孙龙的观点吗？
情景导入
知识点一 命题的概念
知识精讲
前面, 我们学过一些对某一件事情作出判断的语句, 例如:
（1）如果两条直线都与第三条直线平行, 那么这两条直线 也互相平行;
（2）两条平行线被第三条直线所截, 同旁内角互补;
（3）对顶角相等;
（4）等式两边加同一个数, 结果仍是等式.
像这样判断一件事情的语句, 叫做命题（proposition）.
注意：1.只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题.如：相等的角是对顶角.
2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.如：画线段AB = CD.
例1 判断下列四个语句中，哪个是命题， 哪个不是命题？并说明理由：
（1）对顶角相等吗？
（2）画一条线段AB=2cm;
（3）两条直线平行，同位角相等；
（4）相等的两个角，一定是对顶角.
解：（3）（4）是命题，（1）（2）不是命题.
理由如下：（1）是问句，故不是命题；
（2）是做一件事情，也不是命题.
针对练习
1.下列语句：①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③希望明天下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁内角不互补，两直线不平行．其中是命题的是(　　)
A．①②③ 　 B．①②⑤
C．①②④⑤ 　 D．①②④
B
知识点二 命题的构成
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同伴交流.
（1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形的周长相等；
（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；
（3）如果一个数的平方等于9，那么这个数是3.
都是“如果……那么……”的形式
命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式.
1.“如果”后接的部分是题设,
2.“那么”后接的部分是结论.
如命题：熊猫没有翅膀.改写为：
如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀.
注意：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套.
命题
题设
结论
已知事项
由已知事项推出的事项
两直线平行，
题设（条件）
结论
命题的组成：
有些命题的题设和结论不明显，要经过分析才能找出题设和结论，从而将它们写成“如果……那么……”的形式. 例如，命题“对顶角相等”可以写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”.
同位角相等
例2 分别把下列命题写成“如果……那么……”的形式.
(1)两点确定一条直线；
(2)等角的补角相等；
(3)内错角相等.
解：(1)如果有两个定点，那么过这两点有且只有一条直线；
(2)如果两个角分别是两个等角的补角，那么这两个角相等；
(3)如果两个角是内错角，那么这两个角相等.
针对练习
1.请将它们改写成“如果……，那么……”的形式.
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；
（3）同旁内角互补；
如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补；
如果等式两边都加同一个数，那么结果仍是等式；
如果两个数互为相反数，那么这两个数相加得0；
知识点三 真假命题的概念
有些命题如果题设成立，那么结论一定成立；而有些命题题设成立时，结论不一定成立.
正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.
如命题：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除”就是一个正确的命题.如命题：“如果两个角互补，那么它们是邻补角”就是一个错误的命题.
确定一个命题真假的方法：
利用已有的知识，通过观察、验证、推理、举反例等方法.
例3 指出下列命题的题设和结论，并判断是真命题还是假命题．
(1)互为补角的两个角相等；
(2)若：a＝b，则：；
(3)如果两个长方形的周长相等，那么这两个长方形的面积相等．
解：(1)题设：两个角互为补角；结论：这两个角相等．假命题．
(2)题设：a＝b；结论：a＋c＝b＋c.真命题．
(3)题设：两个长方形的周长相等；结论：这两个长方形的面积相等．假命题．
针对练习
1.下列命题：①垂线段最短；②同位角相等；③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；④内错角相等，两直线平行；⑤经过一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑥如果|x|＝2，那么x＝2. 其中真命题有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C
知识点四 定理与证明(举反例)
在前面，我们学过的一些图形的性质，都是真命题.其中有些命题是基本事实，如“两点确定一条直线”“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”等.还有一些命题，如“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”等的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理（theorem）. 定理也可以作为继续推理的依据.
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明（proof）.
下面，我们以证明命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”为例，来说明什么是证明.
证明：∵a⊥b (已知)，
∴∠1 = 90°(垂直的定义).
又b//c(已知)，
∴∠1 = ∠2(两直线平行，同位角相等).
∴ ∠2= ∠1 = 90°(等量代换).
∴a⊥c(垂直的定义).
例4 如图，已知直线b//c，a⊥b. 求证a⊥c.
1
2
a
b
c
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.
例如，要判定命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例：图中，OC是∠AOB的平分线，∠1=∠2，但它们不是对顶角.
1
2
O
A
B
C
针对练习
1.在下面的括号内，填上推理的根据.
如图，∠A＋∠B=180°，求证∠C＋∠D=180°.
证明：∵∠A＋∠B=180°，
∴AD∥BC(___________________________).
∴ ∠C＋∠D=180°(___________________________).
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
A
D
B
C
当堂检测
1.指出下列命题的题设和结论：
(1)如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC=90°;
(2)如果∠1=∠2， ∠2=∠3，那么∠1=∠3，;
(3)两直线平行，同位角相等.
解：(1)题设：AB⊥CD，垂足为O；结论：∠AOC＝90°.
(2)题设：∠1＝∠2，∠2＝∠3；结论：∠1＝∠3.
(3)题设：两直线平行；结论：同位角相等．
2.下列语句中，不是命题的是(　　)
A.两点之间线段最短 B.对顶角相等
C.不是对顶角不相等
D.过直线AB外一点P作直线AB的垂线
D
3.下列命题中，是真命题的是(　　)
A.若a·b＞0，则a＞0，b＞0
B.若a·b＜0，则a＜0，b＜0
C. 若a·b＝0，则a＝0且b＝0
D.若a·b＝0，则a＝0或b＝0
D
4.如图所示，已知AC与BD相交于点O，OE是∠AOD的平分线，可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例的是( )
A. ∠AOB＝∠DOC
B. ∠EOC＜∠DOC
C. ∠EOB＝∠EOC
D. ∠EOC＞∠DOC
C
5.在下面的括号内，填上推理的依据.
如图，AB ∥ CD,CB ∥ DE ,
求证∠ B+ ∠D=180°
证明：∵ AB ∥ CD,
∴ ∠B= ∠C( )
∵ CB ∥ DE
∴ ∠ C+ ∠ D=180°( )
∴ ∠ B+ ∠ D=180°( )
等量代换
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
证明：∵AB∥CD(已知)，
∴∠BPQ＝∠CQP(两直线平行,内错角相等)．又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已知)，
∴∠GPQ＝ ∠BPQ,∠HQP＝ ∠CQP(角平分线的定义)，
∴∠GPQ＝∠HQP(等量代换)，
∴PG∥HQ(内错角相等，两直线平行)．
6.如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直线MN所截，
交点分别为P，Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，
求证：PG∥HQ.
A
B
C
D
M
N
P
Q
H
G
课堂小结
真命题
假命题
公理
定理
（只需举一个反例）
（不需证明）
（由推理证实）
判断一件事情的句子
题设（如果引导的句子）
命题
定义
组成
结论（那么引导的句子）
分类