冀教版七年级下册数学 9.2.1三角形内角和定理 教案

三角形的内角和
教学目标
（一）知识与技能
三角形的内角和定理的证明.，学会初步利用辅助线证题
（二）过程与方法
通过三角形内角和定理的证明，培养学生观察、猜想和论证能力.
（三）情感与价值观
通过对几何问题的演绎推理，体会证明的重要性，树立学生对学习数学的信心。
教学重点
三角形内角和定理的证明及应用.
教学难点
三角形内角和定理的证明方法.
教学过程
一、情景引入
内角三兄弟之争
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷。
同学们，你们知道其中的道理吗？
学生活动：思考，讨论，回答
设计意图 ：创设情景，激发兴趣，为引入新课打好基础。
二、动手操作，探究发现
想一想：我们在小学就学习过三角形内角和等于180°，有什么办法可以验证呢？
把一个三角形的三个角拼在一起试试看
学生动手操作已经准备好的三角形纸片，独立完成拼合，相互交流，可能有如图3，4的拼合方式，拼合完成后进行交流，根据拼合的图形，容易发现三角形的三个内角的确是180°．
图2 图3 图4
教师活动设计：
引导学生对三角形的三个角进行拼合，可以出现不同的方法，这样才能让学生充分发挥自己的主动性和创新能力．
三角形三个内角的和等于180°
以上结论对任意三角形都成立吗？
三、 证明猜想，形成定理
师：按照上面的方法,已经可以验证三角形的内角和是180°,但是由于形状不同的三角形有无数多个,我们不可能通过上面的办法一一验证.再加上其验证过程中可能存在误差,不能保证其有效性.所以我们需要一种能证明任意一个三角形的内角和等于180°的方法.这个方法就是—证明.
一个命题是否正确,需要经过使人信服的推理论证才能得出结论.而证明是由命题的题设(已知)出发,经过严密的推理,最后推出结论(求证)正确的过程.
怎样证明
设计问题
1、１８０° 在图形上反映出来应该是一个什么样的角
2、有什么方法可以得到１８０°
答：１、平角的度数是１８０°
２、两直线平行，同旁内角的和是１８０°
3、 从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗
教师引导：要证三角形三个内角和是180°，观察图形，三个角间没什么关系，能不能象前面那样，把这三个角拼在一起呢？拼成什么样的角呢？
学生思考与180°有关的角后回答，可拼成：①平角，②两平行线间的同旁内角。教师引导，要把三角形三个内角转化为上述两种角，就要在原图形上添加一些线，这些线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线常画成虚线，添辅助线是解决问题的重要思想方法。
如图，已知△ABC，试说明∠A+∠B+∠C=180°．
图5
设计台阶：（若学生不能说出则设计如下问题引导）
在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点过A作PQ∥BC，
（如图）。他的想法可行吗？
学生活动设计
分组合作，小组讨论，然后进行交流，在交流中逐步完善自己的结果．经过讨论（若没有结果教师进行引导）发现，上述拼合的过程其实就是把三角形的内角经过一定手段进行转移，同时考虑平行线有转移角的功能，于是可以想到利用平行线来证明三角形的内角和，根据拼合的图形，学生进行讨论，发现可以有下列解决方案：
方案一：如图7，过点A作直线PQ∥BC．
∵PQ∥BC（已作），
∴∠PAB=∠B（两直线平行，内错角相等）；
∠QAC=∠C（两直线平行，内错角相等）．
∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°（平角定义），
∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）．
图7
方案二：如图6
图6
作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB．则
∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等）；
∠ECD=∠B（两直线平行，同位角相等）；
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°），
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）．
即：∠A+∠B+∠C=180°．
于是得到三角形内角和定理 三角形内角和等于180°．
四、例题讲解
由学生独立思考后，教师书写规范过程。
五、深化提高
C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向，从C岛看A、B两岛的视角是多少度？
分析
1 ∠ACB是△ABC的一个内角， 可利用三角形内角和定理求解
2 要求出∠ACB就要先求出∠ CAB和∠ CBA
3 ∠ CAB很容易求得，关键是怎样求得∠ CBA的度数
学生活动设计：
学生进行分析，寻找解决问题的方法．A、B、C三岛连线构成△ABC，而∠ACB是三角形的一个内角，于是只要求出∠CAB、∠ABC，就能求出∠ACB度数了．观察图形，容易得到∠CAB＝80°－50°＝30°，而由AD//BE可以得到∠EBA=180°－80°＝100°，进而可以得到∠CBA=100°－40°＝60°，所以有∠ACB＝180°－30°－60°＝90°．
教师活动设计：
组织学生进行探索，或分组讨论，经过讨论找到不同的解决方法，在解决问题的过程中，关注学生在推理过程中语言的准确性，引导学生用规范的格式进行书写．
其他的解决方法．
如图10，过C作CF//AD，容易得到CF//BE，于是∠DAC=∠ACF，∠FCB=∠EBC
所以∠ACB=∠DAC+∠EBC=90°．
图10
〔解答〕因为∠CAD=50°，∠DAB=80°
所以∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝30°
因为AD//BE，∠DAB＝80°
所以∠ABE=180°－∠DAB=100°
因为∠EBC=40°
所以∠ABC=60°
所以∠ACB=180°－∠ABC－∠BAC＝90°
答：从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°．体会辅助线的好处与转化的思想
思路总结
1 实际问题都可以转化为数学问题，通过数学问题的求解来解决实际问题。
2 三角形外的条件往往转化为三角形中的条件，利用三角形的有关性质来解决问题。
六、课堂小结
七、当堂检测
(3) 在△ABC中， ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则
∠A= ， ∠ B= ，∠ C= .
例：在△ABC中，∠A=30°，∠B=65°,求∠C的度数
三角形的内角和定理
内容
应用
三角形的内角和等于180°.
通过作辅助线，结合平行线的性质，验证定理
求三角形的内角度数.
(1) 在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C= .
(2) 在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是 三角形 .