初中数学苏科版九年级上册1.1-1.2一元二次方程及求解 同步练习
一、单选题
1．（2021·丽水）用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2） 2＝3
C．（x+2） 2＝5 D．（x+2） 2＝3
2．（2021·盂县模拟）将关于 的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关于 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·枣庄模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在“好点”的是（ ）
A．y＝﹣x B．y＝x+2 C．y D．y＝x2﹣2x
4．（2021·丽水模拟）若关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有实数根，则k的取值可能是（ ）
A．-2 B．0 C． D．1
5．（2021·东昌府模拟）一元二次方程 配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·深圳模拟）若关于x的一元二次方程kx2﹣x﹣ ＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＝0 B．k≥
C．k≥ 且k≠0 D．k＞
7．（2020·深圳模拟）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是（ ）
A．x＝2 B．x1＝0，x2＝2
C．x1＝2，x2＝1 D．x＝﹣1
8．（2021·光明模拟）已知y＝kx+k﹣1的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣x﹣k2﹣k＝0的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等或不相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
9．（2021·靖江模拟）已知 、 是关于 的方程 的两根，下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．方程必有一正根
10．（2021·永州模拟）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
11．（2021·永州模拟）方程 的解是（ ）
A．2或0 B．±2或0 C．2 D．－2或0
12．（2021·铁西模拟）已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．3 B． C．6 D．
13．（2021·惠阳模拟）关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·白云模拟）关于x的方程 （a为常数）无实数根，则点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
15．（2021·南海模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣2）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则k的最大整数值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．不存在
16．（2021·定远模拟）关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝m2（m为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个不相等实数根 B．两个相等实数根
C．没有实数根 D．无法判断根的情况
17．（2021八下·瑶海期中）下列方程中属于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2021八下·瑶海期中）关于 的一元二次方程 有实数根，则满足条件的正整数 的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
19．（2021·太原模拟）用配方法解方程x2﹣10x﹣1＝0时，变形正确的是（ ）
A．（x﹣5）2＝24 B．（x﹣5）2＝26
C．（x+5）2＝24 D．（x+5）2＝26
20．（2021·邢台模拟）若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题
21．（2021·丽水）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
已知实数a，b同时满足a2+2a＝b+2，b2+2b＝a+2，求代数式
的值．
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当a＝b时，a的值是 ．
（2）当a≠b时，代数式
的值是 ．
22．（2021·枣庄模拟）关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m 0有实数根，则实数m的取值范围是 ．
23．（2021·阳信模拟）如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1=0有两个实数根，那么k的取值范围是 ．
24．（2021·西宁模拟）已知 是方程 的一个根，则方程的另一个根是 ．
25．（2021·乐清模拟）若一元二次方程x2-6x+c=0有两个相等的实数根，则c=
26．（2021·龙华模拟）已知a是方程x2+3x﹣4＝0的根，则代数式2a2+6a+4的值是 ．
27．（2020·深圳模拟）一元二次方程x2﹣c＝0的一个根是2，则常数c的值是 ．
28．（2021·宽城模拟）若关于x的一元二次方程x2-4x-k=0有两个不相等的实数根，则k的值可以为 ．（写出一个即可）
29．（2021·顺德模拟）若关于x的一元二次方程x -2x+c=0没有实数根．则实数c取值范围是
30．（2021·永州模拟）把一元二次方程5x（x-3）=6-2x化成一般形式后常数项是
31．（2021八下·瑶海期中）若方程 ，满足 则方程必有一根为 ．
32．（2021·岫岩模拟）若关于x的一元二次方程 有两个实数根，则m的取值范围是 ．
33．（2021·东城模拟）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则c的最小值是 ．
三、计算题
34．（2020·深圳模拟）解方程： x2﹣x﹣1＝0．
四、解答题
35．（2021·嘉兴）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
小敏： 两边同除以（x﹣3），得 3＝x﹣3， 则x＝6． 小霞： 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
五、综合题
36．（2021·石景山模拟）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的 的值，并求此时方程的根．
37．（2021·海淀模拟）关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．
38．（2021八下·瑶海期中）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为 ①，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为 （ ， 为实数）， 叫做这个复数的实部， 叫做这个复数的虚部，它与整式的加法，减法，乘法运算类似．例如：解方程 ，解得： ， ．同样我们也可以化简 ．读完这段文字，请你解答以下问题：
（1）填空： ， ， ．
（2）已知 ，写出一个以 ， 的值为解的一元二次方程．
（3）在复数范围内解方程： ．
39．（2021八下·瑶海期中）对于实数 、 ，定义一种运算： ．
（1）求 的值：
（2）如果关于 的方程 有两个相等的实数根，求实数 的值．
40．（2021·丰台模拟）关于x的一元二次方程 ．
（1）若方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：移项得
x2+4x＝-1
配方得：
x2+4x+4＝-1+4
∴ （x+2） 2＝3
故答案为：D.
【分析】先移项，再在方程两边同时加上4，然后将方程左边写成完全平方公式即可.
2．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x＝ ，且x2＝x+1，
∴x3+1＝x x2+1
＝x（x+1）+1
＝x2+x+1
＝（x+1）+x+1
＝2x+2，
∵x＞0，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】先求出x＝ ，且x2＝x+1，再计算求解即可。
3．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解分式方程；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】
解：因为“好点”为横、纵坐标相等的点，所以令下列各项中y=x
A.x=-x，可得x=0，存在“好点”（0，0）；
B.x=x+2，方程无解，不存在“好点”；
C.，解得x=，存在“好点”；
D.x=x -2x，解得x=0或3，存在“好点”（0，0）和（3，3）。
故答案为：B
【分析】本题考查各类方程的解法，根据题干中“好点”的定义，令各个方程中的y=x，然后解方程看是否有解即可。
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有实数根，
∴，
解得且k≠1，
故答案为：C.
【分析】根据判别式和一元二次方程的定义即可列出方程组，求出k的取值范围即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ ，即 ，
故答案为：B．
【分析】先将常数项3移到等号右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后将方程左边写成完全平方式即可.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：△＝（﹣1）2﹣4×k×（ ）＝1+3k≥0，
∴k≥ ，
∵k≠0，
∴k≥ 且k≠0，
故答案为：C．
【分析】根据根的判别式即可求出答案。
7．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x（x﹣2）＝x﹣2，
∴x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x＝2或x＝1，
故答案为：C．
【分析】先移项，再利用因式分解求解一元二次方程即可。
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：本题首先由图像经过第一、三、四象限，
可知：k＞0，k﹣1＜0，
∴0＜k＜1，
则（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣k），
＝1+4k2+4k，
＝（2k+1）2，
因为0＜k＜1，
所以（2k+1）2＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，
故答案为：C．
【分析】本题首先由图像经过第一、三、四象限，可知：k＞0，k﹣1＜0，再通过根的判别式来判断根的情况．
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 、 是关于 的方程 的两根，
∴ ， ， ，
∴ ，方程必有一正根，
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分别求出x1+x2和x1·x2，利用一元二次方程根的判别式可得到此方程有两个不相等的实数根，由此可作出判断.
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程 ，
∵△= ，
∴原方程没有实数根；
故答案为：C.
【分析】先算出一元二次方程根的判别式b2-4ac的值，再根据b2-4ac＞0方程有两个不相等的实数根b2-4ac=0方程有两个相等的实数根，b2-4ac＜0方程没有实数根，可作出判断.
11．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 或 ，
故答案为：B.
【分析】观察方程特点：右边等于0，左边可以分解因式，从而根据几个因式的乘积等于0，则这几个因式至少有一个为0，从而将方程将次为几个一元一次方程，解一元一次方程即可得出原方程的解.
12．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴△=（-2 ）2-4k=0，
解得k=6．
故答案为：C．
【分析】由关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，可得△=0，据此解答即可.
13．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴△＝ ＞0，
∴ ＞0，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】根据二次方程根的判别式，求出m的值即可。
14．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a＝1，b＝ 2，c＝a，
∴△＝b2 4ac＝（ 2）2 4×1×a＝4 4a＜0，
解得：a＞1，
∴点（a，a＋1）在第一象限，
故答案为：A．
【分析】根据方程无实数根，即可得到方程根的判别式小于0，求出a的取值范围，即可判断点的象限。
15．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣2）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，
∴△＝4（k﹣2）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≤ ，
所以k的最大整数值为0．
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，得到不等式的解，即可得到最大整数值。
16．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（x﹣1）（x+2）=m2（m为常数），
∴x2+x﹣2﹣m2=0，
∴b2﹣4ac=1+8+4m2=9+4m2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A．
【分析】根据题意，列出方程，由方程根的判别式，判断根的情况即可。
17．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、∵ ，
∴ ，
根据一元二次方程的定义A满足条件，故A符合题意；
B、分母中有未知数，不是整式方程，是分式方程,不选B；
C、二次项系数为a是否为0，不确定，当 =0，b≠0时 ，一元一次方程，当 时 是一元二次方程，不选C；
D、没有二次项，不是一元二次方程，不选D．
故答案为：A．
【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元二次方程，据此逐一判断即可.
18．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 关于 的一元二次方程 有实数根，
且
且
又 为正整数，
所以满足条件的 值有 个，
故答案为：
【分析】根据关于 的一元二次方程 有实数根，可得且 据此求出其正整数解即可.
19．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】先将常数项1移到方程右边，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方，最后将方程左边写成完全平方式即可.
20．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴△=（-m）2-4×1×2=m2-8＞0，
当m=3时，m2-8=9-8=1＞0，A符合题意；
当m=2时，m2-8=4-8=-4<0，B不符合题意；
当m=1时，m2-8=1-8=-7<0，C不符合题意；
当m=0时，m2-8=0-8=-8<0，D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可。
21．【答案】（1）-2或1
（2）7
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）当a=b时，
a2+2a=a+2
a2+a-2=0
∴（a+2）（a-1）=0
解之：a=-2或1.
（2）
由①-②得
a2-b2+3（a-b）=0
（a-b）（a+b）+3（a-b）=0
∴（a-b）（a+b+3）=0
∵a≠b
∴a-b≠0
∴a+b=-3；
由①+②得a2+b2+a+b=4
∴a2+b2=7
∵(a+b)2=9，
∴a2+b2+2ab=9
解之：ab=1
∴
【分析】（1）由a=b，可得到关于a的一元二次方程，可求出a的值.
（2）将两方程联立方程组，由①-②得，可得到（a-b）（a+b+3）=0，可得到a+b的值；由①+②可求出a+b及a2+b2的值；然后求出ab的值；然后将代数式转化为
，整体代入可求解.
22．【答案】m
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：
一元二次方程2x2﹣4x+m 0有实数根 ，
则
解得
【分析】考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程有实数根，则判别式△≥0，然后代入各个系数，解出m的范围即可。
23．【答案】k≤ 且k≠0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1=0有两个实数根，
∵ ， ， ，
∴ 且 ，
解得 且 ．
故答案为： 且 ．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
24．【答案】x=
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：设方程 的另一个根为x，
∵ 是方程 的一个根，
∴根据根与系数关系定理，得 ，
，
故答案为：x= .
【分析】将x=1代入方程求出b的值，再解一元二次方程即可。
25．【答案】9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2-6x+c=0有两个相等的实数根，
∴b2-4ac=0
∴36-4c=0
解之：c=9.
故答案为：9.
【分析】利用一元二次方程有两个相等的实数根，可得到b2-4ac=0，由此建立关于c的方程，解方程求出c的值.
26．【答案】12
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵a是方程x2+3x﹣4＝0的根，
∴a2+3a﹣4＝0，
∴a2+3a＝4，
∴2a2+6a+4＝2（a2+3a）+4＝2×4+4＝12．
故答案为：12．
【分析】把x=a代入已知方程，得到a2+3a＝4，再代入所求的代数式进行求值即可。
27．【答案】4
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将x＝2代入x2﹣c＝0，
∴4﹣c＝0，
∴c＝4，
故答案为：4；
【分析】将x=2代入一元二次方程求出c的值即可。
28．【答案】k=1（答案不唯一，只需要k＞-4即可）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意可知 ，
解得： ．
故答案可为k=1（答案不唯一，只需要k＞-4即可）
【分析】利用一元二次方程根的判别式 ，解出k的取值范围即可．
29．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
解得： ，
故答案为：
【分析】利用判别式的意义得到 ，然后解不等式即可．
30．【答案】-6
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：
所以一元二次方程的常数项为：
故答案为：
【分析】先去括号，再移项，将方程组转化为形如“ax2+bx+c=0（a≠0）”的形式，其中a就是二次项的系数，b就是一次项的系数，c就是常数项，据此即可求出常数项.
31．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】当 时，代入原方程得：
，即： ，
∴原方程必有一根为 ，
故答案为：-3．
【分析】将 代入原方程中，可得，据此即得结论.
32．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得
1+4m≥0，
解得
．
故答案为： ．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可。
33．【答案】0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
则c的最小值是0，
故答案为：0．
【分析】由方程有两个相等的实数根可得出，解之即可。
34．【答案】解：∵ x2﹣x﹣1＝0，
∴x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2﹣2x+1＝3，
∴（x﹣1）2＝3，
∴x＝1± ；
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用配方法求解即可。
35．【答案】解：小敏：×，小霞：×；
移项：得3（x-3）-（x-3）2=0，
提取公因式，得(x-3)[3-(x-3)]=0，
法括号，得(x-3)(3-x+3)=0，
则x-3=0或6-x=0，
解得x1=3，x2=6.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】小敏的错误在于：等式两边要同除以一个不为0的数；小霞的错误在于脱括号时未变号；先移项，再提取公因式，利用因式法解二元一次方程即可.
36．【答案】（1）解：由题意， ，
即 ．
解得，
（2）解：∵ ，
由题意， 是平方数，
设 ，
原方程为 ，
，
或 ，
解得， ， ．
∴当 时，方程的两个整数根为 ，
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程的根的判别式列出不等式求解即可；
（2）利用公式法求出方程的解，再根据题意求解即可。
37．【答案】（1）证明： ，
∵无论m取何值时， ，
∴此方程总有两个实数根
（2）解： ，
．
．
∵此方程有一个根小于1，且 ．
．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）先根据方程有两个相等的实数根，列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；
（2）利用求根公式得到x的两个值，即可求出m的值。
38．【答案】（1）-i；1；0
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴以 ， 的值为解的一元二次方程可以为： ．
（3）解： ，
，
，
，
∴ ， ．
【知识点】实数的运算；直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】（1） ，
，
∵ ，
∴ ，
同理： ，
每四个为一组，和为0，
共有 组，
∴ ，
【分析】（1）根据 ，则 ， ，先找打规律：每4个一组且和为0，据此解答即可；
（2）由 ， 可得 ， ，利用根与系数的关系写出方程即可；
（3）原方程变形为 ， 可得 ， 利用直接开平方解方程即可.
39．【答案】（1）解：
（2）解： ，
整理得：4（a+1）x2+4（a+1）x+1＝0．
∵关于x的方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴a＝0．
【知识点】二次根式的混合运算；一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【分析】（1） 根据定义一种运算 ，先进行列式，然后进行二次根式的混合运算即可；（2）根据新定义将方程化为 4（a+1）x2+4（a+1）x+1＝0，根据方程有两个相等实数根，可得△=0且(a+1)≠0，据此求解即可.
40．【答案】（1）解：把x=1代入原方程得1+m+m-3=0 解得：m=1
（2）证明：△=m2-4（m-3）=（m-2）2+8
∵（m-2）2≥0
∴（m-2）2+8＞0，即△＞0，
∴不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）将x=1代入原方程求解即可；
（2）利用一元二次方程根的判别式求解即可。
1 / 1初中数学苏科版九年级上册1.1-1.2一元二次方程及求解 同步练习
一、单选题
1．（2021·丽水）用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2） 2＝3
C．（x+2） 2＝5 D．（x+2） 2＝3
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：移项得
x2+4x＝-1
配方得：
x2+4x+4＝-1+4
∴ （x+2） 2＝3
故答案为：D.
【分析】先移项，再在方程两边同时加上4，然后将方程左边写成完全平方公式即可.
2．（2021·盂县模拟）将关于 的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关于 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x＝ ，且x2＝x+1，
∴x3+1＝x x2+1
＝x（x+1）+1
＝x2+x+1
＝（x+1）+x+1
＝2x+2，
∵x＞0，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】先求出x＝ ，且x2＝x+1，再计算求解即可。
3．（2021·枣庄模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在“好点”的是（ ）
A．y＝﹣x B．y＝x+2 C．y D．y＝x2﹣2x
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解分式方程；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】
解：因为“好点”为横、纵坐标相等的点，所以令下列各项中y=x
A.x=-x，可得x=0，存在“好点”（0，0）；
B.x=x+2，方程无解，不存在“好点”；
C.，解得x=，存在“好点”；
D.x=x -2x，解得x=0或3，存在“好点”（0，0）和（3，3）。
故答案为：B
【分析】本题考查各类方程的解法，根据题干中“好点”的定义，令各个方程中的y=x，然后解方程看是否有解即可。
4．（2021·丽水模拟）若关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有实数根，则k的取值可能是（ ）
A．-2 B．0 C． D．1
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有实数根，
∴，
解得且k≠1，
故答案为：C.
【分析】根据判别式和一元二次方程的定义即可列出方程组，求出k的取值范围即可得出答案.
5．（2021·东昌府模拟）一元二次方程 配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ ，即 ，
故答案为：B．
【分析】先将常数项3移到等号右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后将方程左边写成完全平方式即可.
6．（2021·深圳模拟）若关于x的一元二次方程kx2﹣x﹣ ＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＝0 B．k≥
C．k≥ 且k≠0 D．k＞
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：△＝（﹣1）2﹣4×k×（ ）＝1+3k≥0，
∴k≥ ，
∵k≠0，
∴k≥ 且k≠0，
故答案为：C．
【分析】根据根的判别式即可求出答案。
7．（2020·深圳模拟）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是（ ）
A．x＝2 B．x1＝0，x2＝2
C．x1＝2，x2＝1 D．x＝﹣1
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x（x﹣2）＝x﹣2，
∴x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x＝2或x＝1，
故答案为：C．
【分析】先移项，再利用因式分解求解一元二次方程即可。
8．（2021·光明模拟）已知y＝kx+k﹣1的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣x﹣k2﹣k＝0的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等或不相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：本题首先由图像经过第一、三、四象限，
可知：k＞0，k﹣1＜0，
∴0＜k＜1，
则（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣k），
＝1+4k2+4k，
＝（2k+1）2，
因为0＜k＜1，
所以（2k+1）2＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，
故答案为：C．
【分析】本题首先由图像经过第一、三、四象限，可知：k＞0，k﹣1＜0，再通过根的判别式来判断根的情况．
9．（2021·靖江模拟）已知 、 是关于 的方程 的两根，下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．方程必有一正根
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 、 是关于 的方程 的两根，
∴ ， ， ，
∴ ，方程必有一正根，
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分别求出x1+x2和x1·x2，利用一元二次方程根的判别式可得到此方程有两个不相等的实数根，由此可作出判断.
10．（2021·永州模拟）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程 ，
∵△= ，
∴原方程没有实数根；
故答案为：C.
【分析】先算出一元二次方程根的判别式b2-4ac的值，再根据b2-4ac＞0方程有两个不相等的实数根b2-4ac=0方程有两个相等的实数根，b2-4ac＜0方程没有实数根，可作出判断.
11．（2021·永州模拟）方程 的解是（ ）
A．2或0 B．±2或0 C．2 D．－2或0
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 或 ，
故答案为：B.
【分析】观察方程特点：右边等于0，左边可以分解因式，从而根据几个因式的乘积等于0，则这几个因式至少有一个为0，从而将方程将次为几个一元一次方程，解一元一次方程即可得出原方程的解.
12．（2021·铁西模拟）已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．3 B． C．6 D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴△=（-2 ）2-4k=0，
解得k=6．
故答案为：C．
【分析】由关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，可得△=0，据此解答即可.
13．（2021·惠阳模拟）关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴△＝ ＞0，
∴ ＞0，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】根据二次方程根的判别式，求出m的值即可。
14．（2021·白云模拟）关于x的方程 （a为常数）无实数根，则点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a＝1，b＝ 2，c＝a，
∴△＝b2 4ac＝（ 2）2 4×1×a＝4 4a＜0，
解得：a＞1，
∴点（a，a＋1）在第一象限，
故答案为：A．
【分析】根据方程无实数根，即可得到方程根的判别式小于0，求出a的取值范围，即可判断点的象限。
15．（2021·南海模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣2）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则k的最大整数值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．不存在
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣2）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，
∴△＝4（k﹣2）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≤ ，
所以k的最大整数值为0．
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，得到不等式的解，即可得到最大整数值。
16．（2021·定远模拟）关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝m2（m为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个不相等实数根 B．两个相等实数根
C．没有实数根 D．无法判断根的情况
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（x﹣1）（x+2）=m2（m为常数），
∴x2+x﹣2﹣m2=0，
∴b2﹣4ac=1+8+4m2=9+4m2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A．
【分析】根据题意，列出方程，由方程根的判别式，判断根的情况即可。
17．（2021八下·瑶海期中）下列方程中属于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、∵ ，
∴ ，
根据一元二次方程的定义A满足条件，故A符合题意；
B、分母中有未知数，不是整式方程，是分式方程,不选B；
C、二次项系数为a是否为0，不确定，当 =0，b≠0时 ，一元一次方程，当 时 是一元二次方程，不选C；
D、没有二次项，不是一元二次方程，不选D．
故答案为：A．
【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元二次方程，据此逐一判断即可.
18．（2021八下·瑶海期中）关于 的一元二次方程 有实数根，则满足条件的正整数 的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 关于 的一元二次方程 有实数根，
且
且
又 为正整数，
所以满足条件的 值有 个，
故答案为：
【分析】根据关于 的一元二次方程 有实数根，可得且 据此求出其正整数解即可.
19．（2021·太原模拟）用配方法解方程x2﹣10x﹣1＝0时，变形正确的是（ ）
A．（x﹣5）2＝24 B．（x﹣5）2＝26
C．（x+5）2＝24 D．（x+5）2＝26
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】先将常数项1移到方程右边，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方，最后将方程左边写成完全平方式即可.
20．（2021·邢台模拟）若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴△=（-m）2-4×1×2=m2-8＞0，
当m=3时，m2-8=9-8=1＞0，A符合题意；
当m=2时，m2-8=4-8=-4<0，B不符合题意；
当m=1时，m2-8=1-8=-7<0，C不符合题意；
当m=0时，m2-8=0-8=-8<0，D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可。
二、填空题
21．（2021·丽水）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
已知实数a，b同时满足a2+2a＝b+2，b2+2b＝a+2，求代数式
的值．
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当a＝b时，a的值是 ．
（2）当a≠b时，代数式
的值是 ．
【答案】（1）-2或1
（2）7
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）当a=b时，
a2+2a=a+2
a2+a-2=0
∴（a+2）（a-1）=0
解之：a=-2或1.
（2）
由①-②得
a2-b2+3（a-b）=0
（a-b）（a+b）+3（a-b）=0
∴（a-b）（a+b+3）=0
∵a≠b
∴a-b≠0
∴a+b=-3；
由①+②得a2+b2+a+b=4
∴a2+b2=7
∵(a+b)2=9，
∴a2+b2+2ab=9
解之：ab=1
∴
【分析】（1）由a=b，可得到关于a的一元二次方程，可求出a的值.
（2）将两方程联立方程组，由①-②得，可得到（a-b）（a+b+3）=0，可得到a+b的值；由①+②可求出a+b及a2+b2的值；然后求出ab的值；然后将代数式转化为
，整体代入可求解.
22．（2021·枣庄模拟）关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m 0有实数根，则实数m的取值范围是 ．
【答案】m
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：
一元二次方程2x2﹣4x+m 0有实数根 ，
则
解得
【分析】考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程有实数根，则判别式△≥0，然后代入各个系数，解出m的范围即可。
23．（2021·阳信模拟）如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1=0有两个实数根，那么k的取值范围是 ．
【答案】k≤ 且k≠0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1=0有两个实数根，
∵ ， ， ，
∴ 且 ，
解得 且 ．
故答案为： 且 ．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
24．（2021·西宁模拟）已知 是方程 的一个根，则方程的另一个根是 ．
【答案】x=
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：设方程 的另一个根为x，
∵ 是方程 的一个根，
∴根据根与系数关系定理，得 ，
，
故答案为：x= .
【分析】将x=1代入方程求出b的值，再解一元二次方程即可。
25．（2021·乐清模拟）若一元二次方程x2-6x+c=0有两个相等的实数根，则c=
【答案】9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2-6x+c=0有两个相等的实数根，
∴b2-4ac=0
∴36-4c=0
解之：c=9.
故答案为：9.
【分析】利用一元二次方程有两个相等的实数根，可得到b2-4ac=0，由此建立关于c的方程，解方程求出c的值.
26．（2021·龙华模拟）已知a是方程x2+3x﹣4＝0的根，则代数式2a2+6a+4的值是 ．
【答案】12
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵a是方程x2+3x﹣4＝0的根，
∴a2+3a﹣4＝0，
∴a2+3a＝4，
∴2a2+6a+4＝2（a2+3a）+4＝2×4+4＝12．
故答案为：12．
【分析】把x=a代入已知方程，得到a2+3a＝4，再代入所求的代数式进行求值即可。
27．（2020·深圳模拟）一元二次方程x2﹣c＝0的一个根是2，则常数c的值是 ．
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将x＝2代入x2﹣c＝0，
∴4﹣c＝0，
∴c＝4，
故答案为：4；
【分析】将x=2代入一元二次方程求出c的值即可。
28．（2021·宽城模拟）若关于x的一元二次方程x2-4x-k=0有两个不相等的实数根，则k的值可以为 ．（写出一个即可）
【答案】k=1（答案不唯一，只需要k＞-4即可）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意可知 ，
解得： ．
故答案可为k=1（答案不唯一，只需要k＞-4即可）
【分析】利用一元二次方程根的判别式 ，解出k的取值范围即可．
29．（2021·顺德模拟）若关于x的一元二次方程x -2x+c=0没有实数根．则实数c取值范围是
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
解得： ，
故答案为：
【分析】利用判别式的意义得到 ，然后解不等式即可．
30．（2021·永州模拟）把一元二次方程5x（x-3）=6-2x化成一般形式后常数项是
【答案】-6
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：
所以一元二次方程的常数项为：
故答案为：
【分析】先去括号，再移项，将方程组转化为形如“ax2+bx+c=0（a≠0）”的形式，其中a就是二次项的系数，b就是一次项的系数，c就是常数项，据此即可求出常数项.
31．（2021八下·瑶海期中）若方程 ，满足 则方程必有一根为 ．
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】当 时，代入原方程得：
，即： ，
∴原方程必有一根为 ，
故答案为：-3．
【分析】将 代入原方程中，可得，据此即得结论.
32．（2021·岫岩模拟）若关于x的一元二次方程 有两个实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得
1+4m≥0，
解得
．
故答案为： ．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可。
33．（2021·东城模拟）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则c的最小值是 ．
【答案】0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
则c的最小值是0，
故答案为：0．
【分析】由方程有两个相等的实数根可得出，解之即可。
三、计算题
34．（2020·深圳模拟）解方程： x2﹣x﹣1＝0．
【答案】解：∵ x2﹣x﹣1＝0，
∴x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2﹣2x+1＝3，
∴（x﹣1）2＝3，
∴x＝1± ；
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用配方法求解即可。
四、解答题
35．（2021·嘉兴）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
小敏： 两边同除以（x﹣3），得 3＝x﹣3， 则x＝6． 小霞： 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】解：小敏：×，小霞：×；
移项：得3（x-3）-（x-3）2=0，
提取公因式，得(x-3)[3-(x-3)]=0，
法括号，得(x-3)(3-x+3)=0，
则x-3=0或6-x=0，
解得x1=3，x2=6.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】小敏的错误在于：等式两边要同除以一个不为0的数；小霞的错误在于脱括号时未变号；先移项，再提取公因式，利用因式法解二元一次方程即可.
五、综合题
36．（2021·石景山模拟）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的 的值，并求此时方程的根．
【答案】（1）解：由题意， ，
即 ．
解得，
（2）解：∵ ，
由题意， 是平方数，
设 ，
原方程为 ，
，
或 ，
解得， ， ．
∴当 时，方程的两个整数根为 ，
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程的根的判别式列出不等式求解即可；
（2）利用公式法求出方程的解，再根据题意求解即可。
37．（2021·海淀模拟）关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．
【答案】（1）证明： ，
∵无论m取何值时， ，
∴此方程总有两个实数根
（2）解： ，
．
．
∵此方程有一个根小于1，且 ．
．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）先根据方程有两个相等的实数根，列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；
（2）利用求根公式得到x的两个值，即可求出m的值。
38．（2021八下·瑶海期中）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为 ①，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为 （ ， 为实数）， 叫做这个复数的实部， 叫做这个复数的虚部，它与整式的加法，减法，乘法运算类似．例如：解方程 ，解得： ， ．同样我们也可以化简 ．读完这段文字，请你解答以下问题：
（1）填空： ， ， ．
（2）已知 ，写出一个以 ， 的值为解的一元二次方程．
（3）在复数范围内解方程： ．
【答案】（1）-i；1；0
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴以 ， 的值为解的一元二次方程可以为： ．
（3）解： ，
，
，
，
∴ ， ．
【知识点】实数的运算；直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】（1） ，
，
∵ ，
∴ ，
同理： ，
每四个为一组，和为0，
共有 组，
∴ ，
【分析】（1）根据 ，则 ， ，先找打规律：每4个一组且和为0，据此解答即可；
（2）由 ， 可得 ， ，利用根与系数的关系写出方程即可；
（3）原方程变形为 ， 可得 ， 利用直接开平方解方程即可.
39．（2021八下·瑶海期中）对于实数 、 ，定义一种运算： ．
（1）求 的值：
（2）如果关于 的方程 有两个相等的实数根，求实数 的值．
【答案】（1）解：
（2）解： ，
整理得：4（a+1）x2+4（a+1）x+1＝0．
∵关于x的方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴a＝0．
【知识点】二次根式的混合运算；一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【分析】（1） 根据定义一种运算 ，先进行列式，然后进行二次根式的混合运算即可；（2）根据新定义将方程化为 4（a+1）x2+4（a+1）x+1＝0，根据方程有两个相等实数根，可得△=0且(a+1)≠0，据此求解即可.
40．（2021·丰台模拟）关于x的一元二次方程 ．
（1）若方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．
【答案】（1）解：把x=1代入原方程得1+m+m-3=0 解得：m=1
（2）证明：△=m2-4（m-3）=（m-2）2+8
∵（m-2）2≥0
∴（m-2）2+8＞0，即△＞0，
∴不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）将x=1代入原方程求解即可；
（2）利用一元二次方程根的判别式求解即可。
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