天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学文试题

天津一中2012-2013学年高三年级二月考数学试卷（文）
一、选择题（每小题5分，共40分）
1.如果复数的实部和虚部互为相反数，那么实数等于 ( )
A． B．2 C．( D．
2. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面．给出下列四个命题：21世纪教育网
①若⊥，，则； ②若，则；
③若，则； ④若，则．
其中正确命题的序号是 （ ）
A． ①和② B． ②和③ C．③和④ D．①和④
3. 在正三棱锥中，分别是的中点，有下列三个论断：
　①；②//平面；③平面，其中正确论断的个数为 （ ）
A．3个　　　　　 B．2个 C．1个 D．0个
4. 数列{}中，，则{}的通项为　　　　　　 （　 ）
A．－１　　　 B．　　　　 C．＋１　　　　　 D．
5.在中,若,则是 ( )
A．等腰或直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．钝角三角
6.为得到函数的图像，只需将函数的图像 （ ）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
7.数列的首项为， 为等差数列且 .若则，，则 （ ）
A．0 B．3 C．8 D．11
8.定义在上的可导函数满足：且,则的解集为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共30分）
9. 若某空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是______．
10.设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则______．
11. 设等差数列的前项和为，若，，则______．
12.是平面上一点，是平面上不共线三点，动点满足，时， 则）的值为______．
13. 求函数在区间上的最大值______．
14. 如图，二面角的大小是60°，线段.，[来源:21世纪教育网]
与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是 .
三、解答题：（15,16,17,18每题13分，19,20每题14分）
15．在中，角，，的对边分别为，，．已知，，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求△的面积．21世纪教育网
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16．在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点．求证：（1）平面平面；
（2）直线平面．
17．设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数列，且
（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）设，求数列前n项和Tn.
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18. 如图，四面体ABCD中， O、E分别是BD、BC的中点，
（Ⅰ）求证：平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（III）求点E到平面ACD的距离．
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19．已知数列的前项和和通项满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式；(Ⅱ) 求证：；（Ⅲ）设函数，，求.
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20．已知函数在是增函数,在(0,1)为减函数.
（I）求、的表达式；（II）求证:当时,方程有唯一解；
（Ⅲ）当时,若在∈内恒成立,求的取值范围.
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参考答案：
一、选择题：
DDCACABC
二、填空题（每小题5分，共30分）
9． 2 10． 18
11． 45 12． 0
13． 14．
三、解答题：（15,16,17,18每题13分，19,20每题14分）
15．解：（Ⅰ）由已知得， …………………………… 3分
所以，解得，所以． ………… 6分
（Ⅱ）由余弦定理得，即 ①，
又，所以②，由①②得， …10分
所以△的面积． ………………13分
16．解：∵是直三棱柱，∴平面, 又∵平面，∴,
又∵平面，∴平面, 又∵平面，∴平面（2）∵，为的中点，∴,
又∵平面，且平面，∴,
又∵平面，，∴平面,21世纪教育网
由（1）知，平面，∴∥,
又∵平面平面，∴直线平面.
17．【分析及解】（Ⅰ）当[来源:21世纪教育网]
故{an}的通项公式为的等差数列.
设的公比为则
故，即的通项公式为
（II）
两式相减得
18．（I）证明：连结OC
在中，由已知可得21世纪教育网
而21世纪教育网
即
平面 …………4分
（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在中，
是直角斜边AC上的中线，
…………8分[来源:21世纪教育网]
（III）解：设点E到平面ACD的距离为
在中，
而
点E到平面ACD的距离为 …………12分
19．解：（Ⅰ）当时
，
∴，-------------------------------------------------3分
由 得
∴数列是首项、公比为的等比数列，∴------5分
(Ⅱ)证法1： 由得--------------------------7分
，∴∴----9分
〔证法2：由（Ⅰ）知，∴-----7分
，∴----------------------8分
即 ------------------------------------9分
(Ⅲ)
＝ ----10分
＝ --------12分
∵
∴＝---14分
20．解: （I）依题意,即,.
∵上式恒成立,∴ ① …………………………1分
又,依题意,即,.
∵上式恒成立,∴ ② …………………………2分
由①②得. …………………………3分
∴ …………………………4分
（II）由(1)可知,方程,
设,
令,并由得解知 ………5分
令由 …………………………6分
列表分析:
(0,1)
1
(1,+()21世纪教育网
-
0
+
递减
0
递增
知在处有一个最小值0, …………………………7分
当时,＞0,∴在(0,+()上只有一个解.[来源:21世纪教育网]
即当x＞0时,方程有唯一解. ……………………8分
（III）设, ……9分
在为减函数 又 …………11分
所以：为所求范围. …21世纪教育网……………12分