天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学理试题

天津一中2012—2013学年高三数学三月考试卷(理科)
一、选择题：
1．复数
A． B． C． D．2．“”是“直线和直线垂直”的21世纪教育网
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．执行右图所示的程序框图，则输出的的值是
A．1 B． C． D．4
4．函数的零点所在的一个区间是
A． B． C． D．
5．展开式中的常数项是
A． B． C． D．
6．，则的大小关系是
A． B． C． D．
7．△ABC的三个内角所对的边分别为，，
则
A． B． C． D．
8．在平面内，已知，，，设，（），则等于
A． B． C． D．
二、填空题：
9．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为的样本，则应从高二年级抽取 名学生。
10．如图，已知是圆的切线，切点为，是圆的直径，与圆交于点，，圆的半径是，那么。
11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 。
[21世纪教育网]
12．已知抛物线的参数方程为（为参数），焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线的斜率为，那么 。
13．设集合，，若，则实数取值范围是 。
14．已知函数 ，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是 。
三、解答题：
15．已知函数，
（1）求函数的最小正周期； （2）若，求函数的值域21世纪教育网

21世纪教育网
[21世纪教育网]
16．有甲，乙两个盒子，甲盒中装有2个小球，乙盒中装有3个小球，每次随机选取一个盒子并从中取出一个小球
（1）当甲盒中的球被取完时，求乙盒中恰剩下1个球的概率；
（2）当第一次取完一个盒子中的球时，另一个盒子恰剩下个球，求的分布列及期望。
17．在四棱锥中，底面是直角梯形，∥，∠， ，平面⊥平面.
（1）求证：⊥平面；
（2）求平面和平面所成二面角（小于）的大小；
（3）在棱上是否存在点使得∥平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

18．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为，右焦点，双曲线的实轴为，为双曲线上一点（不同于），直线，分别与直线交于两点
（1）求双曲线的方程；
（2）是否为定值，若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由。
21世纪教育网
19．已知，点在函数的图象上，其中
（1）证明数列是等比数列；
（2）设，求及数列的通项；
（3）记，求数列的前项和。
20．已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）设，求函数在上的最大值；
（3）证明：对，不等式恒成立。
21世纪教育网
参考答案
一、选择题：
1-4 AADC 5-8 CDDB
二、填空题：
9． 15
10． 2
11．
12． 8
13．
14．
三、解答题：
15．（1），
（2）
16．解：（1）
（2）
21世纪教育网
Zxxk
17．（Ⅰ）证明：因为 ，
所以 . ………………………………………1分
因为 平面平面，平面平面，
平面，
所以 平面. ………………………………………3分21世纪教育网
（Ⅱ）解：取的中点，连接.
因为，
所以 .
因为 平面平面，平面平面，平面，
所以 平面. ………………………………………4分
如图，以为原点，所在的直线为轴，在平面内过垂直于的直
线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系．不妨设.由
直角梯形中可得，，
.21世纪教育网
所以 ，.
设平面的法向量.
因为 21世纪教育网
所以
即21世纪教育网
令，则.
所以 . ………………………………………7分
取平面的一个法向量n.
所以 .
所以 平面和平面所成的二面角（小于）的大小为.
………………………………………9分
（Ⅲ）解：在棱上存在点使得∥平面，此时. 理由如下：
………………………………………10分[来源:21世纪教育网]
取的中点，连接，，.
则 ∥，.21世纪教育网
因为 ，
所以 .
因为 ∥，
所以 四边形是平行四边形.
所以 ∥.
因为 ，
所以 平面∥平面. ………………………………………13分
因为 平面，
所以 ∥平面. ………………………………………14分
18．（1）
（2）

因为三点共线
，同理

19．（Ⅰ）由已知，
，两边取对数得
，即
是公比为2的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 （*）
=
由（*）式得
（Ⅲ）
又21世纪教育网

.21世纪教育网
20． （本小题满分14分）