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北师版数学七年级下5.3.2线段垂直平分线教案
课题 5.3.2线段垂直平分线 单元 5 学科 数学 年级 七
学习 目标 1.探索并了解线段垂直平分线的有关性质. 2.应用线段垂直平分线的性质解决一些实际问题.
重点 线段垂直平分线的有关性质.
难点 用尺规作线段的垂直平分线,并用之解决一些实际问题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.什么叫轴对称图形 如果一个平面图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴. 2.轴对称图形有什么性质 在轴对称图形或成轴对称的两个图形中,对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对应线段相等,对应角相等. 学生举手回答,对于出现的错误再由学生纠正,教师适时评价,引导. 通过完成本组题目,对轴对称图形的概念、性质进行回顾,为本节课的学习提供必要的知识准备,同时,也检查了学生对学过知识的掌握情况..
讲授新课 思考】线段是轴对称图形吗 如果是,你能找出它的一条对称轴吗 做一做:为了解决这个问题,请同学们拿出准备好的纸,在纸上画出一条线段AB,对折AB使点A,B重合,折痕与AB的交点为O. 想一想: (1)折痕两旁的部分能重合吗 线段是一个轴对称图形吗 这条折痕是线段的对称轴吗 (2)点O是线段AB的中点吗 折痕与线段AB垂直吗 为什么 (3)由此你能得到什么结论 【想一想】怎样验证折痕与AB垂直？ 【思考】由此你能得到什么结论 线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴. 根据上面的操作我们知道了线段是轴对称图形,垂直并且平分这条线段的直线是这条线段的对称轴,你知道这条直线的名称吗 这条直线究竟有哪些性质呢 下面我们一起探究一下. 【做一做】请同学们在刚才折后的线段AB的折痕上取一点C,沿CA,CB将纸折叠,把纸张展开后,你将得到折痕CA和CB. (1)通过手中的纸片,用刻度尺量取后发现它们相等. (2)通过折叠纸片,从它们互相重合发现它们相等. (3)通过三角形全等证明它们相等, 在△AOC和△BOC中,因为AO=BO,∠AOC=∠BOC=90°,OC=OC, 所以△AOC≌△BOC,所以AC=BC. 如果改变点C的位置,那么AC还等于BC吗 由此你能得到线段垂直平分线的性质吗 【做一做】利用尺规，作线段AB的垂直平分线。 已知:线段AB. 求作:线段AB的垂直平分线. 提示:可以结合我们刚才所讲的“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”来进行作图. 1.分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D. 2.作直线CD. 直线CD就是线段AB的垂直平分线. 注意：以点A和B为圆心画弧时,半径长必须要大于 AB,这样才能得到C,D两个交点. 你能说明为什么所作的直线就是已知线段的垂直平分线吗 我们只要连CA,CB,DA,DB就可以了,因为在△ADC和△BDC中,AC=BC, AD=BD,CD=CD, 由SSS可知△ADC≌△BDC,得到∠ACD=∠BCD,再由等腰三角形的“三线合一”就可知道CD是AB的垂直平分线. 想一想：利用尺规作如图所示△ABC的重心. 学生拿出纸,按照上面的步骤画出一条线段AB,然后对折AB,进行观察思考后回答问题. 通过折叠可以看到AB对折后能够重合,说明线段AB是轴对称图形,而且折痕就是线段AB的对称轴.可以发现折痕与AB垂直,并且平分这条线段AB. 由折叠可知∠1=∠2,又因为∠1+∠2=180°,所以∠1=∠2=90°,所以折痕与线段AB垂直. 垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线。 学生按照老师的要求进行折叠纸片,展开后得到线段CA和CB(如图). 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 学生认真思考如何作线段AB的垂直平分线,小组间相互讨论.教师提示:可以结合我们刚才所讲的“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”来进行作图. 让学生通过亲自动手折纸,自己发现结论,并及时引导学生对发现的结论进行证明,进一步培养了学生严谨思维、推理论证、及时验证的好习惯,也为后续教学做好准备. 通过亲身实践感受概念,归纳概念,培养学生归纳总结的习惯及能力. 线段垂直平分线的性质比较重要,要让学生自己发现结论,以便加深学生的理解和记忆,同时要让学生说明自己发现的正确性,逐步培养学生的说理能力. 通过利用尺规作线段的垂直平分线,学生在动手中学到了知识,理解并掌握了线段垂直平分线的定义与性质,有利于学生的掌握和记忆.
课堂练习 1．如图，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论不一定成立的是( ) A．AE＝BE B．AD＝AC C．AD＝BD D．∠BED＝90° 2．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于( ) A．80°B．70°C．60° D．50° 3．如图，△ABC中，DE垂直平分AC，与AC交于点E，与BC交于点D，∠C＝15°，∠BAD＝60°，则△ABC 是 三角形． 4.如图，在△ABC中，BC＝11，AB的中垂线交BC于点D，AC的中垂线交BC于点E，则△ADE的周长等于 ． 5.在△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线交AB于点D，交AC于点E.且∠EBC＝40°，求∠A及∠BED的度数． 6.如图，AB＝AC，DE垂直平分AB交AB于点D，交AC于点E，若△ABC的周长为28，BC＝8，求△BCE的周长． 学生自主完成习题，老师订正 让学生巩固已学知识，加深对知识的理解与运用
课堂小结 1.知识回顾. 2.谈谈这节课你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
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北师大版 七年级下册
5.3.2线段垂直平分线的性质
复习回顾
1、什么是轴对称图形？
如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
2、轴对称的性质是什么？
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
探究新知
线段是轴对称图形吗 如果是,你能找出它的一条对称轴吗
（1）在纸片上画一条线段AB，
对折AB使点A，B重合；
（2）在折痕上任取一点C，沿CA将纸折叠；
（3）把纸展开，得到折痕CA和CB.
B
C
A
B
新知讲解
（1）CO与AB有怎样的位置关系？
（2）AO与BO相等吗？CA与CB呢？能说明你的理由吗？
垂直
AO=BO
CA=CB
A
B
C
O
由此你能得到什么结论
归纳总结
线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴。
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，
叫做这条线段的垂直平分线(简称中垂线)
线段只有这一条对称轴吗？其实，线段所在的直线也是线段的对称轴，只不过目前不研究
议一议
如图所示，点C是线段AB垂直平分线l上的一点，AC和BC相等吗？改变点C的位置，结论还成立吗？
AC＝BC
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为O，AO=BO，点C在直线l上．求证：AC =BC．
解：因为 l⊥AB，
所以 ∠COA =∠COB＝90 ° ．
又 AO =BO，OC =OC，
所以△COA ≌△COB（SAS）．
所以AC =BC．
归纳总结
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
用数学语言表示为：
因为l⊥AB， AO =BO，
所以 AC =BC．
典例精析
例1、利用尺规，作线段 AB 的垂直平分线．
已知：线段 AB.
求作：AB的垂直平分线.
A
B
典例精析
作法：如图．
1.分别以点A和B 为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D 两点；
2.作直线CD．
直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线．
A
B
C
D
你能说明这样作的道理吗
新知讲解
垂直平分线的作图理论依据是等腰三角形的三线合一；而垂直平分线的性质就可以直接得到等腰三角形，从而简化了过程（相对三角形全等）
练一练
如图，某地由于居民增多，要在公路l边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站C建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)
练一练
解：连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于O，交AB于E.
∵EO是线段AB的垂直平分线，
∴点O到A，B的距离相等，
∴这个公共汽车站C应建在O点处，才能使到两个小区的路程一样长．
想一想
利用尺规作如图所示△ABC的重心.
作法：
（1）作线段BC的垂直平分线MN交BC于点D；
（2）作线段AC的垂直平分线GH交AC于点E；
（3）连接AD，BE，并且AD与BE相交于点O.
点O就是△ABC的重心
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
课堂练习
1．如图，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论不一定成立的是( )
A．AE＝BE B．AD＝AC
C．AD＝BD D．∠BED＝90°
2．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于( )
A．80° B．70° C．60° D．50°
B
C
典例精析
3．如图，△ABC中，DE垂直平分AC，与AC交于点E，与BC交于点D，∠C＝15°，∠BAD＝60°，则△ABC是 三角形．
4.如图，在△ABC中，BC＝11，AB的中垂线交BC于点D，AC的中垂线交BC于点E，则△ADE的周长等于 ．
直角
11
课堂练习
5.在△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线交AB于点D，交AC于点E.且∠EBC＝40°，求∠A及∠BED的度数．
解：如图. ∵∠C＝90°，
∠EBC＝40°，
∴∠BEC＝50°.
又 ∵ED是AB的中垂线，
∴ED⊥AB，AE＝BE，∴∠A＝∠EBA，
课堂练习
∵∠A＋∠EBA＋∠AEB＝180°，
∠AEB＋∠BEC＝180°，
∴∠BEC＝∠A＋∠EBA.
∴∠BEC＝2∠A＝50°，∴∠A＝25°，
∵ED⊥AB，∴∠EDB＝90°，
∴∠BED＝90°－∠EBA＝90°－25°＝65°.
课堂练习
6.如图，AB＝AC，DE垂直平分AB交AB于点D，交AC于点E，若△ABC的周长为28，BC＝8，求△BCE的周长．
解：∵△ABC的周长为28，
BC＝8且AB＝AC，
∴AB＋AC＋BC＝28，
即2AC＋BC＝28，
∴AC＝10.
∵DE垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∴△BCE的周长为BE＋EC＋BC＝AE＋EC＋BC＝
AC＋BC＝10＋8＝18.
即△BCE的周长是18.
课堂总结
线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
垂直平分线的作法
垂直平分线的性质的应用
线段转化，求线段或周长
得到等腰三角形，求角度
板书设计
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
作业布置
基础作业：
课本P124随堂练习第1题
能力作业：
课本P124习题第2，3题
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