2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册3.4圆周角和圆心角的关系 同步练习
一、单选题
1．（2018九上·青海期中）如图， ， ， 是 上的三点，且 ，则 的度数是（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，∴∠AOC=2∠ABC=2×70°=140°．
故答案为：B．
【分析】根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍即可得出答案。
2．（2018·日照）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；同角三角函数的关系
【解析】【解答】∵∠DAB=∠DEB，
∴tan∠DEB= tan∠DAB= ，
故答案为：D．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等得出∠DAB=∠DEB，根据等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义即可得出答案。
3．（2019九上·鱼台期末）如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OB，∠ABO=40。则∠C的度数是（ ）
A．100° B．80° C．50° D．40°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ABO=40°，OA=OB，
∴∠OAB=40°，∠AOB=100°，
∴∠C=∠AOB=50°.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理得∠OAB=40°，∠AOB=100°，再由圆周角定理即可得出答案.
4．（2018九上·长兴月考）AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上。斜边过点B．一条直角边交该半圆于点Q．若AB=2，则线段BQ的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AQ，BQ
∵∠P=45°，弧BQ=弧BQ
∴∠A=∠P=45°，
∵AB是直径
∴∠AQB=90°
∴△ABQ是等腰直角三角形
∴AB2=2BQ2
2BQ2=4
∴BQ=
故答案为：C
【分析】连接AQ、BQ，根据圆周角定理可证∠A=∠P=45°，△ABQ是等腰直角三角形，再利用勾股定理就可求出BQ的长。
5．（2018九上·天台月考）如图， ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E=55°，则∠ADC的度数是（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵BE是直径
∴∠BAE=90°
∴∠B=90°-∠E=90°-55°=35°
∵平行四边形ABCD
∴∠B=∠ADC=35°
故答案为：C
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，就可得出∠A的度数，再求出∠B的度数，然后根据平行四边形的性质，可证得∠B=∠ADC，即可求出∠ADC的度数。
6．（2018九上·绍兴期中）下列说法正确的是（ ）
A．同圆或等圆中弧相等，则它们所对的圆心角也相等
B．0°的圆心角所对的弦是直径
C．平分弦的直径垂直于这条弦
D．三点确定一个圆
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：A、同圆或等圆中弧相等，则它们所对的圆心角也相等，故A符合题意；
B、90°的圆心角所对的弦是直径，故B不符合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故C不符合题意；
D、不在同一直线的三个点确定一个圆，故D不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用圆周角定理，可对选项A、B作出判断；利用垂径定理的推论，可对选项C作出判断；利用点与圆的位置关系，可对选项D作出判断，即可得出答案。
7．（2018九上·金华期中）四边形ABCD内接于⊙O，则∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（ ）
A．2∶3∶4∶5 B．2∶4∶3∶5 C．2∶5∶3∶4 D．2∶3∶5∶4
【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=∠B+∠D
A、2∶3∶4∶5，而2+4≠3+5，因此选项A不符合题意；
B、2∶4∶3∶5，而2+3≠4+5，因此选项B不符合题意；
C、2∶5∶3∶4，而2+3≠5+4，因此选项C不符合题意；
D、2∶3∶5∶4，而2+5=3+4，因此选项D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据圆内接四边形的对角互补，因此它们的对角的份数之和相等，对各选项逐一判断，可得出答案。
8．（2018九上·南京期中）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC=26°，则∠DCA的度数为（ ）
A．36° B．38° C．40° D．42°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：，连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=26°，
∴∠B=90°-∠BAC=90°-26°=64°，
根据翻折的性质， 所对的圆周角为∠B， 所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠ADC=180°-64°=116°，
△ADC中，∵∠BAC=26°，
∴∠DCA=180°-116°-26°=38°，
故答案为：B.
【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°，根据三角形的内角和得出∠B的度数，根据翻折的性质， 所对的圆周角为∠B， 所对的圆周角为∠ADC，根据圆的内接四边形的对角互补即可求出∠ADC的度数，最后根据三角形的内角和算出答案。
9．（2018九上·青海期中）如图， 是 的直径， 是弦， ，垂足为点 ，连接 、 、 ， ， ，那么 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】∵∠DOB=60°，∴∠BCE=30°．
在Rt△BCE中，∵BE=2，∠BCE=30°，∴BC=4，CE= ．
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴CD=2CE= ．
故答案为：D．
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠BCE=30°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出BC=4，然后利用勾股定理算出CE的长，根据垂径定理即可得出CD的长。
10．（2019九上·河西期中）如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，则下列说法中正确的有（ ）
①点C、O、B一定在一条直线上；②若点E、点D分别是CA、AB的中点，则OE=OD；③若点E是CA的中点，连接CO，则△CEO是等腰直角三角形．
A．3个 B．2个 C．0个
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：①∵∠A=90°，
∴∠A所对的弦是直径，
∴点C、O、B一定在一条直线上，故①正确；
②根据相等的弦所对的弦心距也相等可知当点E、点D分别是CA、AB的中点时，则OE=OD，故②正确；
③∵OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
∵AD= AB，AE= AC，∠ADO=∠AEO=90°，
∵AB⊥AC，
∴∠DAE=90°，
∴四边形ADOE是矩形，
∵AB=AC，
∴AD=AE，
∴四边形ADOE是正方形，
∴OE=AE=CE，
∴△CEO是等腰直角三角形，故③正确.
故答案为：A．
【分析】①根据圆周角定理的推论”90°的圆周角所对的弦是直径”可知点C、O、B一定在一条直线上；②根据”在同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距也相等“可得OE=OD；③先判定四边形ADOE是正方形，得OE=AE；再由垂径定理得，∠OEC=90°，AE=CE，从而得出△CEO是等腰直角三角形。
二、填空题
11．（2018九上·杭州期中）如图，△ABC内接于圆O，若∠A=m° ，则∠OBC= 度(用含m的代数式表示)
【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC
∵弧BC=弧BC，∠A=m°
∴∠BOC=（2m）°
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB=（180°-2m°）=90°-m°
故答案为：90°-m°
【分析】利用圆周角定理求出∠BOC的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理就可求出∠OBC的度数。
12．（2018九上·杭州期中）如图等腰三角形△ABC的底角∠C为70°， 以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则
的度数为
【答案】40°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OE、OD、AD
∴∠ADB=90°，
∵等腰三角形ABC，∠B=70°
∴∠BAD=∠DAC=90°-70°=20°
∴∠DOE=2∠DAC=2×20°=40°
∴弧DE的度数为40°
故答案为：40°
【分析】连接OE、OD、AD，利用圆周角定理可得出∠ADB=90°，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠DAC的度数，然后利用圆周角定理求出∠DOE的度数，由圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，可得出答案。
13．（2018九上·天台月考）如图，在△ABC中，AB=AC=10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接OD，交BE于点M且MD=2， 则BE长为 .
【答案】8
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连结AD，如图：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴点D为BC中点，
∵点O为AB中点，
∴OD∥AC，
∴点M为BE中点，
∴DM为△BCE中位线，
∵DM=2，
∴CE=2DM=4，
∵AB=AC=10，
∴AE=AC-CE=10-4=6，
在Rt△ABE中，
∴BE===8.
故答案为：8.
【分析】连结AD，根据圆周角定理得∠AEB=∠ADB=90°，由等腰三角形性质得D为BC中点，根据三角形中位线可得CE=4，从而求出AC，在Rt△ABE中，根据勾股定理求得BE.
14．（2018九上·重庆期中）如图，△ABC内接于⊙O，连接OB、OC，若∠BAC=72°，则∠OCB的度数为 ．
【答案】18°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵△ABC内接于⊙O，
∴∠BOC=2∠BAC=2×72°=144°，
而OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OCB= （180°﹣144°）=18°．
故答案为：18°．
【分析】利用一条弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，求出∠BOC的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠OCB的度数。
15．（2019九上·海淀期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为直径CD延长线上一点，且AB∥CD，若∠C=70°，则∠ADE的大小为 ．
【答案】110°
【知识点】平行线的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=70°，AB∥CD，
∴∠B=110°，
又∵四边形ABCD内接于○O
∴∠ADE=110°．
故答案为：110°．
【分析】由∠C的大小，利用平行线的性质可得∠B的值，再根据圆内接四边形的性质即可得出答案。
16．（2018九上·东台期中）如图，量角器的直径与直角三角尺ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，则第20秒点E在量角器上对应的读数是 °．
【答案】120
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】CP转过的度数是3×20=60°，
∵∠ACP=60°，
∴C在以AB为直径的圆上，
∴∠AOP=2∠ACP=120°．
故答案是：120．
【分析】首先连接OE，由∠ACB=90°，易得点E，A，B，C共圆，然后由圆周角定理，求得∠AOP=2∠ACP从而点E在量角器上对应的读数.
三、解答题
17．（2018九上·杭州期中）已知：如图△ABC内接于圆O，AB=AC，D为弧BC上任意一点，连结AD，BD
（1）若∠ADB=65°，求∠BAC的度数
（2）求证：∠ABD=∠AEB
【答案】（1）解： ∵AB=AC
∴∠C=∠ABC，弧AB=弧AC
∴∠C=∠ABC=∠ADB=65°
∴∠BAC=（180°-65°×2）=50°
（2）证明： ∵∠AEB=∠DAC+∠C
∠ABD=∠ABC+∠DBC
∵弧CD=弧CD
∴∠DAC=∠DBC
∵∠ABC=∠C
∴∠ABD=∠AEB
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，可证得∠C=∠ABC=∠ADB=65°，再利用三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数。
（2）观察图形可得∠AEB=∠DAC+∠C，∠ABD=∠ABC+∠DBC，再根据同弧所对的圆周角相等，就可证得∠DAC=∠DBC，因此可证得结论。
18．（2018九上·柯桥月考）已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是 上一动点，AG，DC的延长线交于点F，连结BC．
（1）若AB=4，∠B=60°，求 的长；
（2）设∠DGF= °，∠BCD= °，求 关于 的函数表达式．
【答案】（1）解： 连接AC、OD、OC∵，AB是直径∴∠AGD=∠ACD=60°，∠ACD=90°∵∠AGD=60°，直径AB⊥CD，∴∠BCD=90°-60°=30°， ．
∴ 的度数为60°，∴ =2 ∴的度数为120°．
∵r= AB=2，∴ ．
（2）解： 连结AC，则∠ACD=∠AGD=180°-∠DGF=(180- )°．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，即∠ACD+∠BCD=90°．
∵∠BCD= °，∴(180- )+ =90，∴ = +90．
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角及同弧所对的圆周角相等，就可求出∠BCD，再利用垂径定理可证得 ，求出的度数及圆的半径，然后利用弧长公式可求解。
（2）连接AC，利用同弧所对的圆周角相等，可证∠ACD=∠AGD=(180- )°，再利用直径所对的圆周角是直角，可得出∠ACB=90°，利用∠ACD+∠BCD=90° ，就可得出 关于 的函数表达式。
19．（2018九上·丽水期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．
（1）若∠ADC=86°，求∠CBE的度数；
（2）若AC=EC，求证：AD=BE
【答案】（1）解：∵四边形 ABCD 内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠CBE+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠CBE，
又∵∠ADC=86°，
∴∠CBE=86°.
（2）证明：∵AC=EC，∴∠E=∠CAE，∵AC 平分∠BAD，∴∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠E，又∵四边形 ABCD 内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠CBE+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠CBE，
在△ ADC 和△ EBC 中
∴△ADC≌△EBC（AAS），
∴AD=BE.
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形性质和邻补角定义可得∠ADC=∠CBE，结合已知条件即可得出答案.
（2）根据等腰三角形性质和角平分线定义可得∠DAC=∠E，由（1）知∠ADC=∠CBE，根据全等三角形判定AAS可得△ADC≌△EBC，再由全等三角形性质即可得证.
20．（2018九上·湖州期中）已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E
（1）当∠BAC为锐角时，如图①，求证：∠CBE= ∠BAC
（2）当∠BAC为钝角时，如图②，CA的延长线与⊙O相交于点E，
【答案】（1）证明：如图①连结AD
∵AB是⊙O的直径
∴AD⊥BC，BE⊥AC
∵AB=AC
∴∠CAD= ∠BAC
∵∠C＋∠CAD=∠C＋∠CBE=90°
∠CAD=∠CBE
∴∠CBE=
（2）解：成立，理由如下：如图②连结AD，
∵AB是⊙O的直径
∴AD⊥BC
∵AB=AC
∴∠CAD=
∵∠CAD+∠EAD=180°，∠CBE+∠EAD=180°
∠CAD=∠CBE
∴∠CBE=
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由（1）如图①连结AD，根据直径所对的圆周角是直角得出AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一得出∠CAD=∠BAC，根据等角的余角相等得出∠CAD=∠CBE，从而得出结论；
（2）成立，理由如下：如图②连结AD，根据直径所对的圆周角是直角得出AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一得出∠CAD=∠BAC，根据等角的，补角相等得出∠CAD=∠CBE，从而得出结论。
21．（2018九上·丽水期中）如图，已知OA、OB、OC是⊙O的三条半径，点C是弧AB的中点，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC=NC．
【答案】证明：∵点 C 是弧 AB 的中点，∴ 弧 AC 和弧 BC 相等，∴∠AOC=∠BOC，又∵OA=OB，M、N 分别是 OA、OB 的中点，∴OM=ON，在△ MOC 和△ NOC 中，∴△MOC≌△NOC（SAS），∴MC=NC.
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】根据圆周角定理可得∠AOC=∠BOC，由中点定义可得OM=ON，根据全等三角形的判定：SAS可得△MOC≌△NOC，由全等三角形的性质可得MC=NC.
22．（2018九上·清江浦期中）如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB=DC，AC与BD相等吗？为什么？
【答案】解：AC与BD相等． 理由如下：∵AB=DC， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∴AC=BD．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦中有一组量相等，那么其余各组量也分别相等。根据这个性质即可求解。
23．（2019九上·河西期中）已知，△ABC中，∠A=68°，以AB为直径的⊙O与AC，BC的交点分别为D，E
（1）如图①，求∠CED的大小；
（2）如图②，当DE=BE时，求∠C的大小．
【答案】（1）解：∵四边形ABED 圆内接四边形，
∴∠A+∠DEB=180°，
∵∠CED+∠DEB=180°，
∴∠CED=∠A，
∵∠A=68°，
∴∠CED=68°.
（2）解：连接AE．
∵DE=BD，
∴ =
∴∠DAE=∠EAB= ∠CAB=34°，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠AEC=90°，
∴∠C=90°-∠DAE=90°-34°=56°.
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）由圆内接四边形对角互补的性质以及邻补角定义以及补角性质求得∠CED=∠A。
（2）由”等弧所对的圆周角相等“得∠DAE=∠CAB=34°，再由"直径所对的圆周角是直角”得∠AEB=90°，然后由三角形外角的性质求得∠C的度数。
24．（2018九上·衢州期中）如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD=160°，求∠BCD的度数．
【答案】解：∵∠BOD=160°∴∠BAD= ∵A、B、C、D 四点共圆，∴∠BCD+∠BAD=180°，∴∠BCD=100°．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠BAD= ∠BOD=80 ，根据院内接四边形的对角互补即可得出答案。
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版九年级下册3.4圆周角和圆心角的关系 同步练习
一、单选题
1．（2018九上·青海期中）如图， ， ， 是 上的三点，且 ，则 的度数是（ ）
A． B．
C． D． 或
2．（2018·日照）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2019九上·鱼台期末）如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OB，∠ABO=40。则∠C的度数是（ ）
A．100° B．80° C．50° D．40°
4．（2018九上·长兴月考）AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上。斜边过点B．一条直角边交该半圆于点Q．若AB=2，则线段BQ的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2018九上·天台月考）如图， ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E=55°，则∠ADC的度数是（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
6．（2018九上·绍兴期中）下列说法正确的是（ ）
A．同圆或等圆中弧相等，则它们所对的圆心角也相等
B．0°的圆心角所对的弦是直径
C．平分弦的直径垂直于这条弦
D．三点确定一个圆
7．（2018九上·金华期中）四边形ABCD内接于⊙O，则∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（ ）
A．2∶3∶4∶5 B．2∶4∶3∶5 C．2∶5∶3∶4 D．2∶3∶5∶4
8．（2018九上·南京期中）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC=26°，则∠DCA的度数为（ ）
A．36° B．38° C．40° D．42°
9．（2018九上·青海期中）如图， 是 的直径， 是弦， ，垂足为点 ，连接 、 、 ， ， ，那么 的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2019九上·河西期中）如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，则下列说法中正确的有（ ）
①点C、O、B一定在一条直线上；②若点E、点D分别是CA、AB的中点，则OE=OD；③若点E是CA的中点，连接CO，则△CEO是等腰直角三角形．
A．3个 B．2个 C．0个
二、填空题
11．（2018九上·杭州期中）如图，△ABC内接于圆O，若∠A=m° ，则∠OBC= 度(用含m的代数式表示)
12．（2018九上·杭州期中）如图等腰三角形△ABC的底角∠C为70°， 以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则
的度数为
13．（2018九上·天台月考）如图，在△ABC中，AB=AC=10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接OD，交BE于点M且MD=2， 则BE长为 .
14．（2018九上·重庆期中）如图，△ABC内接于⊙O，连接OB、OC，若∠BAC=72°，则∠OCB的度数为 ．
15．（2019九上·海淀期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为直径CD延长线上一点，且AB∥CD，若∠C=70°，则∠ADE的大小为 ．
16．（2018九上·东台期中）如图，量角器的直径与直角三角尺ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，则第20秒点E在量角器上对应的读数是 °．
三、解答题
17．（2018九上·杭州期中）已知：如图△ABC内接于圆O，AB=AC，D为弧BC上任意一点，连结AD，BD
（1）若∠ADB=65°，求∠BAC的度数
（2）求证：∠ABD=∠AEB
18．（2018九上·柯桥月考）已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是 上一动点，AG，DC的延长线交于点F，连结BC．
（1）若AB=4，∠B=60°，求 的长；
（2）设∠DGF= °，∠BCD= °，求 关于 的函数表达式．
19．（2018九上·丽水期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．
（1）若∠ADC=86°，求∠CBE的度数；
（2）若AC=EC，求证：AD=BE
20．（2018九上·湖州期中）已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E
（1）当∠BAC为锐角时，如图①，求证：∠CBE= ∠BAC
（2）当∠BAC为钝角时，如图②，CA的延长线与⊙O相交于点E，
21．（2018九上·丽水期中）如图，已知OA、OB、OC是⊙O的三条半径，点C是弧AB的中点，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC=NC．
22．（2018九上·清江浦期中）如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB=DC，AC与BD相等吗？为什么？
23．（2019九上·河西期中）已知，△ABC中，∠A=68°，以AB为直径的⊙O与AC，BC的交点分别为D，E
（1）如图①，求∠CED的大小；
（2）如图②，当DE=BE时，求∠C的大小．
24．（2018九上·衢州期中）如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD=160°，求∠BCD的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，∴∠AOC=2∠ABC=2×70°=140°．
故答案为：B．
【分析】根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】圆周角定理；同角三角函数的关系
【解析】【解答】∵∠DAB=∠DEB，
∴tan∠DEB= tan∠DAB= ，
故答案为：D．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等得出∠DAB=∠DEB，根据等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ABO=40°，OA=OB，
∴∠OAB=40°，∠AOB=100°，
∴∠C=∠AOB=50°.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理得∠OAB=40°，∠AOB=100°，再由圆周角定理即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AQ，BQ
∵∠P=45°，弧BQ=弧BQ
∴∠A=∠P=45°，
∵AB是直径
∴∠AQB=90°
∴△ABQ是等腰直角三角形
∴AB2=2BQ2
2BQ2=4
∴BQ=
故答案为：C
【分析】连接AQ、BQ，根据圆周角定理可证∠A=∠P=45°，△ABQ是等腰直角三角形，再利用勾股定理就可求出BQ的长。
5．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵BE是直径
∴∠BAE=90°
∴∠B=90°-∠E=90°-55°=35°
∵平行四边形ABCD
∴∠B=∠ADC=35°
故答案为：C
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，就可得出∠A的度数，再求出∠B的度数，然后根据平行四边形的性质，可证得∠B=∠ADC，即可求出∠ADC的度数。
6．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：A、同圆或等圆中弧相等，则它们所对的圆心角也相等，故A符合题意；
B、90°的圆心角所对的弦是直径，故B不符合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故C不符合题意；
D、不在同一直线的三个点确定一个圆，故D不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用圆周角定理，可对选项A、B作出判断；利用垂径定理的推论，可对选项C作出判断；利用点与圆的位置关系，可对选项D作出判断，即可得出答案。
7．【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=∠B+∠D
A、2∶3∶4∶5，而2+4≠3+5，因此选项A不符合题意；
B、2∶4∶3∶5，而2+3≠4+5，因此选项B不符合题意；
C、2∶5∶3∶4，而2+3≠5+4，因此选项C不符合题意；
D、2∶3∶5∶4，而2+5=3+4，因此选项D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据圆内接四边形的对角互补，因此它们的对角的份数之和相等，对各选项逐一判断，可得出答案。
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：，连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=26°，
∴∠B=90°-∠BAC=90°-26°=64°，
根据翻折的性质， 所对的圆周角为∠B， 所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠ADC=180°-64°=116°，
△ADC中，∵∠BAC=26°，
∴∠DCA=180°-116°-26°=38°，
故答案为：B.
【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°，根据三角形的内角和得出∠B的度数，根据翻折的性质， 所对的圆周角为∠B， 所对的圆周角为∠ADC，根据圆的内接四边形的对角互补即可求出∠ADC的度数，最后根据三角形的内角和算出答案。
9．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】∵∠DOB=60°，∴∠BCE=30°．
在Rt△BCE中，∵BE=2，∠BCE=30°，∴BC=4，CE= ．
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴CD=2CE= ．
故答案为：D．
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠BCE=30°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出BC=4，然后利用勾股定理算出CE的长，根据垂径定理即可得出CD的长。
10．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：①∵∠A=90°，
∴∠A所对的弦是直径，
∴点C、O、B一定在一条直线上，故①正确；
②根据相等的弦所对的弦心距也相等可知当点E、点D分别是CA、AB的中点时，则OE=OD，故②正确；
③∵OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
∵AD= AB，AE= AC，∠ADO=∠AEO=90°，
∵AB⊥AC，
∴∠DAE=90°，
∴四边形ADOE是矩形，
∵AB=AC，
∴AD=AE，
∴四边形ADOE是正方形，
∴OE=AE=CE，
∴△CEO是等腰直角三角形，故③正确.
故答案为：A．
【分析】①根据圆周角定理的推论”90°的圆周角所对的弦是直径”可知点C、O、B一定在一条直线上；②根据”在同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距也相等“可得OE=OD；③先判定四边形ADOE是正方形，得OE=AE；再由垂径定理得，∠OEC=90°，AE=CE，从而得出△CEO是等腰直角三角形。
11．【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC
∵弧BC=弧BC，∠A=m°
∴∠BOC=（2m）°
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB=（180°-2m°）=90°-m°
故答案为：90°-m°
【分析】利用圆周角定理求出∠BOC的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理就可求出∠OBC的度数。
12．【答案】40°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OE、OD、AD
∴∠ADB=90°，
∵等腰三角形ABC，∠B=70°
∴∠BAD=∠DAC=90°-70°=20°
∴∠DOE=2∠DAC=2×20°=40°
∴弧DE的度数为40°
故答案为：40°
【分析】连接OE、OD、AD，利用圆周角定理可得出∠ADB=90°，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠DAC的度数，然后利用圆周角定理求出∠DOE的度数，由圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，可得出答案。
13．【答案】8
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连结AD，如图：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴点D为BC中点，
∵点O为AB中点，
∴OD∥AC，
∴点M为BE中点，
∴DM为△BCE中位线，
∵DM=2，
∴CE=2DM=4，
∵AB=AC=10，
∴AE=AC-CE=10-4=6，
在Rt△ABE中，
∴BE===8.
故答案为：8.
【分析】连结AD，根据圆周角定理得∠AEB=∠ADB=90°，由等腰三角形性质得D为BC中点，根据三角形中位线可得CE=4，从而求出AC，在Rt△ABE中，根据勾股定理求得BE.
14．【答案】18°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵△ABC内接于⊙O，
∴∠BOC=2∠BAC=2×72°=144°，
而OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OCB= （180°﹣144°）=18°．
故答案为：18°．
【分析】利用一条弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，求出∠BOC的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠OCB的度数。
15．【答案】110°
【知识点】平行线的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=70°，AB∥CD，
∴∠B=110°，
又∵四边形ABCD内接于○O
∴∠ADE=110°．
故答案为：110°．
【分析】由∠C的大小，利用平行线的性质可得∠B的值，再根据圆内接四边形的性质即可得出答案。
16．【答案】120
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】CP转过的度数是3×20=60°，
∵∠ACP=60°，
∴C在以AB为直径的圆上，
∴∠AOP=2∠ACP=120°．
故答案是：120．
【分析】首先连接OE，由∠ACB=90°，易得点E，A，B，C共圆，然后由圆周角定理，求得∠AOP=2∠ACP从而点E在量角器上对应的读数.
17．【答案】（1）解： ∵AB=AC
∴∠C=∠ABC，弧AB=弧AC
∴∠C=∠ABC=∠ADB=65°
∴∠BAC=（180°-65°×2）=50°
（2）证明： ∵∠AEB=∠DAC+∠C
∠ABD=∠ABC+∠DBC
∵弧CD=弧CD
∴∠DAC=∠DBC
∵∠ABC=∠C
∴∠ABD=∠AEB
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，可证得∠C=∠ABC=∠ADB=65°，再利用三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数。
（2）观察图形可得∠AEB=∠DAC+∠C，∠ABD=∠ABC+∠DBC，再根据同弧所对的圆周角相等，就可证得∠DAC=∠DBC，因此可证得结论。
18．【答案】（1）解： 连接AC、OD、OC∵，AB是直径∴∠AGD=∠ACD=60°，∠ACD=90°∵∠AGD=60°，直径AB⊥CD，∴∠BCD=90°-60°=30°， ．
∴ 的度数为60°，∴ =2 ∴的度数为120°．
∵r= AB=2，∴ ．
（2）解： 连结AC，则∠ACD=∠AGD=180°-∠DGF=(180- )°．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，即∠ACD+∠BCD=90°．
∵∠BCD= °，∴(180- )+ =90，∴ = +90．
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角及同弧所对的圆周角相等，就可求出∠BCD，再利用垂径定理可证得 ，求出的度数及圆的半径，然后利用弧长公式可求解。
（2）连接AC，利用同弧所对的圆周角相等，可证∠ACD=∠AGD=(180- )°，再利用直径所对的圆周角是直角，可得出∠ACB=90°，利用∠ACD+∠BCD=90° ，就可得出 关于 的函数表达式。
19．【答案】（1）解：∵四边形 ABCD 内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠CBE+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠CBE，
又∵∠ADC=86°，
∴∠CBE=86°.
（2）证明：∵AC=EC，∴∠E=∠CAE，∵AC 平分∠BAD，∴∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠E，又∵四边形 ABCD 内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠CBE+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠CBE，
在△ ADC 和△ EBC 中
∴△ADC≌△EBC（AAS），
∴AD=BE.
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形性质和邻补角定义可得∠ADC=∠CBE，结合已知条件即可得出答案.
（2）根据等腰三角形性质和角平分线定义可得∠DAC=∠E，由（1）知∠ADC=∠CBE，根据全等三角形判定AAS可得△ADC≌△EBC，再由全等三角形性质即可得证.
20．【答案】（1）证明：如图①连结AD
∵AB是⊙O的直径
∴AD⊥BC，BE⊥AC
∵AB=AC
∴∠CAD= ∠BAC
∵∠C＋∠CAD=∠C＋∠CBE=90°
∠CAD=∠CBE
∴∠CBE=
（2）解：成立，理由如下：如图②连结AD，
∵AB是⊙O的直径
∴AD⊥BC
∵AB=AC
∴∠CAD=
∵∠CAD+∠EAD=180°，∠CBE+∠EAD=180°
∠CAD=∠CBE
∴∠CBE=
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由（1）如图①连结AD，根据直径所对的圆周角是直角得出AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一得出∠CAD=∠BAC，根据等角的余角相等得出∠CAD=∠CBE，从而得出结论；
（2）成立，理由如下：如图②连结AD，根据直径所对的圆周角是直角得出AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一得出∠CAD=∠BAC，根据等角的，补角相等得出∠CAD=∠CBE，从而得出结论。
21．【答案】证明：∵点 C 是弧 AB 的中点，∴ 弧 AC 和弧 BC 相等，∴∠AOC=∠BOC，又∵OA=OB，M、N 分别是 OA、OB 的中点，∴OM=ON，在△ MOC 和△ NOC 中，∴△MOC≌△NOC（SAS），∴MC=NC.
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】根据圆周角定理可得∠AOC=∠BOC，由中点定义可得OM=ON，根据全等三角形的判定：SAS可得△MOC≌△NOC，由全等三角形的性质可得MC=NC.
22．【答案】解：AC与BD相等． 理由如下：∵AB=DC， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∴AC=BD．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦中有一组量相等，那么其余各组量也分别相等。根据这个性质即可求解。
23．【答案】（1）解：∵四边形ABED 圆内接四边形，
∴∠A+∠DEB=180°，
∵∠CED+∠DEB=180°，
∴∠CED=∠A，
∵∠A=68°，
∴∠CED=68°.
（2）解：连接AE．
∵DE=BD，
∴ =
∴∠DAE=∠EAB= ∠CAB=34°，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠AEC=90°，
∴∠C=90°-∠DAE=90°-34°=56°.
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）由圆内接四边形对角互补的性质以及邻补角定义以及补角性质求得∠CED=∠A。
（2）由”等弧所对的圆周角相等“得∠DAE=∠CAB=34°，再由"直径所对的圆周角是直角”得∠AEB=90°，然后由三角形外角的性质求得∠C的度数。
24．【答案】解：∵∠BOD=160°∴∠BAD= ∵A、B、C、D 四点共圆，∴∠BCD+∠BAD=180°，∴∠BCD=100°．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠BAD= ∠BOD=80 ，根据院内接四边形的对角互补即可得出答案。
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