2018-2019学年初中数学北师大版七年级下册4.3 探索三角形全等的条件 同步练习
一、单选题
1．（2019八上·江门期中）如图，工人师傅物门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（ ）
A．两点之间的线段最短 B．三角形有稳定性
C．长方形的四个角都是直角 D．长方形是轴对称图形
【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：根据三角形具有稳定性，可选出正确答案B；
A、C、D三个选项说法正确但与题意无关.
故答案为：B.
【分析】根据三角形有稳定性可选出正确选项。
2．（2018八上·前郭期中）如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（ ）
A．E，G之间 B．A，C之间 C．G，H之间 D．B，F之间
【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，工人师傅为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在E、G两点之间（没有构成三角形），这种做法根据的是三角形的稳定性．
故答案为：A.
【分析】根据三角形具有稳定性，只要满足所钉的木条构成三角形即可。
3．（2019八上·遵义期末）如图，已知 AD∥BC，AB=CD，AC，BD 交于点 O，另加一个 条件不能使△ABD≌△CDB 的是（ ）
A．AO=CO B．AD=BC C．AC=BD D．OB=OD
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A.∵AD∥BC，
∴∠DAO=∠BCO，∠ADO=∠CBO，
又∵AO=CO，
∴△ADO≌△CBO（AAS），
∴AD=BC，
又∵∠ADO=∠CBO，BD=DB，
∴△ABD≌△CDB（SAS）；A不符合题意；
B.∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO，
又∵AD=BC，BD=DB，
∴△ABD≌△CDB（SAS）；B不符合题意；
C.中AC=BD不能证明△ABD≌△CDB；C符合题意；
D.∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO，
又∵BO=DO，∠AOD=∠COB，
∴△ADO≌△CBO（ASA），
∴AD=BC，
又∵∠ADO=∠CBO，BD=DB，
∴△ABD≌△CDB（SAS）；D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】A.根据平行线的性质得∠DAO=∠BCO，∠ADO=∠CBO，再由全等三角形判定AAS即可得△ADO≌△CBO，由全等三角形性质得AD=BC，再由全等三角形判定SAS即可得证；
B.根据平行线的性质得∠ADO=∠CBO，由全等三角形判定SAS即可得证；
C.中AC=BD不能证明△ABD≌△CDB；
D.根据平行线的性质得∠ADO=∠CBO，再由全等三角形判定ASA即可得△ADO≌△CBO，由全等三角形性质得AD=BC，再由全等三角形判定SAS即可得证；由全等三角形判定SAS即可得证.
4．（2018八上·天台月考）要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上（如右图所示），可以说明△ABC≌△EDC，得AB=DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（ ）
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．边边角
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可知：AB⊥BF，DE⊥BF
∴∠B=∠CDE=90°
在△ABC和△EDC中
∠B=∠CDE，BC=DC，∠ACB=∠ECD
∴△ABC≌△EDC（ASA）
∴AB=DE
故答案为：B
【分析】由题意可证∠B=∠CDE，再利用ASA证明△ABC≌△EDC，利用全等三角形的性质，可证得结论。
5．（2018八上·慈溪期中）如图，已知AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，那么图中全等的三角形有（ ）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】根据图示可得：△AOE≌△COF；△ABE≌△CDF；△ABO≌△CD0；△AOD≌△CBO；△ABD≌△CDB；△ABC≌△CDA；△ADE≌△CBF.
故答案为：B
【分析】根据平行四边形的判定和性质以及全等三角形的判定，可得出所有的全等三角形的对数。
6．（2018八上·天台期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）.
A．SAS B．AAS C．ASA D． SSS
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角
【解析】【解答】解：根据作图可知：
OD=OC=OD=OC，DC=DC
∴△OCD≌△OCD（SSS）
故答案为：D
【分析】根据作一个角等于已知角的方法，可得出答案。
7．（2018八上·湖州期中）以下说法正确的是（ ）
①一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；②有两条边相等的两个直角三角形全等；③有一边相等的两个等边三角形全等；④两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等．
A．①② B．②④ C．①③ D．①③④
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：①一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；根据HL可证得两直角三角形全等，此命题正确；
②有两条边相等的两个直角三角形不一定全等；比如一直角三角形的两直角边和另一个直角三角形的一直角边和一斜边相等，则这两个直角三角形并不全等；此命题不正确；
③有一边相等的两个等边三角形全等，用SSS可证明两三角形全等，此命题正确；
④两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，根据SSA并不能证明三角形全等，此命题错误；
正确的序号为：①③
故答案为：C
【分析】利用全等三角形的判断方法或举出反例证明，分别判断各个命题的正误，可得出正确的序号。
8．（2018八上·海口期中）如图，是玩具拼图模板的一部分，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中能和△ABC完全重合的是（ ）
A．甲和丙 B．丙和乙 C．只有甲 D．只有丙
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】△ABC和甲满足“SAS”所以可得这两个三角形全等，
△ABC和丙满足“AAS”所以可得这两个三角形全等，
故能与△ABC完全重合的是甲和丙，
故答案为：A．
【分析】甲给出的三个条件与三角形ABC满足两边及夹角对应相等，故两个三角形全等；乙给出的三个条件与三角形ABC不是对应相等，故两个三角形不全等；丙给出的条件与三角形ABC满足两个角对应相等，及其中一个角的对边对应相等，故两个三角形全等，根据三角形全等的判定方法即可一一判断。
9．下列条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′，的是（ ）
A．∠A=∠A，∠C=∠C，AC=A′C′
B．∠B=∠B′，BC=B′C′，AB=A′B′
C．∠A=∠A′=80°，∠B=60°，∠C′=40°，AB=A′B′
D．∠A=∠A′，BC=B′C′，AB=A′B′
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A.条件：∠A=∠A，∠C=∠C，AC=A′C′符合“ASA”；B.条件：∠B=∠B，BC=B′C′，AB=A′B′符合“SAS”；C.条件：∠A=∠A′=80°，∠B=60°，可得∠C=∠C′=40°，AB=A′B′，符合“AAS”；D.条件：∠A=∠A，BC=B′C′，AB=A′B′，属于“SSA”，不能判定全等，故答案为：D。
【分析】利用数形结合的方法，画出两个三角形，将四个选项中的三个条件分别一一的标注在图上，根据全等三角形的判定方法即可一一判断。
10．（2018八上·句容月考）如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B=∠C=x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】选项A根据SAS可证全等；选项B根据SAS可证全等；选项C条件不足证明全等；选项D根据AAS可证明全等.
故答案为：C
【分析】根据全等三角形的判定方法SAS找出全等的三角形.
二、填空题
11．（2018八上·山东期中）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的 带去，就能配一块大小和形状与原来都一样的三角形。
【答案】2
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：把“2”带去，将另外两条边延长即可得到与原来三角形相同的三角形。
故答案为：2.
【分析】由三角形判定定理“ASA”可知，2块包含了两个内角及其夹边，则所作出的三角形是唯一的，且与原三角形全等。
12．（2019八上·和平期中）如图，在四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD．若∠A=108°，则∠C的大小= （度）．
【答案】108
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】证明：连接BD，
∵在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠C=∠A=108°，
故答案为：108
【分析】连接BD，由条件根据SSS可得△ABD≌△CBD，根据全等三角形对应角相等即可解答。
13．（2018八上·长兴月考）如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是 ．
【答案】2
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ∠ACB=90°，AD⊥CE，BE⊥CE
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，∠DCA+∠BCE=90°
∴∠DAC=∠BCE
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS）
∴AD=CE=3，BE=CD=1
∵DE=EC-DC
∴DE=3-1=2
故答案为：2
【分析】利用垂直的定义及同角的余角相等，可证得∠DAC=∠BCE，再利用AAS证明△ADC≌△CEB，利用全等三角形的性质求出EC、DC的长，然后根据DE=EC-DC，求出DE的长。
14．（2018八上·龙港期中）如图，已知∠ACB=∠DBC，请添加一个条件 ，使得△ABC≌△DCB．
【答案】∠A=∠D（其它合理答案亦可）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】可以添加∠A=∠D，利用AAS判定△ABC≌△DCB．
故答案为：∠A=∠D．
【分析】图形中隐含公共边BC=CB，已知一组对应角相等，因此可添加其它的两组对应角中的任意一组对应角相等，或添加AC=BD，即可得出答案。
15．（2018八上·黄石期中）已知△ABC中，AB=6cm，AC=8cm，AD为边BC上的中线，则中线AD的取值范围是
【答案】1
【知识点】三角形三边关系；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝8，
在△ABE中，AB BE＜AE＜AB＋BE，
∴8 6＜2AD＜6＋8，
∴1＜AD＜7，
故答案为：1＜AD＜7．
【分析】根据全等三角形的判定方法SAS得到△ADC≌△EDB，得到BE=AC的值，再根据三角形的三边关系得到中线AD的取值范围.
16．（2018八上·衢州月考）如图，AB=12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动 分钟后△CAP与△PQB全等．
【答案】4
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：当△CAP与△PQB全等时，有PB=CA，或PB=AP.
（ 1 ）当PB=CA=4时，此时时间=4÷1=4，则AP=12-PB=8，BQ=2PB=8，∴AP=BQ，则△CAP≌△PBQ；
（ 2 ）当PB=AP时，PB=AP= ，此时时间=6÷1=6，则BQ=12，但BQ≠AC，则△CAP与△PQB不全等；
故答案为：4.
【分析】由△CAP与△PQB都是直角三角形，则两直角边的对应情况有两种，分别为PB=CA， 或PB=AP；分别讨论，两种情况下，其他边是否相等即可.
三、解答题
17．小辉用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你在图1、2、3中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学道理．
【答案】解：如图所示：
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【分析】 根据三角形具有稳定性，主要是应用了三角形的稳定性.
18．数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：作法：如图1，①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE．②分别以D、E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C．③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线．
①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是．
②请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法．（要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明）
【答案】解：①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法SSS…（故答案为SSS；②如图所示．
步骤：①利用刻度尺在OA、OB上分别截取OG=OH．
②连接GH，利用刻度尺作出GH的中点Q．
③作射线OQ．
则OQ为∠AOB的平分线．
【知识点】三角形全等的判定；作图-角的平分线
【解析】【分析】①根据角平分线的作法，可得出OE=OD，CE=CD，公共边OC，利用SSS可证得两三角形全等；②利用角平分线的作法写出作法即可。
19．（2018八上·新乡期末）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P
（1）求∠CPD的度数
（2）若AE＝3，CD＝7，求线段AC的长.
【答案】（1）解：如图，在AC上截取AF=AE，连接PF
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△APE和△APF中
∴△APE≌△APF（SAS），
∴∠AOE=∠APE，
∵∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，
∴∠APC=120°,
∴∠CPD=60°
（2）解：∵∠APC=120°，∴∠APE=60°，
∴∠APF=∠CPD=60°=∠CPF，
在△CPF和△CPD中，
,
∴△CPF≌△CPD（ASA）
∴CF=CD，
∴AC=AF+CF=AE+CD=3+7=10
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）在AC上截取AF=AE，连接PF，根据已知易证△APE≌△APF，利用全等三角形的性质，就可证得∠APE=∠APF，利用角平分线的定义及三角形内角和定理，再求出∠APC的度数，就可得到∠CPD的度数。
（2）由（1）可知∠APC=120°，∠APE=∠APF，就可证得∠CPD=∠CPF，利用ASA证明△CPF和△CPD全等，利用全等三角形的性质，就可证得CF=CD，然后求出AC的长即可。
20．（2018八上·慈溪期中）如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O，AB＝DC，AC＝BD．
求证：
（1）△ABC≌△DCB．
（2）∠ABO=∠DCO
【答案】（1）证明：在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）
（2）证明：∵△ABC≌△DCB，
∴∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC（全等三角形的对应角相等）
∴∠ABC－DBC =∠DCB－∠ACB，即∠ABO=∠DCO.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用SSS直接证明 △ABC≌△DCB。
（2）利用全等三角形的性质，可证得 ∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，再利用等式的性质，可证得结论。
21．（2018八上·泸西期中）如图：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N。
（1）求证：MN=AM+BN；
（2）若过点C在△ABC内作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由。
【答案】（1）证明：∵∠C=90°
∴∠MCA+∠BCN=90°
∵AM⊥MN，BN⊥MN
∴∠AMC=∠CNB=90°
∴∠MAC+∠MCA=90°
∴∠MAC=∠BCN
在△AMC和△CNB中
∠MAC=∠BCN
∠AMC=∠CMB，
AC=BC
∴△AMC≌△CNB
∴AM=CN，MC=BN
∴MN=MC+CN=AM+BN
（2）解：MN=BN-AM
证明：∵∠AMC=∠BNC=90°，
∴∠ACM+∠NCB=90°，
∠NCB+∠CBN=90°，
故∠ACM=∠CBN，
在△AMC和△CNB中，
∠ACM=∠CBN
∠AMC=∠BNC=90°
AC=BC，
∴△AMC≌△CNB，
∴CM =BN，
CN=AM，
∴MN=CM-CN=BN-AM，
∴MN=BN-AM。
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等得出 ∠MAC=∠BCN ，然后由AAS判断出 △AMC≌△CNB ，根据全等三角形的对应边相等得出 AM=CN，MC=BN ，然后根据线段的和差及等量代换得出 MN=AM+BN ；
（2） MN=BN-AM ，理由如下：根据同角的余角相等得出 ∠ACM=∠CBN， 然后利用AAS判断出 △AMC≌△CNB， 根据全等三角形的对应边相等得出 CM =BN ， CN=AM ，然后根据线段的和差及等量代换即可得出 MN=BN-AM 。
22．（2018八上·天台月考）如图
（1）如图①，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；
（2）如图②，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，且∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
（3）如图③，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和．
【答案】（1）解： 证明：∵∠MAN=90°，即∠MAE+∠EAN=90°，又∵BD⊥AE，CF⊥AE，∴∠BDA+∠CFA=90°，∠MAE+∠ABD=90°，∴∠EAN=∠ABD，在△ABD和△CAF中，∵,∴△ABD≌△CAF（AAS）.
（2）解： 证明：∵∠1=∠2，∴∠BEA=∠AFC，又∵∠BAC=∠2，∠BAC=∠BAE+∠FAC，∠2=∠FAC+∠ACF，∴∠BAE=∠ACF，在△ABE和△CAF中，∵,∴△ABE≌△CAF（AAS）.
（3）解：由（2）知△ABE≌△CAF，∵CB=2BD，∴BC=3BD，∵S△ABC=15，∴S△ACF+S△BDE=S△ABE+S△BDE=S△ABD= S△ABC，= ×15=5.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义和同角的余角相等得∠EAN=∠ABD，再由全等三角形判定AAS可得△ABD≌△CAF.
（2）根据等角的补角相等得∠BEA=∠AFC，由同角的余角相等得∠BAE=∠ACF，再由全等三角形判定AAS可得△ABE≌△CAF.
（3）由（2）知△ABE≌△CAF，可得S△ACF=S△ABE，根据CB=2BD可得S△ABD=
S△ABC，由S△ACF+S△BDE=S△ABE+S△BDE=S△ABD=
S△ABC，从而得出答案.
23．（2018八上·黄石期中）如图1，在Rt△ACB中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过B、C两点作过点A的直线l的垂线，垂足为D、E；
（1）如图1，当D、E两点在直线BC的同侧时，猜想，BD、CE、DE三条线段有怎样的数量关系？并说明理由．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，∠BAC=90°，AB=16，AC=20．点P从B点出发沿B→A→C路径向终点C运动；点Q从C点出发沿C→A→B路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，各自到达终点时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作PF⊥l于F，QG⊥l于G．问：点P运动多少秒时，△PFA与△QAG全等？（直接写出答案）
【答案】（1）解：BD+DE=CE
证明：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∵BD⊥l，CE⊥l
∴∠BDA=∠CEA=90°
∴∠ABD+∠DAB=90°
∵∠BAC=90°
∴∠DAB+∠CAE=90°
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE．
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（2）解：成立
证：∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD
∠DBA=180°-∠BDA-∠BAD
∵∠BAC=∠BDA
∴∠CAE=∠ABD
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE．
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（3）①当0≤t＜时，点P在AB上，点Q在AC上，
此时有BF=2t，CG=3t，AB=25，AC=35.
当PA=QA，即25-2t=35-3t，也即t=10时，
∵PF⊥l，QG⊥l，∠BAC=90°，
∴∠PFA=∠QGA=∠BAC=90°，
∴∠PAF=90°-∠GAQ=∠AQG，
在△PFA和△QAG中，
,
∴△PFA≌△QAG（AAS）.
②当时，点P在AB上，点Q也在AB上，
此时相当于两点相遇，则有2t+3t=60，解得t=12；
③当20＜t＜30时，点Q停在点B处，点P在AC上，
当PA=QA即2t-25=25，解得t=25（而点Q运动20秒就停止，所以，舍去）。
综上所述：当t等于12秒或10秒时，△PFA与△QAG全等。
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义和全等三角形的判定方法AAS，得到△ABD≌△CAE，得到对应边相等，得到DE=CE+BD；（2）由角的和差和全等三角形的判定方法AAS，得到△ABD≌△CAE，得到对应边相等，得到DE=CE+BD；（3）易证∠PFA=∠QGA，∠PAF=∠AQG，只需PA=QA，就可得到△PFA与△QAG全等，然后只需根据点P和点Q不同位置进行分类讨论即可解决问题。
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版七年级下册4.3 探索三角形全等的条件 同步练习
一、单选题
1．（2019八上·江门期中）如图，工人师傅物门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（ ）
A．两点之间的线段最短 B．三角形有稳定性
C．长方形的四个角都是直角 D．长方形是轴对称图形
2．（2018八上·前郭期中）如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（ ）
A．E，G之间 B．A，C之间 C．G，H之间 D．B，F之间
3．（2019八上·遵义期末）如图，已知 AD∥BC，AB=CD，AC，BD 交于点 O，另加一个 条件不能使△ABD≌△CDB 的是（ ）
A．AO=CO B．AD=BC C．AC=BD D．OB=OD
4．（2018八上·天台月考）要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上（如右图所示），可以说明△ABC≌△EDC，得AB=DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（ ）
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．边边角
5．（2018八上·慈溪期中）如图，已知AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，那么图中全等的三角形有（ ）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
6．（2018八上·天台期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）.
A．SAS B．AAS C．ASA D． SSS
7．（2018八上·湖州期中）以下说法正确的是（ ）
①一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；②有两条边相等的两个直角三角形全等；③有一边相等的两个等边三角形全等；④两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等．
A．①② B．②④ C．①③ D．①③④
8．（2018八上·海口期中）如图，是玩具拼图模板的一部分，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中能和△ABC完全重合的是（ ）
A．甲和丙 B．丙和乙 C．只有甲 D．只有丙
9．下列条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′，的是（ ）
A．∠A=∠A，∠C=∠C，AC=A′C′
B．∠B=∠B′，BC=B′C′，AB=A′B′
C．∠A=∠A′=80°，∠B=60°，∠C′=40°，AB=A′B′
D．∠A=∠A′，BC=B′C′，AB=A′B′
10．（2018八上·句容月考）如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B=∠C=x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2018八上·山东期中）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的 带去，就能配一块大小和形状与原来都一样的三角形。
12．（2019八上·和平期中）如图，在四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD．若∠A=108°，则∠C的大小= （度）．
13．（2018八上·长兴月考）如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是 ．
14．（2018八上·龙港期中）如图，已知∠ACB=∠DBC，请添加一个条件 ，使得△ABC≌△DCB．
15．（2018八上·黄石期中）已知△ABC中，AB=6cm，AC=8cm，AD为边BC上的中线，则中线AD的取值范围是
16．（2018八上·衢州月考）如图，AB=12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动 分钟后△CAP与△PQB全等．
三、解答题
17．小辉用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你在图1、2、3中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学道理．
18．数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：作法：如图1，①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE．②分别以D、E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C．③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线．
①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是．
②请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法．（要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明）
19．（2018八上·新乡期末）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P
（1）求∠CPD的度数
（2）若AE＝3，CD＝7，求线段AC的长.
20．（2018八上·慈溪期中）如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O，AB＝DC，AC＝BD．
求证：
（1）△ABC≌△DCB．
（2）∠ABO=∠DCO
21．（2018八上·泸西期中）如图：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N。
（1）求证：MN=AM+BN；
（2）若过点C在△ABC内作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由。
22．（2018八上·天台月考）如图
（1）如图①，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；
（2）如图②，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，且∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
（3）如图③，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和．
23．（2018八上·黄石期中）如图1，在Rt△ACB中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过B、C两点作过点A的直线l的垂线，垂足为D、E；
（1）如图1，当D、E两点在直线BC的同侧时，猜想，BD、CE、DE三条线段有怎样的数量关系？并说明理由．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，∠BAC=90°，AB=16，AC=20．点P从B点出发沿B→A→C路径向终点C运动；点Q从C点出发沿C→A→B路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，各自到达终点时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作PF⊥l于F，QG⊥l于G．问：点P运动多少秒时，△PFA与△QAG全等？（直接写出答案）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：根据三角形具有稳定性，可选出正确答案B；
A、C、D三个选项说法正确但与题意无关.
故答案为：B.
【分析】根据三角形有稳定性可选出正确选项。
2．【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，工人师傅为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在E、G两点之间（没有构成三角形），这种做法根据的是三角形的稳定性．
故答案为：A.
【分析】根据三角形具有稳定性，只要满足所钉的木条构成三角形即可。
3．【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A.∵AD∥BC，
∴∠DAO=∠BCO，∠ADO=∠CBO，
又∵AO=CO，
∴△ADO≌△CBO（AAS），
∴AD=BC，
又∵∠ADO=∠CBO，BD=DB，
∴△ABD≌△CDB（SAS）；A不符合题意；
B.∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO，
又∵AD=BC，BD=DB，
∴△ABD≌△CDB（SAS）；B不符合题意；
C.中AC=BD不能证明△ABD≌△CDB；C符合题意；
D.∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO，
又∵BO=DO，∠AOD=∠COB，
∴△ADO≌△CBO（ASA），
∴AD=BC，
又∵∠ADO=∠CBO，BD=DB，
∴△ABD≌△CDB（SAS）；D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】A.根据平行线的性质得∠DAO=∠BCO，∠ADO=∠CBO，再由全等三角形判定AAS即可得△ADO≌△CBO，由全等三角形性质得AD=BC，再由全等三角形判定SAS即可得证；
B.根据平行线的性质得∠ADO=∠CBO，由全等三角形判定SAS即可得证；
C.中AC=BD不能证明△ABD≌△CDB；
D.根据平行线的性质得∠ADO=∠CBO，再由全等三角形判定ASA即可得△ADO≌△CBO，由全等三角形性质得AD=BC，再由全等三角形判定SAS即可得证；由全等三角形判定SAS即可得证.
4．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可知：AB⊥BF，DE⊥BF
∴∠B=∠CDE=90°
在△ABC和△EDC中
∠B=∠CDE，BC=DC，∠ACB=∠ECD
∴△ABC≌△EDC（ASA）
∴AB=DE
故答案为：B
【分析】由题意可证∠B=∠CDE，再利用ASA证明△ABC≌△EDC，利用全等三角形的性质，可证得结论。
5．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】根据图示可得：△AOE≌△COF；△ABE≌△CDF；△ABO≌△CD0；△AOD≌△CBO；△ABD≌△CDB；△ABC≌△CDA；△ADE≌△CBF.
故答案为：B
【分析】根据平行四边形的判定和性质以及全等三角形的判定，可得出所有的全等三角形的对数。
6．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角
【解析】【解答】解：根据作图可知：
OD=OC=OD=OC，DC=DC
∴△OCD≌△OCD（SSS）
故答案为：D
【分析】根据作一个角等于已知角的方法，可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：①一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；根据HL可证得两直角三角形全等，此命题正确；
②有两条边相等的两个直角三角形不一定全等；比如一直角三角形的两直角边和另一个直角三角形的一直角边和一斜边相等，则这两个直角三角形并不全等；此命题不正确；
③有一边相等的两个等边三角形全等，用SSS可证明两三角形全等，此命题正确；
④两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，根据SSA并不能证明三角形全等，此命题错误；
正确的序号为：①③
故答案为：C
【分析】利用全等三角形的判断方法或举出反例证明，分别判断各个命题的正误，可得出正确的序号。
8．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】△ABC和甲满足“SAS”所以可得这两个三角形全等，
△ABC和丙满足“AAS”所以可得这两个三角形全等，
故能与△ABC完全重合的是甲和丙，
故答案为：A．
【分析】甲给出的三个条件与三角形ABC满足两边及夹角对应相等，故两个三角形全等；乙给出的三个条件与三角形ABC不是对应相等，故两个三角形不全等；丙给出的条件与三角形ABC满足两个角对应相等，及其中一个角的对边对应相等，故两个三角形全等，根据三角形全等的判定方法即可一一判断。
9．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A.条件：∠A=∠A，∠C=∠C，AC=A′C′符合“ASA”；B.条件：∠B=∠B，BC=B′C′，AB=A′B′符合“SAS”；C.条件：∠A=∠A′=80°，∠B=60°，可得∠C=∠C′=40°，AB=A′B′，符合“AAS”；D.条件：∠A=∠A，BC=B′C′，AB=A′B′，属于“SSA”，不能判定全等，故答案为：D。
【分析】利用数形结合的方法，画出两个三角形，将四个选项中的三个条件分别一一的标注在图上，根据全等三角形的判定方法即可一一判断。
10．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】选项A根据SAS可证全等；选项B根据SAS可证全等；选项C条件不足证明全等；选项D根据AAS可证明全等.
故答案为：C
【分析】根据全等三角形的判定方法SAS找出全等的三角形.
11．【答案】2
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：把“2”带去，将另外两条边延长即可得到与原来三角形相同的三角形。
故答案为：2.
【分析】由三角形判定定理“ASA”可知，2块包含了两个内角及其夹边，则所作出的三角形是唯一的，且与原三角形全等。
12．【答案】108
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】证明：连接BD，
∵在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠C=∠A=108°，
故答案为：108
【分析】连接BD，由条件根据SSS可得△ABD≌△CBD，根据全等三角形对应角相等即可解答。
13．【答案】2
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ∠ACB=90°，AD⊥CE，BE⊥CE
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，∠DCA+∠BCE=90°
∴∠DAC=∠BCE
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS）
∴AD=CE=3，BE=CD=1
∵DE=EC-DC
∴DE=3-1=2
故答案为：2
【分析】利用垂直的定义及同角的余角相等，可证得∠DAC=∠BCE，再利用AAS证明△ADC≌△CEB，利用全等三角形的性质求出EC、DC的长，然后根据DE=EC-DC，求出DE的长。
14．【答案】∠A=∠D（其它合理答案亦可）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】可以添加∠A=∠D，利用AAS判定△ABC≌△DCB．
故答案为：∠A=∠D．
【分析】图形中隐含公共边BC=CB，已知一组对应角相等，因此可添加其它的两组对应角中的任意一组对应角相等，或添加AC=BD，即可得出答案。
15．【答案】1【知识点】三角形三边关系；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝8，
在△ABE中，AB BE＜AE＜AB＋BE，
∴8 6＜2AD＜6＋8，
∴1＜AD＜7，
故答案为：1＜AD＜7．
【分析】根据全等三角形的判定方法SAS得到△ADC≌△EDB，得到BE=AC的值，再根据三角形的三边关系得到中线AD的取值范围.
16．【答案】4
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：当△CAP与△PQB全等时，有PB=CA，或PB=AP.
（ 1 ）当PB=CA=4时，此时时间=4÷1=4，则AP=12-PB=8，BQ=2PB=8，∴AP=BQ，则△CAP≌△PBQ；
（ 2 ）当PB=AP时，PB=AP= ，此时时间=6÷1=6，则BQ=12，但BQ≠AC，则△CAP与△PQB不全等；
故答案为：4.
【分析】由△CAP与△PQB都是直角三角形，则两直角边的对应情况有两种，分别为PB=CA， 或PB=AP；分别讨论，两种情况下，其他边是否相等即可.
17．【答案】解：如图所示：
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【分析】 根据三角形具有稳定性，主要是应用了三角形的稳定性.
18．【答案】解：①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法SSS…（故答案为SSS；②如图所示．
步骤：①利用刻度尺在OA、OB上分别截取OG=OH．
②连接GH，利用刻度尺作出GH的中点Q．
③作射线OQ．
则OQ为∠AOB的平分线．
【知识点】三角形全等的判定；作图-角的平分线
【解析】【分析】①根据角平分线的作法，可得出OE=OD，CE=CD，公共边OC，利用SSS可证得两三角形全等；②利用角平分线的作法写出作法即可。
19．【答案】（1）解：如图，在AC上截取AF=AE，连接PF
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△APE和△APF中
∴△APE≌△APF（SAS），
∴∠AOE=∠APE，
∵∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，
∴∠APC=120°,
∴∠CPD=60°
（2）解：∵∠APC=120°，∴∠APE=60°，
∴∠APF=∠CPD=60°=∠CPF，
在△CPF和△CPD中，
,
∴△CPF≌△CPD（ASA）
∴CF=CD，
∴AC=AF+CF=AE+CD=3+7=10
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）在AC上截取AF=AE，连接PF，根据已知易证△APE≌△APF，利用全等三角形的性质，就可证得∠APE=∠APF，利用角平分线的定义及三角形内角和定理，再求出∠APC的度数，就可得到∠CPD的度数。
（2）由（1）可知∠APC=120°，∠APE=∠APF，就可证得∠CPD=∠CPF，利用ASA证明△CPF和△CPD全等，利用全等三角形的性质，就可证得CF=CD，然后求出AC的长即可。
20．【答案】（1）证明：在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）
（2）证明：∵△ABC≌△DCB，
∴∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC（全等三角形的对应角相等）
∴∠ABC－DBC =∠DCB－∠ACB，即∠ABO=∠DCO.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用SSS直接证明 △ABC≌△DCB。
（2）利用全等三角形的性质，可证得 ∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，再利用等式的性质，可证得结论。
21．【答案】（1）证明：∵∠C=90°
∴∠MCA+∠BCN=90°
∵AM⊥MN，BN⊥MN
∴∠AMC=∠CNB=90°
∴∠MAC+∠MCA=90°
∴∠MAC=∠BCN
在△AMC和△CNB中
∠MAC=∠BCN
∠AMC=∠CMB，
AC=BC
∴△AMC≌△CNB
∴AM=CN，MC=BN
∴MN=MC+CN=AM+BN
（2）解：MN=BN-AM
证明：∵∠AMC=∠BNC=90°，
∴∠ACM+∠NCB=90°，
∠NCB+∠CBN=90°，
故∠ACM=∠CBN，
在△AMC和△CNB中，
∠ACM=∠CBN
∠AMC=∠BNC=90°
AC=BC，
∴△AMC≌△CNB，
∴CM =BN，
CN=AM，
∴MN=CM-CN=BN-AM，
∴MN=BN-AM。
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等得出 ∠MAC=∠BCN ，然后由AAS判断出 △AMC≌△CNB ，根据全等三角形的对应边相等得出 AM=CN，MC=BN ，然后根据线段的和差及等量代换得出 MN=AM+BN ；
（2） MN=BN-AM ，理由如下：根据同角的余角相等得出 ∠ACM=∠CBN， 然后利用AAS判断出 △AMC≌△CNB， 根据全等三角形的对应边相等得出 CM =BN ， CN=AM ，然后根据线段的和差及等量代换即可得出 MN=BN-AM 。
22．【答案】（1）解： 证明：∵∠MAN=90°，即∠MAE+∠EAN=90°，又∵BD⊥AE，CF⊥AE，∴∠BDA+∠CFA=90°，∠MAE+∠ABD=90°，∴∠EAN=∠ABD，在△ABD和△CAF中，∵,∴△ABD≌△CAF（AAS）.
（2）解： 证明：∵∠1=∠2，∴∠BEA=∠AFC，又∵∠BAC=∠2，∠BAC=∠BAE+∠FAC，∠2=∠FAC+∠ACF，∴∠BAE=∠ACF，在△ABE和△CAF中，∵,∴△ABE≌△CAF（AAS）.
（3）解：由（2）知△ABE≌△CAF，∵CB=2BD，∴BC=3BD，∵S△ABC=15，∴S△ACF+S△BDE=S△ABE+S△BDE=S△ABD= S△ABC，= ×15=5.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义和同角的余角相等得∠EAN=∠ABD，再由全等三角形判定AAS可得△ABD≌△CAF.
（2）根据等角的补角相等得∠BEA=∠AFC，由同角的余角相等得∠BAE=∠ACF，再由全等三角形判定AAS可得△ABE≌△CAF.
（3）由（2）知△ABE≌△CAF，可得S△ACF=S△ABE，根据CB=2BD可得S△ABD=
S△ABC，由S△ACF+S△BDE=S△ABE+S△BDE=S△ABD=
S△ABC，从而得出答案.
23．【答案】（1）解：BD+DE=CE
证明：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∵BD⊥l，CE⊥l
∴∠BDA=∠CEA=90°
∴∠ABD+∠DAB=90°
∵∠BAC=90°
∴∠DAB+∠CAE=90°
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE．
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（2）解：成立
证：∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD
∠DBA=180°-∠BDA-∠BAD
∵∠BAC=∠BDA
∴∠CAE=∠ABD
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE．
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（3）①当0≤t＜时，点P在AB上，点Q在AC上，
此时有BF=2t，CG=3t，AB=25，AC=35.
当PA=QA，即25-2t=35-3t，也即t=10时，
∵PF⊥l，QG⊥l，∠BAC=90°，
∴∠PFA=∠QGA=∠BAC=90°，
∴∠PAF=90°-∠GAQ=∠AQG，
在△PFA和△QAG中，
,
∴△PFA≌△QAG（AAS）.
②当时，点P在AB上，点Q也在AB上，
此时相当于两点相遇，则有2t+3t=60，解得t=12；
③当20＜t＜30时，点Q停在点B处，点P在AC上，
当PA=QA即2t-25=25，解得t=25（而点Q运动20秒就停止，所以，舍去）。
综上所述：当t等于12秒或10秒时，△PFA与△QAG全等。
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义和全等三角形的判定方法AAS，得到△ABD≌△CAE，得到对应边相等，得到DE=CE+BD；（2）由角的和差和全等三角形的判定方法AAS，得到△ABD≌△CAE，得到对应边相等，得到DE=CE+BD；（3）易证∠PFA=∠QGA，∠PAF=∠AQG，只需PA=QA，就可得到△PFA与△QAG全等，然后只需根据点P和点Q不同位置进行分类讨论即可解决问题。
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