2018-2019学年数学苏科版九年级上册 第1章 一元二次方程 单元检测
一、单选题
1．下列方程中不一定是一元二次方程的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】一元二方程必须满足的条件是：未知数最高项的次数为2，二次项系数不为0。B项，当a=0时，方程不是一元二次方程，因此该方程不一定是一元二次方程。
故答案为B
【分析】一元二方程必须满足3个条件：未知数最高项的次数为2，二次项系数不为0，且是整式方程。而a + b x + c = 0中没有说明a不为0.a=0时，方程不是一元二次方程。
2．（2018九上·建平期末）关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0的常数项是0，则m的值（ ）
A．1 B．1或2 C．2 D．±1
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】由题意，得
m2-3m+2=0且m-1≠0，
解得m=2，
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的定义得出m-1≠0，再根据常数项是0列出方程m -m=0进行解答.
3．（2016九上·三亚期中）把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（ ）
A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10
C．1，﹣5，12 D．1，3，2
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由方程x（x+2）=5（x﹣2），得
x2﹣3x+10=0，
∴a、b、c的值分别是1、﹣3、10；
故选A．
【分析】a、b、c分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系数、常数项．
4．（2017·潍城模拟）已知a，b是关于x的一元二次方程x2+nx﹣1=0的两实数根，则式子 的值是（ ）
A．n2+2 B．﹣n2+2 C．n2﹣2 D．﹣n2﹣2
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意知，
a+b=﹣n，ab=﹣1，
∴
=
= =﹣n2﹣2．
故选D．
【分析】欲求 的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，然后利用一元二次方程根与系数的关系代入数值计算即可．
5．下列方程能直接开平方的是（ ）
A．5x2+2=0 B．4x2﹣2x+1=0 C．（x﹣2）2=4 D．3x2+4=2
【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：能直接开平方的是（x﹣2）2=4，
故选：C．
【分析】根据用直接开方法求一元二次方程的解的类型：x2=a（a≥0），ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）可得答案．
6．对于代数式﹣x2+4x﹣5，通过配方能说明它的值一定是（ ）
A．非正数 B．非负数 C．正数 D．负数
【答案】D
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：﹣x2+4x﹣5
=﹣（x2﹣4x）﹣5
=﹣（x﹣2）2﹣1，
∵﹣（x﹣2）2≤0，
∴﹣（x﹣2）2﹣1＜0，
故答案为：D
【分析】利用配方法将原式变形为﹣（x﹣2）2﹣1，再确定代数式的符号，可解答。
7．用公式法解﹣x2+3x=1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（ ）
A．﹣1，3，﹣1 B．1，﹣3，﹣1
C．﹣1，﹣3，﹣1 D．﹣1，3，1
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程﹣x2+3x=1整理得：﹣x2+3x﹣1=0，
则a，b，c依次为﹣1；3；﹣1．
故选A
【分析】方程整理后，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．
8．（2017·邕宁模拟）若方程x2﹣（m2﹣4）x+m=0的两个根互为相反数，则m等于（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．4
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵方程x2﹣（m2﹣4）x+m=0的两个根是互为相反数，
设这两根是α、β，则α+β=m2﹣4=0，
解得：m=±2，
但当m=2时，原方程为：x2+2=0，方程没有实数根，
故m=﹣2．
故答案为：A．
【分析】设这两根是α、β，则α+β=0，然后依据一元二次方程根与系数的关系可得到α+β=m2﹣4=0，从而可求得m的值，最后，再进行检验即可.
9．（2017·台湾）一元二次方程式x2﹣8x=48可表示成（x﹣a）2=48+b的形式，其中a、b为整数，求a+b之值为何（ ）
A．20 B．12 C．﹣12 D．﹣20
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
【解析】【解答】∵x2﹣8x=48，
∴x2﹣8x+16=48+16，
∴（x﹣4）2=48+16，
∴a=4，b=16，
∴a+b=20．
故答案为：A．
【分析】根据配方法的原则：加上一次项系数一半的平方；再根据完全平方差公式得出a和b的值，从而求出a+b的值.
10．（2017·成华模拟）一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（ ）
A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4
C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=4
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2﹣6x﹣5=0，
x2﹣6x=5，
x2﹣6x+9=5+9，
（x﹣3）2=14，
故选：A．
【分析】先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上32，这样方程左边就为完全平方式．
11．下列方程不适于用因式分解法求解的是（ ）
A．x2﹣（2x﹣1）2=0 B．x（x+8）=8
C．2x（3﹣x）=x﹣3 D．5x2=4x
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A 左边满足平方差公式，可以用平方差公式进行因式分解；
B 不具有因式分解的结构特点，不能因式分解；
C 把右边的项移到左边，可以用提公因式法提取x进行因式分解；
D 把右边的项移到左边，可以用提公因式法提取x进行因式分解．
故选B．
【分析】运用因式分解的几种方法解方程，发现D是不能因式分解的．
12．以x=为根的一元二次方程可能是（ ）
A．+bx+c=0 B．+bx﹣c=0 C．﹣bx+c=0 D．﹣bx﹣c=0
【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据求根公式知，﹣b是一次项系数。二次项系数是1，常数项是c；或者二次项系数是-1，常数项是-c。
所以，符合题意的只有C选项．
故选C．
【分析】对照求根公式确定二次项系数、一次项系数和常数项．
13．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为（ ）
A．10cm B．13cm C．14cm D．16cm
【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】正方形铁皮的边长应是x厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为（x-3×2）厘米，高为3厘米，根据题意列方程得，
（x-3×2）（x-3×2）×3=300，
解得x1=16，x2=-4（不合题意，舍去）；
答：正方形铁皮的边长应是16厘米．
故选：D．
【分析】此题主要考查长方体的体积计算公式：长方体的体积=长×宽×高，以及平面图形折成立体图形后各部分之间的关系
14．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．12 C．16或12 D．24
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；菱形的性质
【解析】【解答】解：（x﹣3）（x﹣4）=0，
x﹣3=0或x﹣4=0，
所以x1=3，x2=4，
∵菱形ABCD的一条对角线长为6，
∴边AB的长是4，
∴菱形ABCD的周长为16．
故选A．
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=3，x2=4，再根据菱形的性质可确定边AB的长是4，然后计算菱形的周长．
15．若实数范围内定义一种运算“﹡”，使a*b=（a+1）2﹣ab，则方程（x+2）*5=0的解为（ ）
A．-2 B．﹣2，3 C．, D．,
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：依题意，可将所求方程转化为：（x+3）2﹣5（x+2）=0，
化简得：x2+x﹣1=0
解得x1=，x2=，
故选D．
【分析】根据运算“﹡”的规则，可将所求的方程化为：（x+2+1）2﹣5（x+2）=0，然后解这个一元二次方程即可．
二、填空题
16．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为 ．
【答案】0
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵x=（b2﹣4c＞0），
∴x2+bx+c
=
=
=
=
=0．
故答案为：0．
【分析】把x的值代入代数式，再进行计算即可．
17．（2017·新吴模拟）已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根，则三角形的第三边c的取值范围是 ．
【答案】1＜c＜5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根，
∴x1+x2=5，x1x2=6，
∵（x1﹣x2）2，
=（x1+x2）2﹣4x1x2，
=25﹣24，
=1，
∴x1﹣x2=1，
又∵x1﹣x2＜c＜x1+x2，
∴1＜c＜5．
故答案为：1＜c＜5．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=5，x1x2=6，再由（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2，代入得出x1﹣x2=1，根据三角形三边之间的关系得出答案.
18．（2017九上·姜堰开学考）方程2x2+3x﹣1=0的两个根为x1、x2，则 + 的值等于 ．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣ ，x1x2=﹣ ，
所以 + = = =3．
故答案为3．
【分析】根据一元二次方程根与系数之间的关系得出x1+x2 及x1x2的值 ，然后将异分母分式通分运算再整体代入即可。
19．（2017九上·双城开学考）方程2x2﹣6x﹣5=0两根为α，β，则α2+β2= ，（α﹣β）2= ．
【答案】14；19
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得α+β=3，αβ=﹣ ，
所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=32﹣2×（﹣ ）=14；
（α﹣β）2=（α+β）2﹣4αβ=32﹣4×（﹣ ）=19．
故答案为14，19．，
【分析】根据一元二次方程根与系数之间的关系得出α+β，αβ的值，然后将α2+β2变形为（α+β）2﹣2αβ，将（α﹣β）2变形为（α+β）2﹣4αβ，整体代入即可。
20．（2017·冠县模拟）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是 ．
【答案】﹣1或4
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题中的新定义将x★2=6变形得：
x2﹣3x+2=6，即x2﹣3x﹣4=0，
因式分解得：（x﹣4）（x+1）=0，
解得：x1=4，x2=﹣1，
则实数x的值是﹣1或4．
故答案为：﹣1或4
【分析】根据题中的新定义将所求式子转化为一元二次方程，求出一元二次方程的解即可得到x的值．
三、计算题
21．（2017九上·徐州开学考）解下列方程：
（1）x2﹣4x+4=0
（2）x（x﹣2）=3（x﹣2）
（3）（2y﹣1）2﹣4=0
（4）（2x+1）（x﹣3）=0
（5）x2+5x+3=0
（6）x2﹣6x+1=0．
【答案】（1）解：（x﹣2）2=0，
所以x1=x2=2；
（2）解：x（x﹣2）﹣3（x﹣2）=0，
（x﹣2）（x﹣3）=0，
x﹣2=0或x﹣3=0，
所以x1=2，x2=3；
（3）解：（2y﹣1）2=4，
2y﹣1=±2，
所以y1= ，y2=﹣ ；
（4）解：2x+1=0或x﹣3=0，
所以x1=﹣ ，x2=3；
（5）解：△=52﹣4×3=13，
x= ，
所以x1= ，x2= ；
（6）解：△=（﹣6）2﹣4×1=32，
x= =3±2
所以x1=3+2 ，x2=3﹣2 ．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】观察各个方程的特点，选择合适的方法。
（1）因式分解法解方程；
（2）用提取公因式法求解；
（3）直接开平方法解；
（4）直接将原方程转化为两个一元一次方程求解即可；
（5）（6）利用公式法求解。
四、综合题
22．关于x的一元二次方程x2﹣6x+p2﹣2p+5=0的一个根为2．
（1）求p值．
（2）求方程的另一根．
【答案】（1）解：将x=2代入原方程，得：4﹣12+p2﹣2p+5=0，
整理，得：p2﹣2p﹣3=0，
解得：p=﹣1或p=3
（2）解：设方程的另一个根为m，
根据韦达定理，得：m+2=6，
∴m=4．
答：方程的另一根为4
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）将x=2代入原方程可得出关于p的一元二次方程，解方程即可得出p的值；（2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得出m+2=6，解之即可得出结论．
23．（2017·黄冈模拟）某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
【答案】（1）解：设平均每次下调的百分率是x，根据题意列方程得，
7000（1﹣x）2=5670，
解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；
答：平均每次下调的百分率为10%．
（2）解：（1﹣5%）×（1﹣15%）
=95%×85%
=80.75%，
（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．
∵80.75%＜81%，
∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）设出平均每次下调的百分率为x，利用原每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2=经过两次下调每平方米销售价格列方程解答即可；（2）求出先下调5%，再下调15%，是原来价格的百分率，与开发商的方案比较，即可求解．
24．（2017·惠阳模拟）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
【答案】（1）解：设该种商品每次降价的百分率为x%，
依题意得：400×（1﹣x%）2=324，
解得：x=10，或x=190（舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
（2）解：设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，
第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）；
第二次降价后的单件利润为：324﹣300=24（元/件）．
依题意得：60m+24×（100﹣m）=36m+2400≥3210，
解得：m≥22.5．
∴m≥23．
答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元．第一次降价后至少要售出该种商品23件．
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，根据“两次降价后的售价=原价×（1﹣降价百分比）的平方”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，根据“总利润=第一次降价后的单件利润×销售数量+第二次降价后的单件利润×销售数量”，即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
25．（2017九上·台州月考）在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是2：1，设制作这面镜子的宽度是x米，总费用是y元，则y=240x2+180x+60．（注：总费用=镜面玻璃的费用+边框的费用+加工费）
（1）这块镜面玻璃的价格是每平方米 元，加工费 元；
（2）如果制作这面镜子共花了210元，求这面镜子的长和宽．
【答案】（1）120；60
（2）解：根据题意得：
240x2+180x+60=210，
整理得：8x2+6x﹣5=0，
即（2x﹣1）（4x+5）=0，
解得x1=0.5，x2=﹣1.25（舍去），
∴x=0.5，
∴2x=1，
答：镜子的长和宽分别是1米和0.5米
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】（1）设这块镜面玻璃的价格是每平方米m元，
∵镜子的长与宽的比是2：1，镜子的宽是x米，
∴镜子的长是2x米，
∴2x x m=240x2，
∴m=120，
∴这块镜面玻璃的价格是每平方米120元；
∵y=240x2+180x+60，（总费用=镜面玻璃的费用+边框的费用+加工费），
∴加工费就是60元；
故答案为：120，60.
【分析】（1）根据镜子的长与宽的比是2：1，镜子的宽是x米，得出镜子的长是2x米，求出镜子的面积，再设这块镜面玻璃的价格是每平方米m元，列出式子，求出m的值，再根据总费用y=240x2+180x+60直接得出加工费用.
（2）根据共花了210元，再根据总费用是y=240x2+180x+60，列出方程，再进行求解即可.
26．（2017九上·秦皇岛开学考）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点D移动．当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动．
（1）问几秒后，点P和点Q的距离是10cm？
（2）问几秒后，以P、Q、D三点为顶点的三角形为直角三角形？
（提示：根据不同情况画出不同的图形，再给予解决问题．）
【答案】（1）解：设x秒后，点P和点Q的距离是10cm，
（16﹣2x﹣3x）2+62=102，
（16﹣5x）2=64，
16﹣5x=±8，
x1=1.6，x2=4.8，
答：1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=16，AD=BC=6，根据题意得：AP=3t，CQ=2t，∴DQ=CD﹣CQ=16﹣2t，过点Q作QM⊥AB于点M，∴四边形BCQM是矩形，∴QM=BC=6，BM=CQ=2t，∴PM=AB﹣AP﹣BM=16﹣5t，①如图1， 若∠DPQ=90°，∴∠APD+∠MPQ=90°，∵∠APD+∠ADP=90°，∴∠ADP=∠MPQ，∵∠A=∠PMQ=90°，
∴△APD∽△MQP，
∴ = ，∴ = ，
解得：t=2或t= ；
②如图2，
若∠DQP=90°，则有DQ2=DP2﹣PQ2，
∴（16﹣2t）2=62+（3t）2﹣62，
解得：t= ，
综上所述，当t=2或 或 时，△PDQ为直角三角形．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理，得到一元二次方程，求出这个一元二次方程的解即可；（2）根据矩形的性质和速度得到各个边的关系式，当∠DPQ=90°时，得到△APD∽△MQP，得到比例求出t的值；当∠DQP=90°时，根据勾股定理求出t的值，在解一元二次方程时，注意实际意义.
1 / 12018-2019学年数学苏科版九年级上册 第1章 一元二次方程 单元检测
一、单选题
1．下列方程中不一定是一元二次方程的是（ ）.
A． B．
C． D．
2．（2018九上·建平期末）关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0的常数项是0，则m的值（ ）
A．1 B．1或2 C．2 D．±1
3．（2016九上·三亚期中）把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（ ）
A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10
C．1，﹣5，12 D．1，3，2
4．（2017·潍城模拟）已知a，b是关于x的一元二次方程x2+nx﹣1=0的两实数根，则式子 的值是（ ）
A．n2+2 B．﹣n2+2 C．n2﹣2 D．﹣n2﹣2
5．下列方程能直接开平方的是（ ）
A．5x2+2=0 B．4x2﹣2x+1=0 C．（x﹣2）2=4 D．3x2+4=2
6．对于代数式﹣x2+4x﹣5，通过配方能说明它的值一定是（ ）
A．非正数 B．非负数 C．正数 D．负数
7．用公式法解﹣x2+3x=1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（ ）
A．﹣1，3，﹣1 B．1，﹣3，﹣1
C．﹣1，﹣3，﹣1 D．﹣1，3，1
8．（2017·邕宁模拟）若方程x2﹣（m2﹣4）x+m=0的两个根互为相反数，则m等于（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．4
9．（2017·台湾）一元二次方程式x2﹣8x=48可表示成（x﹣a）2=48+b的形式，其中a、b为整数，求a+b之值为何（ ）
A．20 B．12 C．﹣12 D．﹣20
10．（2017·成华模拟）一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（ ）
A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4
C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=4
11．下列方程不适于用因式分解法求解的是（ ）
A．x2﹣（2x﹣1）2=0 B．x（x+8）=8
C．2x（3﹣x）=x﹣3 D．5x2=4x
12．以x=为根的一元二次方程可能是（ ）
A．+bx+c=0 B．+bx﹣c=0 C．﹣bx+c=0 D．﹣bx﹣c=0
13．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为（ ）
A．10cm B．13cm C．14cm D．16cm
14．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．12 C．16或12 D．24
15．若实数范围内定义一种运算“﹡”，使a*b=（a+1）2﹣ab，则方程（x+2）*5=0的解为（ ）
A．-2 B．﹣2，3 C．, D．,
二、填空题
16．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为 ．
17．（2017·新吴模拟）已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根，则三角形的第三边c的取值范围是 ．
18．（2017九上·姜堰开学考）方程2x2+3x﹣1=0的两个根为x1、x2，则 + 的值等于 ．
19．（2017九上·双城开学考）方程2x2﹣6x﹣5=0两根为α，β，则α2+β2= ，（α﹣β）2= ．
20．（2017·冠县模拟）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是 ．
三、计算题
21．（2017九上·徐州开学考）解下列方程：
（1）x2﹣4x+4=0
（2）x（x﹣2）=3（x﹣2）
（3）（2y﹣1）2﹣4=0
（4）（2x+1）（x﹣3）=0
（5）x2+5x+3=0
（6）x2﹣6x+1=0．
四、综合题
22．关于x的一元二次方程x2﹣6x+p2﹣2p+5=0的一个根为2．
（1）求p值．
（2）求方程的另一根．
23．（2017·黄冈模拟）某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
24．（2017·惠阳模拟）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
25．（2017九上·台州月考）在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是2：1，设制作这面镜子的宽度是x米，总费用是y元，则y=240x2+180x+60．（注：总费用=镜面玻璃的费用+边框的费用+加工费）
（1）这块镜面玻璃的价格是每平方米 元，加工费 元；
（2）如果制作这面镜子共花了210元，求这面镜子的长和宽．
26．（2017九上·秦皇岛开学考）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点D移动．当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动．
（1）问几秒后，点P和点Q的距离是10cm？
（2）问几秒后，以P、Q、D三点为顶点的三角形为直角三角形？
（提示：根据不同情况画出不同的图形，再给予解决问题．）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】一元二方程必须满足的条件是：未知数最高项的次数为2，二次项系数不为0。B项，当a=0时，方程不是一元二次方程，因此该方程不一定是一元二次方程。
故答案为B
【分析】一元二方程必须满足3个条件：未知数最高项的次数为2，二次项系数不为0，且是整式方程。而a + b x + c = 0中没有说明a不为0.a=0时，方程不是一元二次方程。
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】由题意，得
m2-3m+2=0且m-1≠0，
解得m=2，
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的定义得出m-1≠0，再根据常数项是0列出方程m -m=0进行解答.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由方程x（x+2）=5（x﹣2），得
x2﹣3x+10=0，
∴a、b、c的值分别是1、﹣3、10；
故选A．
【分析】a、b、c分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系数、常数项．
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意知，
a+b=﹣n，ab=﹣1，
∴
=
= =﹣n2﹣2．
故选D．
【分析】欲求 的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，然后利用一元二次方程根与系数的关系代入数值计算即可．
5．【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：能直接开平方的是（x﹣2）2=4，
故选：C．
【分析】根据用直接开方法求一元二次方程的解的类型：x2=a（a≥0），ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）可得答案．
6．【答案】D
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：﹣x2+4x﹣5
=﹣（x2﹣4x）﹣5
=﹣（x﹣2）2﹣1，
∵﹣（x﹣2）2≤0，
∴﹣（x﹣2）2﹣1＜0，
故答案为：D
【分析】利用配方法将原式变形为﹣（x﹣2）2﹣1，再确定代数式的符号，可解答。
7．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程﹣x2+3x=1整理得：﹣x2+3x﹣1=0，
则a，b，c依次为﹣1；3；﹣1．
故选A
【分析】方程整理后，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵方程x2﹣（m2﹣4）x+m=0的两个根是互为相反数，
设这两根是α、β，则α+β=m2﹣4=0，
解得：m=±2，
但当m=2时，原方程为：x2+2=0，方程没有实数根，
故m=﹣2．
故答案为：A．
【分析】设这两根是α、β，则α+β=0，然后依据一元二次方程根与系数的关系可得到α+β=m2﹣4=0，从而可求得m的值，最后，再进行检验即可.
9．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
【解析】【解答】∵x2﹣8x=48，
∴x2﹣8x+16=48+16，
∴（x﹣4）2=48+16，
∴a=4，b=16，
∴a+b=20．
故答案为：A．
【分析】根据配方法的原则：加上一次项系数一半的平方；再根据完全平方差公式得出a和b的值，从而求出a+b的值.
10．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2﹣6x﹣5=0，
x2﹣6x=5，
x2﹣6x+9=5+9，
（x﹣3）2=14，
故选：A．
【分析】先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上32，这样方程左边就为完全平方式．
11．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A 左边满足平方差公式，可以用平方差公式进行因式分解；
B 不具有因式分解的结构特点，不能因式分解；
C 把右边的项移到左边，可以用提公因式法提取x进行因式分解；
D 把右边的项移到左边，可以用提公因式法提取x进行因式分解．
故选B．
【分析】运用因式分解的几种方法解方程，发现D是不能因式分解的．
12．【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据求根公式知，﹣b是一次项系数。二次项系数是1，常数项是c；或者二次项系数是-1，常数项是-c。
所以，符合题意的只有C选项．
故选C．
【分析】对照求根公式确定二次项系数、一次项系数和常数项．
13．【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】正方形铁皮的边长应是x厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为（x-3×2）厘米，高为3厘米，根据题意列方程得，
（x-3×2）（x-3×2）×3=300，
解得x1=16，x2=-4（不合题意，舍去）；
答：正方形铁皮的边长应是16厘米．
故选：D．
【分析】此题主要考查长方体的体积计算公式：长方体的体积=长×宽×高，以及平面图形折成立体图形后各部分之间的关系
14．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；菱形的性质
【解析】【解答】解：（x﹣3）（x﹣4）=0，
x﹣3=0或x﹣4=0，
所以x1=3，x2=4，
∵菱形ABCD的一条对角线长为6，
∴边AB的长是4，
∴菱形ABCD的周长为16．
故选A．
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=3，x2=4，再根据菱形的性质可确定边AB的长是4，然后计算菱形的周长．
15．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：依题意，可将所求方程转化为：（x+3）2﹣5（x+2）=0，
化简得：x2+x﹣1=0
解得x1=，x2=，
故选D．
【分析】根据运算“﹡”的规则，可将所求的方程化为：（x+2+1）2﹣5（x+2）=0，然后解这个一元二次方程即可．
16．【答案】0
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵x=（b2﹣4c＞0），
∴x2+bx+c
=
=
=
=
=0．
故答案为：0．
【分析】把x的值代入代数式，再进行计算即可．
17．【答案】1＜c＜5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根，
∴x1+x2=5，x1x2=6，
∵（x1﹣x2）2，
=（x1+x2）2﹣4x1x2，
=25﹣24，
=1，
∴x1﹣x2=1，
又∵x1﹣x2＜c＜x1+x2，
∴1＜c＜5．
故答案为：1＜c＜5．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=5，x1x2=6，再由（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2，代入得出x1﹣x2=1，根据三角形三边之间的关系得出答案.
18．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣ ，x1x2=﹣ ，
所以 + = = =3．
故答案为3．
【分析】根据一元二次方程根与系数之间的关系得出x1+x2 及x1x2的值 ，然后将异分母分式通分运算再整体代入即可。
19．【答案】14；19
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得α+β=3，αβ=﹣ ，
所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=32﹣2×（﹣ ）=14；
（α﹣β）2=（α+β）2﹣4αβ=32﹣4×（﹣ ）=19．
故答案为14，19．，
【分析】根据一元二次方程根与系数之间的关系得出α+β，αβ的值，然后将α2+β2变形为（α+β）2﹣2αβ，将（α﹣β）2变形为（α+β）2﹣4αβ，整体代入即可。
20．【答案】﹣1或4
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题中的新定义将x★2=6变形得：
x2﹣3x+2=6，即x2﹣3x﹣4=0，
因式分解得：（x﹣4）（x+1）=0，
解得：x1=4，x2=﹣1，
则实数x的值是﹣1或4．
故答案为：﹣1或4
【分析】根据题中的新定义将所求式子转化为一元二次方程，求出一元二次方程的解即可得到x的值．
21．【答案】（1）解：（x﹣2）2=0，
所以x1=x2=2；
（2）解：x（x﹣2）﹣3（x﹣2）=0，
（x﹣2）（x﹣3）=0，
x﹣2=0或x﹣3=0，
所以x1=2，x2=3；
（3）解：（2y﹣1）2=4，
2y﹣1=±2，
所以y1= ，y2=﹣ ；
（4）解：2x+1=0或x﹣3=0，
所以x1=﹣ ，x2=3；
（5）解：△=52﹣4×3=13，
x= ，
所以x1= ，x2= ；
（6）解：△=（﹣6）2﹣4×1=32，
x= =3±2
所以x1=3+2 ，x2=3﹣2 ．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】观察各个方程的特点，选择合适的方法。
（1）因式分解法解方程；
（2）用提取公因式法求解；
（3）直接开平方法解；
（4）直接将原方程转化为两个一元一次方程求解即可；
（5）（6）利用公式法求解。
22．【答案】（1）解：将x=2代入原方程，得：4﹣12+p2﹣2p+5=0，
整理，得：p2﹣2p﹣3=0，
解得：p=﹣1或p=3
（2）解：设方程的另一个根为m，
根据韦达定理，得：m+2=6，
∴m=4．
答：方程的另一根为4
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）将x=2代入原方程可得出关于p的一元二次方程，解方程即可得出p的值；（2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得出m+2=6，解之即可得出结论．
23．【答案】（1）解：设平均每次下调的百分率是x，根据题意列方程得，
7000（1﹣x）2=5670，
解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；
答：平均每次下调的百分率为10%．
（2）解：（1﹣5%）×（1﹣15%）
=95%×85%
=80.75%，
（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．
∵80.75%＜81%，
∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）设出平均每次下调的百分率为x，利用原每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2=经过两次下调每平方米销售价格列方程解答即可；（2）求出先下调5%，再下调15%，是原来价格的百分率，与开发商的方案比较，即可求解．
24．【答案】（1）解：设该种商品每次降价的百分率为x%，
依题意得：400×（1﹣x%）2=324，
解得：x=10，或x=190（舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
（2）解：设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，
第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）；
第二次降价后的单件利润为：324﹣300=24（元/件）．
依题意得：60m+24×（100﹣m）=36m+2400≥3210，
解得：m≥22.5．
∴m≥23．
答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元．第一次降价后至少要售出该种商品23件．
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，根据“两次降价后的售价=原价×（1﹣降价百分比）的平方”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，根据“总利润=第一次降价后的单件利润×销售数量+第二次降价后的单件利润×销售数量”，即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
25．【答案】（1）120；60
（2）解：根据题意得：
240x2+180x+60=210，
整理得：8x2+6x﹣5=0，
即（2x﹣1）（4x+5）=0，
解得x1=0.5，x2=﹣1.25（舍去），
∴x=0.5，
∴2x=1，
答：镜子的长和宽分别是1米和0.5米
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】（1）设这块镜面玻璃的价格是每平方米m元，
∵镜子的长与宽的比是2：1，镜子的宽是x米，
∴镜子的长是2x米，
∴2x x m=240x2，
∴m=120，
∴这块镜面玻璃的价格是每平方米120元；
∵y=240x2+180x+60，（总费用=镜面玻璃的费用+边框的费用+加工费），
∴加工费就是60元；
故答案为：120，60.
【分析】（1）根据镜子的长与宽的比是2：1，镜子的宽是x米，得出镜子的长是2x米，求出镜子的面积，再设这块镜面玻璃的价格是每平方米m元，列出式子，求出m的值，再根据总费用y=240x2+180x+60直接得出加工费用.
（2）根据共花了210元，再根据总费用是y=240x2+180x+60，列出方程，再进行求解即可.
26．【答案】（1）解：设x秒后，点P和点Q的距离是10cm，
（16﹣2x﹣3x）2+62=102，
（16﹣5x）2=64，
16﹣5x=±8，
x1=1.6，x2=4.8，
答：1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=16，AD=BC=6，根据题意得：AP=3t，CQ=2t，∴DQ=CD﹣CQ=16﹣2t，过点Q作QM⊥AB于点M，∴四边形BCQM是矩形，∴QM=BC=6，BM=CQ=2t，∴PM=AB﹣AP﹣BM=16﹣5t，①如图1， 若∠DPQ=90°，∴∠APD+∠MPQ=90°，∵∠APD+∠ADP=90°，∴∠ADP=∠MPQ，∵∠A=∠PMQ=90°，
∴△APD∽△MQP，
∴ = ，∴ = ，
解得：t=2或t= ；
②如图2，
若∠DQP=90°，则有DQ2=DP2﹣PQ2，
∴（16﹣2t）2=62+（3t）2﹣62，
解得：t= ，
综上所述，当t=2或 或 时，△PDQ为直角三角形．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理，得到一元二次方程，求出这个一元二次方程的解即可；（2）根据矩形的性质和速度得到各个边的关系式，当∠DPQ=90°时，得到△APD∽△MQP，得到比例求出t的值；当∠DQP=90°时，根据勾股定理求出t的值，在解一元二次方程时，注意实际意义.
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