(共48张PPT)
9.5 多项式的因式分解
第9章 整式乘法与因式分解
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
因式分解
公因式
提公因式法分解因式
运用平方差公式分解因式
运用完全平方公式分解因式
因式分解的一般步骤
知识点
因式分解
知1－讲
1
1. 定义
把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
知1－讲
2. 整式乘法与因式分解的关系
(1)整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形.
即：多项式 整式的积.
(2)可以利用整式乘法检验因式分解的结果的正确性.
知1－讲
特别解读：
①分解的结果一定是积的形式；
②每个因式必须是整式；
③各因式要分解到不能再分解为止(它与分解因式所要求的数集有关，本节的分解因式仅限于有理数范围内).
知1－讲
例 1
A
知1－讲
解题秘方：紧扣因式分解的定义进行识别.
解法提醒：
识别因式分解的两个关键词：
●“多项式”说明等式的左边是多项式，即分解的对象是多项式.
●“整式的积”说明右边的结果是整式的积. 一句话：因式分解是整式的和差化积的变化过程.
知1－讲
知1－讲
B
例2
思路点拨：
还没有学习因式分解的方法，要判断因式分解的正确性，可以通过逆向变形(整式乘法)检验因式分解是否正确.
知1－讲
解题秘方：根据因式分解与整式乘法之间的关系进行判断.
解：利用整式的乘法法则将各选项中等式的右边展开，与等式的左边相比较，左右两边相等的只有选项B.
知2－讲
知识点
公因式
2
1. 定义 一个多项式中各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式.
● ● ● ● ●
特别解读：
1. 公因式可以是数，也可以是单项式或多项式．
2. 若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式统一成相同的因式.
知2－讲
2. 公因式的确定方法
(1)确定公因式的系数：若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公约数；
(2)确定字母及字母的指数：取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各项相同字母的指数取其中次数最低的．
知2－讲
3. 注意： 若多项式各项中含有相同的多项式因式，则应将其看成一个整体，不要拆开，作为公因式中的因式. 如3x(x-y)+x2(x-y)的公因式是x(x-y).
知2－讲
例 3
指出下列多项式各项的公因式：
(1)3a2y-3ya+6y；
解：3，6的最大公约数是3，所以公因式的系数是3；有相同字母y，并且y的最低次数是1，所以公因式是3y.
知2－讲
知2－讲
(3)a(x-y)3+b(x-y)2+(x-y)3；
解：观察发现三项都含有x-y，且x-y 的最低次数是2，所以公因式是(x-y)2.
知2－讲
(4)-27a2b3+36a3b2+9a2b.
解：此多项式的第一项含有“-” 号， 应将“-” 号提取变为-(27a2b3-36a3b2-9a2b). 多项式27a2b3-36a3b2-9a2b 各项系数的最大公约数是9；各项都有a、b，且a的最低次数是2，b的最低次数是1，所以多项式-27a2b3+36a3b2+9a2b 各项的公因式是-9a2b.
知2－讲
解题秘方：紧扣公因式的定义求解.
方法点拨：
找准公因式要做到“五看”，即：一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公约数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取次数最低的；四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；五看首项符号，若多项式中首项符号是“-”号，一般情况下公因式符号为负.
知3－讲
知识点
公因式
3
1. 提公因式法
如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
用字母表示为ma+mb+mc=m(a+b+c).
知3－讲
2. 提公因式法的一般步骤
(1)找出公因式，就是找出各项都含有的公共因式；
(2)确定另一个因式：另一个因式即多项式除以公因式所得的商；
(3)写成积的形式.
知3－讲
特别解读：
1. 提公因式法实质上是逆用乘法的分配律.
2. 提公因式法就是把一个多项式分解成两个因式的积的形式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多项式除以这个公因式所得的商.
知3－讲
下列因式分解正确的是( )
A.12abc-9a2b2=3ab(4-3ab)
B. 3m2n-3mn+6n=3n(m2-m+2)
C. -x2+xy-xz=x(x+y-z)
D. a2b+5ab-b=b(a2+5a)
B
例4
知3－讲
解题秘方：提取公因式, 就是要提各项系数的最大公约数与相同字母或因式的最低次幂的积. 因此, 提取时有两个要点：(1)确定系数的最大公约数；(2)找相同字母或因式的最低次幂.
知3－讲
解：A 选项中公因式3ab 找对了, 但括号内的因式不对, 故错误；B 选项，3m2n-3mn+6n=3n(m2-m+2), 正确；C 选项中, 首项系数为负数, 应该是-x2+xy-xz=-x(x-y+z), 故错误；D 选项中, 括号内最末一项剩下的系数“-1”漏掉了, 应该是a2b+5ab-b=b(a2+5a-1)，故错误.
知3－讲
解法提醒：
当多项式首项系数是负数时，一般应先提出“-” 号， 但要注意， 此时括号内各项都要改变符号.
知4－讲
知识点
运用平方差公式分解因式
4
1. 平方差公式法
用字母表示：a2-b2=(a+b)(a-b).
文字描述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
特别解读：
1. 因式分解中的平方差公式法是乘法公式中的平方差公式逆用的形式.
2.(a+b)(a-b) a2b2
知4－讲
2. 平方差公式法的特点
(1)等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且符号相反；
(2)等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是两个数的和，另一个二项式是这两个数的差.
知4－讲
3. 运用平方差公式分解因式的步骤
一判：根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项交换放在后面.
二定： 确定公式中的a 和b，除a 和b 是单独一个数或字母外，其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示一个整体.
三套：套用平方差公式进行分解.
四整理：将每个因式去括号，合并同类项化成最简的.
知4－讲
例 5
分解因式：
(1)4x2-25y2；
解：4x2-25y2=(2x)2-(5y)2
=(2x+5y)(2x-5y)；
(2)(a+2)2-1；
(a+2)2-1
=(a+2+1)(a+2-1)
=(a+3)(a+1)；
知4－讲
加法交换律
知4－讲
(4)16(a-b)2-25(a+b)2.
解：16(a-b)2-25(a+b)2
=［4(a-b)+5(a+b)］［4(a-b)-5(a+b)］
=(4a-4b+5a+5b)(4a-4b-5a-5b)
=(9a+b)(-a-9b)
=-(9a+b)(a+9b).
当多项式的第一项系数为负数时，通常先提取“-”号，使括号内首项系数为正数，且括号内各项都要变号.
知4－讲
特别提醒：
1. 确定公式中的“a”“b”时，不能只看表面，如4x2=(2x)2,
“a”指的是2x；16(a-b)2=[4(a-b)]2，“a”指的是4(a-b).
2. 平方差公式可以连续运用. 如(3)题，必须做到每个因式不能再分解为止.
3. 运用平方差公式分解因式时，若a、b都是多项式，先要添加括号，再去括号，然后化简最后结果.
解题秘方：先确定平方差公式中的“a”“b”，再运用平
方差公式分解因式.
知5－讲
知识点
运用完全平方公式分解因式
5
1. 完全平方式 形如a2±2ab+b2 这样的式子叫做完全平方式.完全平方式的条件：
(1)多项式是二次三项式；
(2)首末两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这两个数(或式子)的积的2 倍，符号可以是“+”，也可以是“-”.
知5－讲
2. 完全平方公式法
用字母表示：a2±2ab+b2=(a±b)2.
文字描述：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
3. 完全平方公式法的特点
等号左边是一个完全平方式，右边是这两个数的和(或差)的平方.
知5－讲
特别解读：
1. 当首末两项符号与中间的乘积项符号相同时，是和的平方；相反时，是差的平方.
2. 用完全平方公式分解因式时，若多项式各项有公因式，要先提取公因式，再用完全平方公式分解因式.
知5－讲
分解因式：
(1)x2-14x+49；
解：x2-14x+49=x2-2·x·7+72 =(x-7)2；
例6
知5－讲
(2)-6ab-9a2-b2；
解：-6ab-9a2-b2
=-(9a2+6ab+b2)
=-［(3a)2+2·3a·b+b2］
=-(3a+b)2；
首先把多项式的各项按照字母a的指数从大到小的顺序排列，然后提取首项“-”号.
知5－讲
知5－讲
(4)(x2+6x)2+18(x2+6x)+81.
解：(x2+6x)2+18(x2+6x)+81
=(x2+6x)2+2·(x2+6x)·9+92
=(x2+6x+9)2
=(x+3)4.
完全平方公式可以连续使用，因式分解的结果要彻底.
知5－讲
解法提醒：
运用完全平方公式分解因式的关键是判断每个多项式是否符合完全平方式的结构特点，若符合，进一步确定公式中的“a”“b”. 注意当首项系数为负数时，一般要先提出负号，括号内多项式各项都要变号. 如(2)题.
解题秘方：先确定完全平方公式中的“a”“b”，再运用完全平方公式分解因式.
知6－讲
知识点
因式分解的一般步骤
6
因式分解的一般步骤是“一提，二套，三检查”.
一提： 即提公因式，把一个多项式分解因式，首先看有没有公因式，若有，则先提公因式；
二套： 即套用公式，在没有公因式的前提下，则看多项式是否符合平方差公式或完全平方公式的特点，对符合公式特征的，直接套用公式分解因式；
知6－讲
三检查： 即运用“一提，二套”方法分解因式后，然后再检查多项式，看能否再利用提公因式法，或套用公式法分解因式，检查分解是否正确，分解是否彻底.
知6－讲
巧学妙记：
因式分解要注意，
两项式子平方差，
三项完全平方式，
如果还有公因式，
提取出来莫忘记.
知6－讲
例 7
分解因式：
(1)-3a3b+48ab3；
解：-3a3b+48ab3
=-3ab(a2-16b2)
=-3ab(a+4b)(a-4b)；
先提取公因式
再运用平方差公式
知6－讲
(2)x4-8x2+16；
解：x4-8x2+16=(x2-4)2
=[(x+2)(x-2)]2
=(x+2)2(x-2)2；
先运用完全平方公式
再运用平方差公式
最后运用积的乘方运算性质“(ab)n=anbn”
知6－讲
(3)25x2(a-b)+36y2(b-a).
解：25x2(a-b)+36y2(b-a)
=25x2(a-b)-36y2(a-b)
=(a-b)(25x2-36y2)
=(a-b)(5x+6y)(5x-6y).
先提取公因式
再运用平方差公式
知6－讲
方法点拨：
把(a-b)看成“一个整体”，运用提公因式法分解因式，然后根据剩下的因式是二项式，考虑运用平方差公式分解因式.
解题秘方：先观察是否有公因式，若有，先提取公因式，然后通过观察项数确定能用哪个公式分解因式.
多项式的因式分解
因
式
分
解
提公因式法
运用公式法
ab+ac+ad a(b+c+d)
a2-b2 (a+b)(a-b)
a2±2ab+b2 (a±b)2
单项式
乘多项
式
乘法
公式
整
式
乘
法(共28张PPT)
苏科版 七年级下
第9章 整式乘法与因式分解
用完全平方公式分解因式
9.5.3
D
A
1
2
3
4
5
D
(3x＋1)2
6
7
8
C
答 案 呈 现
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9
C
10
C
B
C
11
12
a(a－3b)2
A
3
13
答 案 呈 现
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14
15
16
17
下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1 C．x2－1 D．x2－6x＋9
D
1
已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于( )
A．64 B．48
C．32 D．16
2
A
给多项式x8＋4加上一个单项式，使其成为一个完全平方式，则加上的单项式是________________．(写出一个即可)
3
4x2(答案不唯一)
【2021·连云港】分解因式：9x2＋6x＋1＝________．
(3x＋1)2
4
下列分解因式正确的是( )
A．－x2＋4x＝－x(x＋4)
B．x2＋xy＋x＝x(x＋y)
C．x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2
D．x2－4x＋4＝(x＋2)(x－2)
C
5
把2xy－x2－y2因式分解，结果正确的是( )
A．(x－y)2 B．(－x－y)2
C．－(x－y)2 D．－(x＋y)2
6
C
把多项式(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2因式分解的结果为( )
A．(3a－b)2 B．(3b＋a)2
C．(3b－a)2 D．(3a＋b)2
7
C
如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是a2，ab，ab，b2，其中a＞0，b＞0，则原正方形的边长是( )
A．a2＋b2
B．a＋b
C．a－b
D．a2－b2
8
B
把多项式a3－6a2b＋9ab2分解因式的结果是________．
9
a(a－3b)2
10
把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是( )
A．2a(4a2－4a＋1)
B．8a2(a－1)
C．2a(2a－1)2
D．2a(2a＋1)2
C
【点拨】
8a3－8a2＋2a＝2a(4a2－4a＋1)＝2a(2a－1)2.
下列因式分解正确的是( )
A．3ax2－6ax＝3(ax2－2ax)
B．x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)
C．a2＋2ab－4b2＝(a＋2b)2
D．－ax2＋2ax－a＝－a(x－1)2
11
D
12
A
13
3
把下列各式分解因式：
(1)(a2－4)2＋6(a2－4)＋9；
(2) (x2＋16y2)2－64x2y2；
14
解：原式＝(a2－4＋3)2＝(a2－1)2＝(a＋1)2(a－1)2；
原式＝(x2＋16y2)2－(8xy)2
＝(x2＋16y2＋8xy)(x2＋16y2－8xy)
＝(x＋4y)2(x－4y)2.
(3)a3－a＋2b－2a2b；
(4)a2＋1－2a＋4(a－1)．
解：原式＝a(a2－1)＋2b(1－a2)＝(a－2b)(a＋1)(a－1)．
原式＝(a－1)2＋4(a－1)
＝(a－1)(a－1＋4)
＝(a－1)(a＋3)．
【点拨】
对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法．四项式一般采用“二二”或“三一”分组，五项式一般采用“三二”分组，分组后再试用提公因式法、公式法继续分解，注意分解因式要彻底．
15
已知x2－y2＝20，求[(x－y)2＋4xy][(x＋y)2－4xy]的值．
16
解：因为x2－y2＝20，
所以[(x－y)2＋4xy][(x＋y)2－4xy]
＝(x2＋2xy＋y2)(x2－2xy＋y2)＝(x＋y)2(x－y)2
＝[(x＋y)(x－y)]2＝(x2－y2)2
＝202＝400.
【点拨】
灵活运用完全平方公式分解因式，然后整体代入求值．
【中考·河北】有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减
去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B
两区初始显示的分别是25和－16，
如图．如，第一次按键后，A，B两区分别显示：
17
(1)从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果．
解：A区显示的结果为25＋2a2，
B区显示的结果为－16－6a.
(2)从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
解：这个和不能为负数，
理由：A，B两区代数式的和为25＋4a2＋(－16－12a)＝25＋4a2－16－12a＝4a2－12a＋9＝(2a－3)2.
因为(2a－3)2≥0，
所以这个和不能为负数．(共33张PPT)
苏科版 七年级下
第9章 整式乘法与因式分解
用平方差公式分解因式
9.5.2
C
A
1
2
3
4
5
D
B
6
7
8
A
答 案 呈 现
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9
A
10
4 041
a＋6
A
11
12
C
C
13
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14
15
16
17
18
19
【中考·金华】下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是( )
A．a2＋b2 B．2a－b2 C．a2－b2 D．－a2－b2
C
1
【2021·杭州】因式分解：1－4y2＝( )
A．(1－2y)(1＋2y) B．(2－y)(2＋y)
C．(1－2y)(2＋y) D．(2－y)(1＋2y)
2
A
下列因式分解正确的是( )
A．x2－4＝(x＋4)(x－4)
B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C．3mx－6my＝3m(x－6y)
D．2x＋4＝2(x＋2)
3
D
将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是( )
A．a(a－1) B．a(a－2)
C．(a－2)(a－1) D．(a－2)(a＋1)
B
4
对于任何整数m，多项式(4m＋5)2－9都能( )
A．被8整除 B．被m整除
C．被m－1整除 D．被2m－1整除
A
5
【点拨】
(4m＋5)2－9＝(4m＋5＋3)·(4m＋5－3)＝(4m＋8)(4m＋2)＝8(m＋2)(2m＋1)，所以能被8整除．
若n为任意整数，(n＋11)2－n2的值总可以被k整除，则k等于( )
A．11 B．22
C．11或22 D．11的倍数
6
A
【2021·扬州】计算：2 0212－2 0202＝________．
7
4 041
【点拨】
2 0212－2 0202
＝(2 021＋2 020)(2 021－2 020)
＝4 041.
如图，从边长为(a＋3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则拼成的长方形的长是________．
8
a＋6
【点拨】
拼成的长方形的面积＝(a＋3)2－32＝(a＋3＋3)(a＋3－3)＝a(a＋6)．因为拼成的长方形的宽为a，所以长是a＋6.
把2a2－8分解因式，结果正确的是( )
A．2(a2－4) B．2(a－2)2
C．2(a＋2)(a－2) D．2(a＋2)2
9
C
10
一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题，你认为她做得不够完整的是( )
A．x3－x＝x(x2－1)
B．x2y－y3＝y(x＋y)(x－y)
C．－m2＋4n2＝(2n＋m)(2n－m)
D．3p2－27q2＝3(p＋3q)(p－3q)
A
小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x－y，a－b，2，x2－y2，a，x＋y分别对应下列六个字：南、爱、我、美、游、济，现将2a(x2－y2)－2b(x2－y2)因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )
A．我爱美 B．济南游
C．我爱济南 D．美我济南
11
C
【2021·温州】分解因式：2m2－18＝_____________．
12
2(m＋3)(m－3)
分解因式： a4－1.
13
解：a4－1＝(a2＋1)(a2－1)＝(a2＋1)(a＋1)(a－1)．
【点拨】
本题易犯的错误是分解不彻底，要注意a2－1还可以继续分解，应分解到不能再分解为止．
把下列各式分解因式：
(1)【中考·齐齐哈尔】3a2－48；
(2)(3a－2b)2－(2a＋3b)2；
14
解：原式＝3(a2－16)＝3(a＋4)(a－4)．
解：原式＝[(3a－2b)＋(2a＋3b)]·[(3a－2b)－(2a＋3b)]＝(3a－2b＋2a＋3b)(3a－2b－2a－3b)＝(5a＋b)(a－5b)；
(3)x4－81y4；
(4)a4－9a2b2；
解：原式＝(x2＋9y2)(x2－9y2)＝(x2＋9y2)(x＋3y)(x－3y)；
解：原式＝a2(a2－9b2)＝a2(a＋3b)·(a－3b)；
【点拨】
解本题的思路是有公因式的先提公因式，再用平方差公式分解因式，结果一定要分解彻底．
15
解：原式＝(1 997＋1 998)×(1 997－1 998)＋(1 999＋
2 000)×(1 999－2 000)＋…＋(2 019＋2 020)×(2 019－
2 020)＋(2 021＋2 022)×(2 021－2 022)＝－(1 997＋
1 998)－(1 999＋2 000)－…－(2 019＋2 020)－(2 021＋
2 022)＝－(1 997＋1 998＋1 999＋2 000＋…＋2 019＋
2 020＋2 021＋2 022)＝－52 247.
(2)1 9972－1 9982＋1 9992－2 0002＋…＋2 0192－2 0202＋
2 0212－2 0222.
已知a，b，c为△ABC的三边长，试说明：(a－c)2－b2是负数．
16
解：因为a，b，c为△ABC的三边长，
所以a＋b＞c，b＋c＞a，
即a－c＋b＞0，a－c－b＜0.
所以(a－c)2－b2＝(a－c＋b)(a－c－b)＜0，
所以(a－c)2－b2是负数．
(1)利用因式分解说明：257－512能被250整除；
17
解：因为257－512＝(52)7－(56)2＝(57)2－(56)2＝
(57＋56)×(57－56)＝(57＋56)×62 500＝
(57＋56)×2502，
所以257－512能被250整除．
(2)233－2能被11至20之间的两个数整除，求这两个数．
解：233－2＝2×(232－1)
＝2×(216＋1)×(216－1)
＝2×(216＋1)×(28＋1)×(28－1)
＝2×(216＋1)×(28＋1)×(24＋1)×(24－1)
＝2×(216＋1)×(28＋1)×17×15.
所以这两个数分别是17，15.
(1)已知x－2y＝3，2x＋4y＝5，求x2－4y2的值；
18
(2)已知|a－b－3|＋(a＋b－2)2＝0，求a2－b2的值；
解：因为|a－b－3|＋(a＋b－2)2＝0，
所以a－b＝3，a＋b＝2.
所以a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝2×3＝6.
(3)已知m，n互为相反数，且(m＋2)2－(n＋2)2＝4，求m－n的值．
解：因为(m＋2)2－(n＋2)2＝4，
所以(m＋2＋n＋2)(m＋2－n－2)＝4，
即(m＋n＋4)(m－n)＝4，
又因为m＋n＝0，
所以m－n＝1.
李老师在黑板上写出三个算式：52－32＝8×2，92－
72＝8×4，152－32＝8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112－52＝8×12，152－72＝8×22.
(1)请你再写出两个具有上述规律的算式(不同于上面算式)；
19
解：答案不唯一，
如：112－92＝8×5，132－112＝8×6.
(2)用文字写出反映上述算式的规律；
解：任意两个奇数的平方差是8的倍数．
(3)试说明这个规律的正确性．
解：设m，n为整数，两个奇数可分别表示为2m＋1和2n＋1，则(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－n)(m＋n＋1)．①当m，n同是奇数或偶数时，m－n一定为偶数，所以4(m－n)一定是8的倍数；②当m，n是一奇一偶时，则m＋n＋1一定为偶数，所以4(m＋n＋1)一定是8的倍数．综上所述，任意两个奇数的平方差是8的倍数．(共23张PPT)
苏科版 七年级下
第9章 整式乘法与因式分解
用提公因式法分解因式
9.5.1
B
C
1
2
3
4
5
B
A
6
7
8
C
答 案 呈 现
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9
C
10
B
A
x(x－3)
11
12
A
3
13
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14
15
16
多项式8x2y2－14x2y＋4xy3中各项的公因式是( )
A．8xy B．2xy
C．4xy D．2y
B
1
式子15a3b3(a－b)与5a2b(b－a)的公因式是( )
A．5ab(b－a) B．5a2b2(b－a)
C．5a2b(b－a) D．以上均不正确
2
C
下列从左到右的变形，是因式分解的是( )
A．xy2(x－1)＝x2y2－xy2
B．2a2＋4a＝2a(a＋2)
C．(a＋3)(a－3)＝a2－9
D．x2＋x－5＝(x－2)(x＋3)＋1
3
B
A
4
将3a(x－y)－b(x－y)用提公因式法分解因式，应提出的公因式是( )
A．3a－b B．3(x－y)
C．x－y D．3a＋b
C
5
把多项式(m＋1)(m－1)＋(m＋1)提取公因式m＋1后，余下的部分是( )
A．m＋1 B．m－1
C．m D．2m＋1
6
C
下列多项式因式分解正确的是( )
A．8abx－12a2x2＝4abx(2－3ax)
B．－6x3＋6x2－12x＝－6x(x2－x＋2)
C．4x2－6xy＋2x＝2x(2x－3y)
D．－3a2y＋9ay－6y＝－3y(a2＋3a－2)
7
B
8
A
9
A
10
【2021·宁波】分解因式：x2－3x＝________．
x(x－3)
【2021·苏州】若m＋2n＝1，则3m2＋6mn＋6n的值为________．
11
3
【点拨】
因为m＋2n＝1，所以3m2＋6mn＋6n＝3m(m＋
2n)＋6n＝3m×1＋6n＝3m＋6n＝3(m＋2n)＝3×1＝3.
因式分解：－14x3－21x2＋28x＝________________．
12
－7x(2x2＋3x－4)
【易错总结】
一个多项式第一项的系数是负数时，一般要将“－”号提出，但要注意括号里面的各项要变号．本题易出现－14x3－21x2＋28x＝－7x(2x2－3x＋4)的错误．
用提公因式法分解因式：
(1)9x2－6xy＋3x；
(2)(a－b)3－(a－b)2；
13
解：原式＝3x·3x－3x·2y＋3x·1＝3x(3x－2y＋1)．
原式＝(a－b)2(a－b－1)．
(3)3m(x－y)－n(y－x);
(4)－3an＋2＋2an＋1－5an.
解：原式＝3m(x－y)＋n(x－y)＝(x－y)(3m＋n)．
原式＝－an·3a2－an·(－2a)－an·5＝－an(3a2－2a＋5)．
利用简便方法计算：
(1)3.2×202.3＋4.7×202.3＋2.1×202.3；
14
解：原式＝202.3×(3.2＋4.7＋2.1)＝202.3×10＝
2 023.
已知多项式A＝b3－2ab.
(1)请将A进行因式分解；
15
解：A＝b3－2ab＝b(b2－2a)．
(2)若A＝0且a＝4，b≠0，求式子(a－1)2＋b2－1的值．
由A＝0且a＝4，b≠0，可得b2－2a＝0.
即b2＝2a＝2×4＝8.
所以(a－1)2＋b2－1＝(4－1)2＋8－1＝9＋8－1＝16.
阅读下面分解因式的过程：
把多项式am＋an＋bm＋bn分解因式．
解：(方法一)am＋an＋bm＋bn＝(am＋an)＋(bm＋
bn)＝a(m＋n)＋b(m＋n)＝(m＋n)(a＋b)．
(方法二)am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(a＋b)(m＋n)．
16
根据你的发现，选择一种方法把下面的多项式分解因式：
(1)mx－my＋nx－ny；
解：mx－my＋nx－ny
＝(mx－my)＋(nx－ny)
＝m(x－y)＋n(x－y)
＝(x－y)(m＋n)．
(2)2a＋4b－3ma－6mb.
解：2a＋4b－3ma－6mb
＝(2a－3ma)＋(4b－6mb)
＝a(2－3m)＋2b(2－3m)
＝(2－3m)(a＋2b)．
