初中数学湘教版七年级下册第一章 二元一次方程组 单元测试（提高练）
一、单选题
1．（2020七下·衡阳期末）方程(m－2 016)x|m|－2 015＋(n＋4)y|n|－3＝2 018是关于x、y的二元一次方程，则( )
A．m＝±2 016；n＝±4 B．m＝2 016，n＝4
C．m＝－2 016，n＝－4 D．m＝－2 016，n＝4
【答案】D
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：∵ 是关于x、y的二元一次方程，
∴m-2016≠0，n+4≠0，|m|-2015=1，|n|-3=1，
解得：m=-2016，n=4，
故答案为：D．
【分析】根据二元一次方程的定义可得m-2016≠0，n+4≠0，|m|-2015=1，|n|-3=1，解不等式及方程即可得.
2．（2020七下·文水期末）把一根长为13m的绳子截成1m和2m两种规格的小段，要求每种规格的绳子至少有一根，且无余料，则有（ ）种不同的截法
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：截下来的符合条件的绳子长度之和刚好等于总长13cm时，不造成浪费，
设截成1cm长的绳子x根，2cm长的y根，
由题意得，x+2y=13，
因为x，y都是正整数，所以符合条件的解为： ， ， ， ， ， ，则有6种不同的截法．
故答案为：C．
【分析】截下来的符合条件的绳子长度之和刚好等于总长13cm时，不造成浪费，设截成1cm长的绳子x根，2cm长的y根，由题意得到关于x与y的方程，求出方程的正整数解即可得到结果．
3．（2020七下·秀洲期中）已知关于x，y的方程组 ，则下列结论中正确的是（ ）
①当a=5时，方程组的解是 ②当x，y的值互为相反数时，a=20；③不存在一个实数a使得x=y；④若22x-3y=27，则a=2。
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．②③
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：①a=5代入方程组得： ，
解得： 本选项错误；
②由x与y互为相反数，得到x+y=0，即y=-x，
代入方程组得：
解得：a=20，本选项正确；
③若x=y，则有 ，可得a=a-5，矛盾，故不存在一个实数a使得x=y，本选项正确；
④方程组解得：
由题意得：2a-3y=7，
把x=25-a，y=15-a代入得：2a-45+3a=7，
解得：a= ，本选项错误。
则正确的选项有②③。
故答案为：D。
【分析】①把a=5代入方程组求出解，即可得出判断；②根据题意得到x+y=0，代入方程组求出a的值，即可做出判新；③假如x=y，得到a无解，本选项正确；④根据题中等式得到2a-3y=7，代入方程组求出a的值，即可做出判断。
4．如果方程组 与 有相同的解，则a，b的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由已知得方程组 ，
解得 ，
代入 ，
得到 ，
解得 ．
【分析】把4x-5y=41和2x+3y=-7组成方程组，剩下的两个组成方程组，由4x-5y=41和2x+3y=-7解得x和y的值，并把它们代入到另一个方程组中，求出a和b的值.
5．使方程组 有自然数解的整数m（ ）
A．只有5个 B．只能是偶数
C．是小于16的自然数 D．是小于32的自然数
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
由②得：x=2y，
代入①得：4y+my=16，即y= ，
当y=1时，m=12；当y=2时，m=4；当y=4时，m=0；当y=8时，m=﹣2；当y=16时，m=﹣3，
则m的值有5个，故答案为：A
【分析】由②得x=2y，代入①得y=，分析解是自然数时，m的整数值。
6．（2020七上·泰兴期中）如图，在数轴上标出若干个点，每相邻的两个点之间的距离都是1个单位，点A，B，C，D表示的数分别是整数a、b、c、d，且满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由数轴上各点的位置可知d-a=8，d-c=3，d-b=4，
，
所以
故c=d-3=0，b=d-4=-1，
代入b+c=-1.
故答案为：C.
【分析】先根据数轴上各点的位置可得到d-a=8，与 组成方程组可求出a、d，然后根据d-c=3，d-b=4求出b、c的值，再代入b+c即可.
7．（2020七下·云南月考）若关于x、y的方程组 的解满足方程2x＋3y＝6，那么k的值为（ ）
A．－ B． C．－ D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，由①+②得：x=5k，则y=﹣2k，把x、y的值代入2x+3y=6得：10k﹣6k=6，解得：k= .故答案为：B.
【分析】先求出方程组的解，然后将其代入2x+3y=6中，可得关于k的一元一次方程，解出k值即可.
8．用加减法解方程组 时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或互为相反数，有以下四种变形：
其中正确的是（ ）
A．②④ B．③④ C．①③ D．①②
【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）第一个方程右边的1漏乘了3，第二个方程右边的8漏乘了2，故变形不符合题意；（2）第一个方程右边的1漏乘了2，第二个方程右边的8漏乘了3，故变形不符合题意；（3）是利用等式的性质把x的系数化为了互为相反数的数，变形符合题意；（4）是利用等式的性质把y的系数化为了互为相反数的数，变形符合题意．
故答案为：B
【分析】利用加减消元法解方程组逐一判断即可.
9．（2020七下·温州期中）欣欣幼儿园购买了90张等边三角形彩纸与50张正方形彩纸(如图1)，准备制作如图2所示的甲、乙两种图案，如果购买的彩纸刚好全部用完，则可以制作甲、乙两种图案共（ ）
A．10个 B．20个 C．30个 D．40个
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设制作甲型图案x个，乙型图案y个，
由题意可得，
解得
所以 制作甲、乙两种图案共10+20=30（个）.
故答案为：C.
【分析】设制作甲型图案x个，乙型图案y个，则制作甲型图案需要等边三角形纸片4x个，需要正方形纸片x个，制作乙型图案需要等边三角形纸片y个，需要正方形纸片3y个，根据制作甲型图案需要等边三角形纸片的数量+制作乙型图案需要等边三角形纸片的数量=90，制作甲型图案需要正方形纸片的数量+制作乙型图案需要正方形纸片的数量=50，列出方程组，求解即可解决问题.
10．（2019七下·海港期中）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可做盒身25个，或做盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？
①设用x张制盒身，可得方程2×25x＝40(36﹣x)；
②设用x张制盒身，可得方程25x＝2×40(36﹣x)；
③设用x张制盒身，y张制盒底，可得方程组 ；
④设用x张制盒身，y张制盒底，可得方程组 ；其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】设用x张制盒身，可得方程2×25x=40（36﹣x）；故①符合题意；②不符合题意；
设用x张制盒身，y张制盒底，可得方程组 ；故③符合题意；④不符合题意．
故答案为：D．
【分析】设用x张制盒身，可得制盒底需（36-x）张，根据盒底的个数=2盒身的个数，列出方程即可；设用x张制盒身，y张制盒底，根据制盒身的张数+制盒底的张数=36，盒底的个数=2盒身的个数，列出方程组，然后判断即可.
11．一块直角三角板按如图的方式摆放在讲台上，且∠1的度数比∠2的度数大56°，若设∠1=x°，∠2=y°，则可得到的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：根据∠1的度数比∠2的度数大56°，得方程x=y+56；
根据平角和直角定义，得方程x+y=90．
可列方程组为 ．故答案为：D．
【分析】根据已知条件及图形，可得出等量关系为：∠1+∠2=90°；∠1的度数=∠2的度数+56°；列方程组求解即可。
12．对于代数式ax2﹣2bx﹣c，当x取﹣1时，代数式的值为2，当x取0时，代数式的值为1，当x取3时，代数式的值为2，则当x取2时，代数式的值是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】代数式求值；三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：将x=-1，x=0，x=3，分别代入代数式，
可得，计算得出a=b=-，c=-1，
代数式为-x2+x+1，
将x=2代入求出代数式，得-×4+×2+1=1.
故答案为：A.
【分析】将x值代入代数式，得出三元一次方程组，求出a、b、c的值，再将x=2代入代数式求解。
二、填空题
13．（2020七下·密山期末）已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，那么关于m，n的二元一次方程组 的解为 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组 的解为： ，
∴ ，∴ ，解得： ．
故答案为 ．
【分析】观察两个方程组的特点可将m+n看作x，m-n看作y，即可得到，求解方程组得到m、n的值.
14．（2017七下·蒙阴期末）对于有理数，规定新运算：x※y=ax+by+xy，其中a、b是常数，等式右边的是通常的加法和乘法运算．已知：2※1=7，（﹣3）※3=3，则
※b= ．
【答案】
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：解：2※1=7，（﹣3）※3=3，∴解得：
∴ ※b=
×
+
×
+
×
=
=
，故答案为：
．
【分析】根据题中的新定义化简2※1=7，（-3）※3=3，列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，所求式子利用新定义化简即可得到结果．
15．（2020七下·瑞安期末）已知关于x,y的方程组2x+y=3m，x-4y=-2m的解也是方程y+2m=1+x的一组解,则m=
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
由①+②得
3x-3y=m
解之：
∵y+2m=1+x ，
x-y=2m-1，
∴
解之：.
故答案为：.
【分析】将前两个方程相加求出x-y的值，再将第三个方程转化为x-y=2m-1，整体代入建立关于m的方程，解方程求出m的值。
16．（2020七下·巴中期中）对有理数x，y定义一种新运算“*”：x*y＝ax＋by，其中a，b为常数．等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么a＋b＝ ．
【答案】－11
【知识点】代数式求值；解二元一次方程组；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意，得 ，
解得 ，
则a＋b＝－35＋24＝－11.
故答案为：﹣11.
【分析】根据新定义运算规律可列出关于a，b的一元二次方程组，然后求解方程组即可.
17．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根铁棒的露出水面，另一根铁棒的露出水面．两根铁棒长度之和为34cm，此时木桶中水的深度是 cm．
【答案】12
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】解：设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm，由题意得：
，
解得：，
因此木桶中水的深度为18×=12（cm），
故答案为：12．
【分析】设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm．因为两根铁棒之和为34cm，故可的方程：x+y=34，又知两棒未露出水面的长度相等，又可得方程x=y，把两个方程联立，组成方程组，解方程组可得较长的铁棒的长度，用较长的铁棒的长度×可以求出木桶中水的深度．
18．我市某重点中学校团委、学生会发出倡议，在初中各年级捐款购买书籍送给我市贫困地区的学校．初一年级利用捐款买甲、乙两种自然科学书籍若干本，用去5324元；初二年级买了A、B两种文学书籍若干本，用去4840元，其中A、B的数量分别与甲、乙的数量相等，且甲种书与B种书的单价相同，乙种书与A种书的单价相同．若甲、乙两种书的单价之和为121元，则初一和初二两个年级共向贫困地区的学校捐献了 本书．
【答案】168
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲种书的单价为x元，数量为y本，乙种书的数量为z本，根据题意得：
，
整理得： ，
①+②得：121z+121y=10164，
z+y=84，
∵A、B的数量分别与甲、乙的数量相等，
∴初一和初二两个年级共向贫困地区的学校捐献数是：84×2=168（本）；
【分析】设甲种书的单价为x元，数量为y本，乙种书的数量为z本，根据等量关系：甲、乙两种自然科学书籍若干本，用去5324元和买了A、B两种文学书籍若干本，用去4840元列两个方程，组成方程组，不需要求出来xyz的具体数值，只要求出来z+y的值即可.
三、解答题
19．（2020七上·景德镇期末）
（1）解方程组：
（2）
【答案】（1）解：
由②可得：
两边平方化简得： ，即
代入①得： ，即
解得： 或
将 代入②得： ，解得：
将 代入②得： ，解得：
故原方程组的解为： 或 ；
（2）解：
去括号化简得： ，即
得： ，解得：
将 代入①得： ，解得：
故原方程组的解为 .
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将方程组的第二个方程移项、两边平方求出 ，再代入第一个方程可求出y的值，然后将y的最代入第二个方程可求出x的值，从而可得方程组的解；（2）将原方程组的两个方程通过去括号、合并同类项变形可得一个二元一次方程组，再利用加减消元法求解即可.
20．已知关于x、y的方程组
问a为何值时，方程组有无数多组解 a为何值时，只有一组解
【答案】解：②-①×2得
(a-4)x=0
所以，当a-4=0，即a=4时，x可取一切数．与之相对应的y 的值也是无数多个，即a=4时，原方程组有无数多组解．
当a-4≠0，即a≠4时， ，即x只能取0，与之相对应的y的值为2，即当a≠4时，方程组只有一组解
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】该方程组中除未知数x、y外，还含有其他字母a，这类字母通常称为参数．可将参数作为已知的数，同样用代入消元法或加减消元法将方程组化为一个含参数的一元一次方程，再根据一次项系数≠0；一次项系数=0两种情况讨论．
21．（2020七下·泰兴期末）已知二元一次方程 （ 、 均为常数，且 ）
（1）当 时，用x的代数式表示y；
（2）若 是该二元一次方程的一个解；
①探索 关系，并说明理由；
②若该方程有一个解与 的取值无关，请求出这个解.
【答案】（1）解：当 时，原方程为： ，
；
（2）解：① 关系是a+b=0，理由：
把 代入二元一次方程 得
，
，
,
；
②由①知道 ,
,
∴原方程可化为： ，
∴
∵该方程组的解与 与 的取值无关，.
∴ .
【知识点】代数式求值；二元一次方程组的解
【解析】【分析】（1）直接将 代入二元一次方程中解关于y的方程即可；（2）①将方程的解x，y代入原方程中整理可得 ；②把b=-a代入，由取值无关可得a的系数为0，由此即可解题.
22．（2020七下·枣阳期末）某旅行社拟在暑假期间面向襄阳学生推出“汉城文化—日游”活动，收费标准如下：
人数 0＜ ≤100 100＜ ≤200 ＞200
收费标准(元／人) 90 85 75
甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动.已知甲校报名参加的学生人数多于100人，乙校报名参加的学生人数少于100人.经核算，若两校分别组团共需花费20800元，若两校联合组团只需花费18000元.
（1）两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗 为什么 求出两校报名人数之和.
（2）两所学校报名参加旅游的学生各有多少人.
【答案】（1）解：超过.理由如下：
设两校人数之和为a，若两校报名参加旅游的学生人数之和不超过200人，
则 ＝18000÷85≈211.76.∵a不是整数，∴两校报名人数之和超过200人.
又∵报名人数之和超过200人时，有 ＝18 000÷75＝240，a为整数，∴两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人.
（2）解：设甲校报名参加旅游的学生有x人，乙校报名参加旅游的学生有y人，则：
①当100＜ ≤200时，有
解得
②当 ＞200时，有
解得 此解不合题意，舍去.
∴甲校报名参加旅游的学生有160人，乙校报名参加旅游的学生有80人.
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）根据两校报名参加旅游的学生人数之和不超过200人，则可算出两校人数之和，根据a是整数可得到结果；
（2）设甲校报名参加旅游的学生有x人，乙校报名参加旅游的学生有y人，分 ①当100＜ ≤200时及 ②当 ＞200时 两种情况根据两校的报名人数之和是240人，及两校分别组团的总费用是20800元建立方程组即可得到结论.
23．（2020七下·温州期中）为了防治“新型冠状病毒”，我市某小区准备用5400元购买医用口罩和洗
手液发放给本小区住户．若医用口罩买800个，洗手液买120瓶，则钱还缺200元；若医用口罩买1200个，洗手液买80瓶，则钱恰好用完．
（1）求医用口罩和洗手液的单价；
（2）由于实际需要，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为6元的N95口罩．若需购买医用口罩，N95口罩共1200个，其中N95口罩不超过200个，钱恰好全部用完，则有几种购买方案，请列方程计算．
【答案】（1）解：设医用口罩的单价为x元/个，洗手液的单价为y元/瓶，根据题意得
首先将方程化简为
①×3-②×2得：5y=150
解得：y=30
y=30将代入①得：20x+90=140
解得：x=2.5
（2）解：解：设增加购买N95口罩a个，洗手液b瓶，则医用口罩(1200-a)个，根据题意得
6a+2.5（1200-a）+30b=5400
化简，得 7a+60b=4800
∵a，b都为正整数
∴a为60的倍数，且a≤200
∴∴有三种购买方案.
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）本题的数量关系为 ：医用口罩买800个，洗手液买120瓶，则钱还缺200元，即可得方程800x+120y=5600；医用口罩买1200个，洗手液买80瓶，则钱恰好用完，即可得方程1200x+80y=5400.
（2）解本题注意两个条件：一是 N95口罩不超过200个 ，二是：口罩和洗手液的个数为正整数。
24．（2019七下·通州期末）小红用110根长短相同的小木棍按照如图所示的方式,连续摆正方形或六边形,要求相邻的图形只有一条公共边.
（1）小红首先用 根小木棍摆出了 个小正方形,请你用等式表示 之间的关系： ；
（2）小红用剩下的小木棍摆出了一些六边形,且没有木棍剩余.已知他摆出的正方形比六边形多4个,请你求出摆放的正方形和六边形各多少个
（3）小红重新用50根小木棍,摆出了 排,共 个小正方形.其中每排至少含有1个小正方形,每排含有的小正方形的个数可以不同.请你用等式表示 之间的关系,并写出所有 可能的取值.
【答案】（1）3p+1=m
（2）解：设六边形有 个，正方形有y个，
则 ，
解得 ，
所以正方形有16个，六边形有12个；
（3）解：据题意， ，
据题意， ，且 均为整数，
因此 可能的取值为：
， ， 或 .
【知识点】二元一次方程的应用；探索图形规律；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：(1)摆1个正方形需要4根小木棍，4=4+3×(1-1)，
摆2个正方形需要7根小木棍，4=4+3×(2-1)，
摆3个正方形需要10根小木棍，10=4+3×(3-1)，
……，
摆p个正方形需要m=4+3×(p-1)=3p+1根木棍，
故答案为： ；
【分析】(1)摆1个正方形需要4根小木棍，摆2个正方形需要7根小木棍，摆3个正方形需要10根小木棍…每多一个正方形就多3根小木棍，则摆p个正方形需要4+3(p-1)=3p+1根小木棍，由此求得答案即可；(2)设连续摆放了六边形x个， 正方形y个，则连续摆放正方形共用小木棍(3y+1)根，六方形共用小木棍(5x+1)根，由题意列出方程组解决问题即可；(3)由(1)可知每排用的小木棍数比这排小正方形个数的3倍多1根，由此可得s、t间的关系，再根据s、t均为正整数进行讨论即可求得所有可能的取值.
25．雅安地震发生后，全国人民抗震救灾，众志成城，在地震发生一周年之际，某地政府又筹集了重建家园的必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
（1）全部物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车 辆来运送．
（2）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（3）为了节省运费，该地政府打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？
【答案】（1）4
（2）解：设需甲车x辆，乙车y辆，根据题意得 ，解得
答：分别需甲、乙两种车型为8辆和10辆
（3）解：设需甲车a辆，乙车b辆，丙车c辆，根据题意有 ，由①得 将③代入②整理得 ，因为a、b、c均为正整数，所以b只能为5，a=2，c=7，所以需甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，此时需费用为2×400＋5×500＋7×600=7500（元）
答：需甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆；此时的运费是7500元
【知识点】三元一次方程组解法及应用；二元一次方程组的实际应用-鸡兔同笼问题
【解析】【解答】解：（1） （辆）；
故答案为：4.
【分析】（1）由表格可知，甲型车、乙型车、丙型车的运载量，由120减去甲型车、乙型车的总运载量可得丙型车共运载量，可求出丙型车量；
（2）设需甲车x辆，乙车y辆，根据“需运费8200元”和“必需物资120吨”来列方程组，从而求解；
（3）设需甲车a辆，乙车b辆，丙车c辆，列出关于a、b、c的此方程组，再由a、b、c均为正整数，从而求出a、b、c的值，进而求出需要费用.
26．阅读探索
（1）知识累计
解方程组
解：设a﹣1=x，b+2=y，原方程组可变为
解方程组得： 即
所以
此种解方程组的方法叫换元法．
（2）拓展提高
运用上述方法解下列方程组：
（3）能力运用
已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为 ．
【答案】解：（1）知识累计
解方程组
解：设a﹣1=x，b+2=y，原方程组可变为关于x，y的二元一次方程组求得x，y，再还原到关于a，b的二元一次方程组求得a，b的值即可.
此种解方程组的方法叫换元法；
（2）拓展提高
设﹣1=x，+2=y，
方程组变形得：，
解得：，即，
解得：；
（3）能力运用
设，
可得，
解得：，
故答案为：
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）知识累计
观察阅读材料的解题方法，理解换元法；
（2）拓展提高
设﹣1=x，+2=y，根据（1）中的结论确定出关于x与y方程组，求出解得到x与y的值，即可求出a与b的值；
（3）能力运用
设 ，根据已知方程组的解确定出m与n的值即可．
1 / 1初中数学湘教版七年级下册第一章 二元一次方程组 单元测试（提高练）
一、单选题
1．（2020七下·衡阳期末）方程(m－2 016)x|m|－2 015＋(n＋4)y|n|－3＝2 018是关于x、y的二元一次方程，则( )
A．m＝±2 016；n＝±4 B．m＝2 016，n＝4
C．m＝－2 016，n＝－4 D．m＝－2 016，n＝4
2．（2020七下·文水期末）把一根长为13m的绳子截成1m和2m两种规格的小段，要求每种规格的绳子至少有一根，且无余料，则有（ ）种不同的截法
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
3．（2020七下·秀洲期中）已知关于x，y的方程组 ，则下列结论中正确的是（ ）
①当a=5时，方程组的解是 ②当x，y的值互为相反数时，a=20；③不存在一个实数a使得x=y；④若22x-3y=27，则a=2。
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．②③
4．如果方程组 与 有相同的解，则a，b的值是（ ）
A． B． C． D．
5．使方程组 有自然数解的整数m（ ）
A．只有5个 B．只能是偶数
C．是小于16的自然数 D．是小于32的自然数
6．（2020七上·泰兴期中）如图，在数轴上标出若干个点，每相邻的两个点之间的距离都是1个单位，点A，B，C，D表示的数分别是整数a、b、c、d，且满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020七下·云南月考）若关于x、y的方程组 的解满足方程2x＋3y＝6，那么k的值为（ ）
A．－ B． C．－ D．
8．用加减法解方程组 时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或互为相反数，有以下四种变形：
其中正确的是（ ）
A．②④ B．③④ C．①③ D．①②
9．（2020七下·温州期中）欣欣幼儿园购买了90张等边三角形彩纸与50张正方形彩纸(如图1)，准备制作如图2所示的甲、乙两种图案，如果购买的彩纸刚好全部用完，则可以制作甲、乙两种图案共（ ）
A．10个 B．20个 C．30个 D．40个
10．（2019七下·海港期中）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可做盒身25个，或做盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？
①设用x张制盒身，可得方程2×25x＝40(36﹣x)；
②设用x张制盒身，可得方程25x＝2×40(36﹣x)；
③设用x张制盒身，y张制盒底，可得方程组 ；
④设用x张制盒身，y张制盒底，可得方程组 ；其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③
11．一块直角三角板按如图的方式摆放在讲台上，且∠1的度数比∠2的度数大56°，若设∠1=x°，∠2=y°，则可得到的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
12．对于代数式ax2﹣2bx﹣c，当x取﹣1时，代数式的值为2，当x取0时，代数式的值为1，当x取3时，代数式的值为2，则当x取2时，代数式的值是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
二、填空题
13．（2020七下·密山期末）已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，那么关于m，n的二元一次方程组 的解为 ．
14．（2017七下·蒙阴期末）对于有理数，规定新运算：x※y=ax+by+xy，其中a、b是常数，等式右边的是通常的加法和乘法运算．已知：2※1=7，（﹣3）※3=3，则
※b= ．
15．（2020七下·瑞安期末）已知关于x,y的方程组2x+y=3m，x-4y=-2m的解也是方程y+2m=1+x的一组解,则m=
16．（2020七下·巴中期中）对有理数x，y定义一种新运算“*”：x*y＝ax＋by，其中a，b为常数．等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么a＋b＝ ．
17．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根铁棒的露出水面，另一根铁棒的露出水面．两根铁棒长度之和为34cm，此时木桶中水的深度是 cm．
18．我市某重点中学校团委、学生会发出倡议，在初中各年级捐款购买书籍送给我市贫困地区的学校．初一年级利用捐款买甲、乙两种自然科学书籍若干本，用去5324元；初二年级买了A、B两种文学书籍若干本，用去4840元，其中A、B的数量分别与甲、乙的数量相等，且甲种书与B种书的单价相同，乙种书与A种书的单价相同．若甲、乙两种书的单价之和为121元，则初一和初二两个年级共向贫困地区的学校捐献了 本书．
三、解答题
19．（2020七上·景德镇期末）
（1）解方程组：
（2）
20．已知关于x、y的方程组
问a为何值时，方程组有无数多组解 a为何值时，只有一组解
21．（2020七下·泰兴期末）已知二元一次方程 （ 、 均为常数，且 ）
（1）当 时，用x的代数式表示y；
（2）若 是该二元一次方程的一个解；
①探索 关系，并说明理由；
②若该方程有一个解与 的取值无关，请求出这个解.
22．（2020七下·枣阳期末）某旅行社拟在暑假期间面向襄阳学生推出“汉城文化—日游”活动，收费标准如下：
人数 0＜ ≤100 100＜ ≤200 ＞200
收费标准(元／人) 90 85 75
甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动.已知甲校报名参加的学生人数多于100人，乙校报名参加的学生人数少于100人.经核算，若两校分别组团共需花费20800元，若两校联合组团只需花费18000元.
（1）两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗 为什么 求出两校报名人数之和.
（2）两所学校报名参加旅游的学生各有多少人.
23．（2020七下·温州期中）为了防治“新型冠状病毒”，我市某小区准备用5400元购买医用口罩和洗
手液发放给本小区住户．若医用口罩买800个，洗手液买120瓶，则钱还缺200元；若医用口罩买1200个，洗手液买80瓶，则钱恰好用完．
（1）求医用口罩和洗手液的单价；
（2）由于实际需要，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为6元的N95口罩．若需购买医用口罩，N95口罩共1200个，其中N95口罩不超过200个，钱恰好全部用完，则有几种购买方案，请列方程计算．
24．（2019七下·通州期末）小红用110根长短相同的小木棍按照如图所示的方式,连续摆正方形或六边形,要求相邻的图形只有一条公共边.
（1）小红首先用 根小木棍摆出了 个小正方形,请你用等式表示 之间的关系： ；
（2）小红用剩下的小木棍摆出了一些六边形,且没有木棍剩余.已知他摆出的正方形比六边形多4个,请你求出摆放的正方形和六边形各多少个
（3）小红重新用50根小木棍,摆出了 排,共 个小正方形.其中每排至少含有1个小正方形,每排含有的小正方形的个数可以不同.请你用等式表示 之间的关系,并写出所有 可能的取值.
25．雅安地震发生后，全国人民抗震救灾，众志成城，在地震发生一周年之际，某地政府又筹集了重建家园的必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
（1）全部物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车 辆来运送．
（2）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（3）为了节省运费，该地政府打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？
26．阅读探索
（1）知识累计
解方程组
解：设a﹣1=x，b+2=y，原方程组可变为
解方程组得： 即
所以
此种解方程组的方法叫换元法．
（2）拓展提高
运用上述方法解下列方程组：
（3）能力运用
已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：∵ 是关于x、y的二元一次方程，
∴m-2016≠0，n+4≠0，|m|-2015=1，|n|-3=1，
解得：m=-2016，n=4，
故答案为：D．
【分析】根据二元一次方程的定义可得m-2016≠0，n+4≠0，|m|-2015=1，|n|-3=1，解不等式及方程即可得.
2．【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：截下来的符合条件的绳子长度之和刚好等于总长13cm时，不造成浪费，
设截成1cm长的绳子x根，2cm长的y根，
由题意得，x+2y=13，
因为x，y都是正整数，所以符合条件的解为： ， ， ， ， ， ，则有6种不同的截法．
故答案为：C．
【分析】截下来的符合条件的绳子长度之和刚好等于总长13cm时，不造成浪费，设截成1cm长的绳子x根，2cm长的y根，由题意得到关于x与y的方程，求出方程的正整数解即可得到结果．
3．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：①a=5代入方程组得： ，
解得： 本选项错误；
②由x与y互为相反数，得到x+y=0，即y=-x，
代入方程组得：
解得：a=20，本选项正确；
③若x=y，则有 ，可得a=a-5，矛盾，故不存在一个实数a使得x=y，本选项正确；
④方程组解得：
由题意得：2a-3y=7，
把x=25-a，y=15-a代入得：2a-45+3a=7，
解得：a= ，本选项错误。
则正确的选项有②③。
故答案为：D。
【分析】①把a=5代入方程组求出解，即可得出判断；②根据题意得到x+y=0，代入方程组求出a的值，即可做出判新；③假如x=y，得到a无解，本选项正确；④根据题中等式得到2a-3y=7，代入方程组求出a的值，即可做出判断。
4．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由已知得方程组 ，
解得 ，
代入 ，
得到 ，
解得 ．
【分析】把4x-5y=41和2x+3y=-7组成方程组，剩下的两个组成方程组，由4x-5y=41和2x+3y=-7解得x和y的值，并把它们代入到另一个方程组中，求出a和b的值.
5．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
由②得：x=2y，
代入①得：4y+my=16，即y= ，
当y=1时，m=12；当y=2时，m=4；当y=4时，m=0；当y=8时，m=﹣2；当y=16时，m=﹣3，
则m的值有5个，故答案为：A
【分析】由②得x=2y，代入①得y=，分析解是自然数时，m的整数值。
6．【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由数轴上各点的位置可知d-a=8，d-c=3，d-b=4，
，
所以
故c=d-3=0，b=d-4=-1，
代入b+c=-1.
故答案为：C.
【分析】先根据数轴上各点的位置可得到d-a=8，与 组成方程组可求出a、d，然后根据d-c=3，d-b=4求出b、c的值，再代入b+c即可.
7．【答案】B
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，由①+②得：x=5k，则y=﹣2k，把x、y的值代入2x+3y=6得：10k﹣6k=6，解得：k= .故答案为：B.
【分析】先求出方程组的解，然后将其代入2x+3y=6中，可得关于k的一元一次方程，解出k值即可.
8．【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）第一个方程右边的1漏乘了3，第二个方程右边的8漏乘了2，故变形不符合题意；（2）第一个方程右边的1漏乘了2，第二个方程右边的8漏乘了3，故变形不符合题意；（3）是利用等式的性质把x的系数化为了互为相反数的数，变形符合题意；（4）是利用等式的性质把y的系数化为了互为相反数的数，变形符合题意．
故答案为：B
【分析】利用加减消元法解方程组逐一判断即可.
9．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设制作甲型图案x个，乙型图案y个，
由题意可得，
解得
所以 制作甲、乙两种图案共10+20=30（个）.
故答案为：C.
【分析】设制作甲型图案x个，乙型图案y个，则制作甲型图案需要等边三角形纸片4x个，需要正方形纸片x个，制作乙型图案需要等边三角形纸片y个，需要正方形纸片3y个，根据制作甲型图案需要等边三角形纸片的数量+制作乙型图案需要等边三角形纸片的数量=90，制作甲型图案需要正方形纸片的数量+制作乙型图案需要正方形纸片的数量=50，列出方程组，求解即可解决问题.
10．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】设用x张制盒身，可得方程2×25x=40（36﹣x）；故①符合题意；②不符合题意；
设用x张制盒身，y张制盒底，可得方程组 ；故③符合题意；④不符合题意．
故答案为：D．
【分析】设用x张制盒身，可得制盒底需（36-x）张，根据盒底的个数=2盒身的个数，列出方程即可；设用x张制盒身，y张制盒底，根据制盒身的张数+制盒底的张数=36，盒底的个数=2盒身的个数，列出方程组，然后判断即可.
11．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：根据∠1的度数比∠2的度数大56°，得方程x=y+56；
根据平角和直角定义，得方程x+y=90．
可列方程组为 ．故答案为：D．
【分析】根据已知条件及图形，可得出等量关系为：∠1+∠2=90°；∠1的度数=∠2的度数+56°；列方程组求解即可。
12．【答案】A
【知识点】代数式求值；三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：将x=-1，x=0，x=3，分别代入代数式，
可得，计算得出a=b=-，c=-1，
代数式为-x2+x+1，
将x=2代入求出代数式，得-×4+×2+1=1.
故答案为：A.
【分析】将x值代入代数式，得出三元一次方程组，求出a、b、c的值，再将x=2代入代数式求解。
13．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组 的解为： ，
∴ ，∴ ，解得： ．
故答案为 ．
【分析】观察两个方程组的特点可将m+n看作x，m-n看作y，即可得到，求解方程组得到m、n的值.
14．【答案】
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：解：2※1=7，（﹣3）※3=3，∴解得：
∴ ※b=
×
+
×
+
×
=
=
，故答案为：
．
【分析】根据题中的新定义化简2※1=7，（-3）※3=3，列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，所求式子利用新定义化简即可得到结果．
15．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
由①+②得
3x-3y=m
解之：
∵y+2m=1+x ，
x-y=2m-1，
∴
解之：.
故答案为：.
【分析】将前两个方程相加求出x-y的值，再将第三个方程转化为x-y=2m-1，整体代入建立关于m的方程，解方程求出m的值。
16．【答案】－11
【知识点】代数式求值；解二元一次方程组；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意，得 ，
解得 ，
则a＋b＝－35＋24＝－11.
故答案为：﹣11.
【分析】根据新定义运算规律可列出关于a，b的一元二次方程组，然后求解方程组即可.
17．【答案】12
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】解：设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm，由题意得：
，
解得：，
因此木桶中水的深度为18×=12（cm），
故答案为：12．
【分析】设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm．因为两根铁棒之和为34cm，故可的方程：x+y=34，又知两棒未露出水面的长度相等，又可得方程x=y，把两个方程联立，组成方程组，解方程组可得较长的铁棒的长度，用较长的铁棒的长度×可以求出木桶中水的深度．
18．【答案】168
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲种书的单价为x元，数量为y本，乙种书的数量为z本，根据题意得：
，
整理得： ，
①+②得：121z+121y=10164，
z+y=84，
∵A、B的数量分别与甲、乙的数量相等，
∴初一和初二两个年级共向贫困地区的学校捐献数是：84×2=168（本）；
【分析】设甲种书的单价为x元，数量为y本，乙种书的数量为z本，根据等量关系：甲、乙两种自然科学书籍若干本，用去5324元和买了A、B两种文学书籍若干本，用去4840元列两个方程，组成方程组，不需要求出来xyz的具体数值，只要求出来z+y的值即可.
19．【答案】（1）解：
由②可得：
两边平方化简得： ，即
代入①得： ，即
解得： 或
将 代入②得： ，解得：
将 代入②得： ，解得：
故原方程组的解为： 或 ；
（2）解：
去括号化简得： ，即
得： ，解得：
将 代入①得： ，解得：
故原方程组的解为 .
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将方程组的第二个方程移项、两边平方求出 ，再代入第一个方程可求出y的值，然后将y的最代入第二个方程可求出x的值，从而可得方程组的解；（2）将原方程组的两个方程通过去括号、合并同类项变形可得一个二元一次方程组，再利用加减消元法求解即可.
20．【答案】解：②-①×2得
(a-4)x=0
所以，当a-4=0，即a=4时，x可取一切数．与之相对应的y 的值也是无数多个，即a=4时，原方程组有无数多组解．
当a-4≠0，即a≠4时， ，即x只能取0，与之相对应的y的值为2，即当a≠4时，方程组只有一组解
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】该方程组中除未知数x、y外，还含有其他字母a，这类字母通常称为参数．可将参数作为已知的数，同样用代入消元法或加减消元法将方程组化为一个含参数的一元一次方程，再根据一次项系数≠0；一次项系数=0两种情况讨论．
21．【答案】（1）解：当 时，原方程为： ，
；
（2）解：① 关系是a+b=0，理由：
把 代入二元一次方程 得
，
，
,
；
②由①知道 ,
,
∴原方程可化为： ，
∴
∵该方程组的解与 与 的取值无关，.
∴ .
【知识点】代数式求值；二元一次方程组的解
【解析】【分析】（1）直接将 代入二元一次方程中解关于y的方程即可；（2）①将方程的解x，y代入原方程中整理可得 ；②把b=-a代入，由取值无关可得a的系数为0，由此即可解题.
22．【答案】（1）解：超过.理由如下：
设两校人数之和为a，若两校报名参加旅游的学生人数之和不超过200人，
则 ＝18000÷85≈211.76.∵a不是整数，∴两校报名人数之和超过200人.
又∵报名人数之和超过200人时，有 ＝18 000÷75＝240，a为整数，∴两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人.
（2）解：设甲校报名参加旅游的学生有x人，乙校报名参加旅游的学生有y人，则：
①当100＜ ≤200时，有
解得
②当 ＞200时，有
解得 此解不合题意，舍去.
∴甲校报名参加旅游的学生有160人，乙校报名参加旅游的学生有80人.
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）根据两校报名参加旅游的学生人数之和不超过200人，则可算出两校人数之和，根据a是整数可得到结果；
（2）设甲校报名参加旅游的学生有x人，乙校报名参加旅游的学生有y人，分 ①当100＜ ≤200时及 ②当 ＞200时 两种情况根据两校的报名人数之和是240人，及两校分别组团的总费用是20800元建立方程组即可得到结论.
23．【答案】（1）解：设医用口罩的单价为x元/个，洗手液的单价为y元/瓶，根据题意得
首先将方程化简为
①×3-②×2得：5y=150
解得：y=30
y=30将代入①得：20x+90=140
解得：x=2.5
（2）解：解：设增加购买N95口罩a个，洗手液b瓶，则医用口罩(1200-a)个，根据题意得
6a+2.5（1200-a）+30b=5400
化简，得 7a+60b=4800
∵a，b都为正整数
∴a为60的倍数，且a≤200
∴∴有三种购买方案.
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）本题的数量关系为 ：医用口罩买800个，洗手液买120瓶，则钱还缺200元，即可得方程800x+120y=5600；医用口罩买1200个，洗手液买80瓶，则钱恰好用完，即可得方程1200x+80y=5400.
（2）解本题注意两个条件：一是 N95口罩不超过200个 ，二是：口罩和洗手液的个数为正整数。
24．【答案】（1）3p+1=m
（2）解：设六边形有 个，正方形有y个，
则 ，
解得 ，
所以正方形有16个，六边形有12个；
（3）解：据题意， ，
据题意， ，且 均为整数，
因此 可能的取值为：
， ， 或 .
【知识点】二元一次方程的应用；探索图形规律；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：(1)摆1个正方形需要4根小木棍，4=4+3×(1-1)，
摆2个正方形需要7根小木棍，4=4+3×(2-1)，
摆3个正方形需要10根小木棍，10=4+3×(3-1)，
……，
摆p个正方形需要m=4+3×(p-1)=3p+1根木棍，
故答案为： ；
【分析】(1)摆1个正方形需要4根小木棍，摆2个正方形需要7根小木棍，摆3个正方形需要10根小木棍…每多一个正方形就多3根小木棍，则摆p个正方形需要4+3(p-1)=3p+1根小木棍，由此求得答案即可；(2)设连续摆放了六边形x个， 正方形y个，则连续摆放正方形共用小木棍(3y+1)根，六方形共用小木棍(5x+1)根，由题意列出方程组解决问题即可；(3)由(1)可知每排用的小木棍数比这排小正方形个数的3倍多1根，由此可得s、t间的关系，再根据s、t均为正整数进行讨论即可求得所有可能的取值.
25．【答案】（1）4
（2）解：设需甲车x辆，乙车y辆，根据题意得 ，解得
答：分别需甲、乙两种车型为8辆和10辆
（3）解：设需甲车a辆，乙车b辆，丙车c辆，根据题意有 ，由①得 将③代入②整理得 ，因为a、b、c均为正整数，所以b只能为5，a=2，c=7，所以需甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，此时需费用为2×400＋5×500＋7×600=7500（元）
答：需甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆；此时的运费是7500元
【知识点】三元一次方程组解法及应用；二元一次方程组的实际应用-鸡兔同笼问题
【解析】【解答】解：（1） （辆）；
故答案为：4.
【分析】（1）由表格可知，甲型车、乙型车、丙型车的运载量，由120减去甲型车、乙型车的总运载量可得丙型车共运载量，可求出丙型车量；
（2）设需甲车x辆，乙车y辆，根据“需运费8200元”和“必需物资120吨”来列方程组，从而求解；
（3）设需甲车a辆，乙车b辆，丙车c辆，列出关于a、b、c的此方程组，再由a、b、c均为正整数，从而求出a、b、c的值，进而求出需要费用.
26．【答案】解：（1）知识累计
解方程组
解：设a﹣1=x，b+2=y，原方程组可变为关于x，y的二元一次方程组求得x，y，再还原到关于a，b的二元一次方程组求得a，b的值即可.
此种解方程组的方法叫换元法；
（2）拓展提高
设﹣1=x，+2=y，
方程组变形得：，
解得：，即，
解得：；
（3）能力运用
设，
可得，
解得：，
故答案为：
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）知识累计
观察阅读材料的解题方法，理解换元法；
（2）拓展提高
设﹣1=x，+2=y，根据（1）中的结论确定出关于x与y方程组，求出解得到x与y的值，即可求出a与b的值；
（3）能力运用
设 ，根据已知方程组的解确定出m与n的值即可．
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