(共24张PPT)
8.4.2 公式法
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第8章 整式乘法与因式分解
8.4 因式分解
第1课时 公式法
知识要点
1.运用完全平方公式分解因式
2.运用平方差公式分解因式
3.提公因式法与公式法的综合运用
新知导入
看一看：观察下图中图形的构成，试着表示出图形的面积.
b
a
b
b
b
a
a
a2+b（a-b）=a2-b2+ab
ab+(a+b)(a-b)
方法一：
方法二：
a2-b2+ab
=ab+(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)=a2-b2
课程讲授
1
运用完全平方公式分解因式
整式乘法的完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
完全平方式
定义：运用公式（完全平方公式和平方差公式）进行因式分解的方法叫做公式法.
课程讲授
1
运用完全平方公式分解因式
例1 分解因式：
（1）16x2+24x+9； （2）-x2+4xy-4y2.
解：16x2+ 24x +9
= (4x + 3)2.
= (4x)2 + 2·4x·3 + 32
解：-x2+ 4xy-4y2
=-(x2-4xy+4y2)
=-(x-2y)2.
课程讲授
练一练：把多项式x2-4x+4分解因式，结果是（ ）
A.(x+2)2
B.(x-2)2
C.x(x-4)+4
D.(x+2)(x-2)
B
1
运用完全平方公式分解因式
课程讲授
1
运用完全平方公式分解因式
例2 利用因式分解计算：
(1)20202－2×2020×2019+2019 ； (2)742＋74×52＋262.
=（2020-2019）
＝(74＋26)2
=1.
＝10000.
解：20202－2×2020×2019+2019
解：742＋74×52＋262
＝742＋74×26×2＋262
课程讲授
练一练：利用因式分解计算：992+198+1.
1
运用完全平方公式分解因式
＝992+99×1×2+12
解：992+198+1
＝（99+1）2
＝1002
＝10000
课程讲授
2
运用平方差公式分解因式
问题1：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
a2-b2
已知
（a+b）（a-b）= a2-b2
可得
a2-b2= （a+b）（a-b）
因式分解
整式乘法
课程讲授
2
运用平方差公式分解因式
运用平方差公式分解因式（依据）：
两个数的平方差，等于这两个数的____与这两个数的____的乘积.
即a2-b2=______________
差
和
（a+b）（a-b）
课程讲授
2
运用平方差公式分解因式
例 分解因式：
(1)4x2-9; (2)(x+p)2-(x+q)2.
解：(x+p)2-(x+q)2
＝[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]
＝(2x+p+q)(p-q)
解：4x2-9
＝(2x)2-32
＝(2x-3)(2x+3)
课程讲授
2
运用平方差公式分解因式
练一练：下列能用平方差公式因式分解的是（ ）
A.a2+b2
B.-a2-b2
C.a2-c2-2ac
D.-4a2+b2
D
课程讲授
3
提公因式法与公式法的综合运用
例1 分解因式：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ； (2)(a+b)2-12(a+b)+36.
提示：先寻找它们的公因式，再进行因式分解.
解: 3ax2+6axy+3ay2
=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62
=3a（x+y）2；
=3a（x2+2xy+y2）
解: 3ax2+6axy+3ay2
=(a+b-6)2.
课程讲授
练一练：把多项式4a2b+4ab2+b3因式分解，正确的是（ ）
A.a（2a+b）2
B.b（2a+b）2
C.b（a+2b）2
D.4b（a+b）2
B
3
提公因式法与公式法的综合运用
课程讲授
3
提公因式法与公式法的综合运用
例2 分解因式：
(1)x4-y4 ; (2)a3b-ab
解：x4-y4
＝(x2+y2)(x2-y2)
＝(x2+y2)(x+y)(x-y);
＝(x2)2-(y2)2
解：a3b-ab
＝ab(a+1)(a-1).
＝ab(a2-1)
归纳：因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
课程讲授
练一练：把x3-9x分解因式，结果正确的是（ ）
A.x(x2-9)
B.x(x-3)2
C.x(x+3)2
D.x(x+3)(x-3)
D
3
提公因式法与公式法的综合运用
课程讲授
3
提公因式法与公式法的综合运用
例3 计算下列各题：
(1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.
＝(101＋99)(101－99)
＝4×(53.52－46.52)
＝4×(53.5＋46.5)(53.5－46.5)
＝4×100×7=2800.
解：53.52×4-46.52×4
解：1012－992
＝400
课程讲授
3
提公因式法与公式法的综合运用
练一练：计算：
（1）50×1252-50×252=____________;
（2） =____________.
750 000
1
随堂练习
1.因式分解x2-4y2的结果是（ ）
A.(x+4y)(x-4y)
B.(x+2y)(x-2y)
C.(x-4y)2
D.(x-2y)2
B
随堂练习
2.把多项式2x2-8分解因式，结果正确的是（ ）
A.2（x2-8）
B.2(x-2)2
C.2(x+2)(x-2)
D.2x
C
随堂练习
3.若n为任意整数，且(n+11)2-n2的值总可以被整数k整除，则k的值为（ ）
A.11
B.22
C.11或22
D.11的倍数
A
随堂练习
4.分解因式：
(1)(a＋b)2－4a2；
(2)9(m＋n)2－(m－n)2.
解：(a＋b)2－4a2
＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b)
解：9(m＋n)2－(m－n)2
＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
＝4(m＋2n)(2m＋n)
5.已知n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？
所以，(2n+1)2-25能被4整除.
=(2n+1+5)(2n+1-5)
=(2n+6)(2n-4)
=4(n+3)(n-2).
随堂练习
解：（2n+1)2-25
=2(n+3) ×2(n-2)
课堂小结
公式法
运用平方差公式
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
a2-b2=(a+b)(a-b)
运用完全平方公式
两个数的平方和，加（或减）这两个数乘积的2倍等于这两个数的和（或差）的平方.
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2(共17张PPT)
8.4.1 提公因式法
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第8章 整式乘法与因式分解
8.4 因式分解
知识要点
1.因式分解的概念
2.用提公因式法分解因式
新知导入
看一看：观察下图中图形的构成，试着用多种方法表示出长方形的面积.
n
b
a
d
c
(a+b+c)(n+d)
an+bn+cn+ad+bd+cd
方法一：
方法二：
(a+b+c)(n+d)
=an+bn+cn+ad+bd+cd
课程讲授
1
因式分解的概念
问题1：请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
(1) x2+x= ；
(2) x2-1= .
x (x+1)
(x+1)(x-1)
定义：像这样，把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解
整式乘法
课程讲授
1
因式分解的概念
练一练：下列变形属于因式分解的是（ ）
A.a(b+c)=ab+ac
B.a2-4a+3=a(a-4)+3
C.10a2-5a=5a(2a-1)
D.2a2b3=2a·ab2
C
课程讲授
1
因式分解的概念
归纳：因式分解与整式乘法是互逆运算，二者是一个式子的两种不同表现形式．因式分解的等号右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的等号右边是多项式的形式．
课程讲授
2
用提公因式法分解因式
问题1：观察下列多项式，试着发现它的特点并分解因式.
m a + m b + m c
m（a+b+c）=ma+mb+mc
已知
可得
ma+mb+mc=m（a+b+c）
定义： 多项式的每一项都含有一个相同因式m，m叫各项的公因式.
课程讲授
2
用提公因式法分解因式
练一练：多项式2x2+6x3中各项的公因式是（ ）
A.x2
B.2x
C.2x3
D.2x2
D
课程讲授
2
用提公因式法分解因式
提公因式法分解因式：
一般地，如果多项式的各项有________，可以把这个________提取出来，这样ma+mb+mc就分解成两个因式的积m（a+b+c），即
ma+mb+mc=m（a+b+c）.
这种因式分解的方法叫做提公因式法.
公因式
公因式
课程讲授
例1 把8a3b2 + 12ab3c分解因式.
2
用提公因式法分解因式
提示：先寻找它们的公因式，再进行因式分解.
解： 8a3b2 + 12ab3c
=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
=4ab2(2a2+3bc)
想一想：
如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公式？
另一个因式将是2a2b+3b2c,它还有公因式是b.
课程讲授
例2 把 2a(b+c) - 3(b+c)分解因式.
2
用提公因式法分解因式
解： 2a(b+c)-3(b+c)
=(b+c)(2a-3)
想一想：
如何检验因式分解是否正确？
进行整式乘法运算
课程讲授
2
用提公因式法分解因式
练一练：用提公因式法因式分解：
（1）4a3b2-10ab3c;
（2）-3ma3+6ma2-12ma.
解：4a3b2-10ab3c
=2ab2(2a2-5bc).
解：-3ma3+6ma2-12ma
=-3ma(a2-2a+4).
随堂练习
1.把x2+3x+c分解因式得x2+3x+c=(x+1)·(x+2)，则c的值为（ ）
A.2 B.3
C.-2 D.-3
2.把a2-2a分解因式，正确的是（ ）
A.a(a-2)
B.a(a+2)
C.a(a2-2)
D.a(2-a)
A
A
随堂练习
3.下列多项式中，能用提公因式法因式分解的是（ ）
A.x2-y2
B.x2+2x
C.x2+y2
D.x2-xy+y2
4.已知x2-2x-3=0，则2x2-4x的值为（ ）
A.-6
B.6
C.-2或6
D.-2或30
B
B
随堂练习
5.把下列各式分解因式：
（1）6p(p+q)-4q(p+q);
（2）2a(x-y)-3b(y-x).
解：6p(p+q)-4q(p+q)
=2(p+q)(3p-2q).
解：2a(x-y)-3b(y-x)
=2a(x-y)+3b(x-y)
=(x-y)(2a+3b).
随堂练习
6.利用因式分解进行计算：
（1）20202-2019×2020;
（2）31×3.14+27×3.14+42×3.14.
解：20202-2019×2020
=（2020-2019）×2020
=2020.
解：31×3.14+27×3.14+42×3.14
=（31+27+42）×3.14
=100×3.14
=314.
课堂小结
提公因式法
定义
一般地，如果多项式的每一项都含有一个相同因式m，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成两个因式的积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.
am+bm+mc=m(a+b+c)
方法
确定公因式
提取公因式
