青岛版九年级数学下册课件 5.4二次函数的图象和性质（第4课时）课件 (共23张PPT)

(共23张PPT)
5.4 二次函数的图象和性质
第4课时
1.会画y=ax2+bx+c的图象；
2.理解y=ax2+bx+c的性质；
3.掌握y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的图象及性质的联系与区别.
说出二次函数 的图象的开口方向、对称
轴、顶点坐标.它是由y=-4x2怎样平移得到的？
怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象
用配方法化成顶点式:y=a(x-h)2+k的形式
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
步骤1：提取二次项系数
步骤2：（配方）加上再减去一 次项系数绝对值一半的平方
步骤3（整理）前三项化为完全 平方式,后两项合并同类项
步骤如下：
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
… 29 14 5 2 5 14 29 …
列表:根据对称性,选取适当值列表计算.
∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2).
再根据顶点式确定开口方向、对称轴、顶点坐标.
x=1
● (1，2)
通过图象你能看出当x取何值时y随x的增大而减小，
当x取何值时，y随x的增大而增大吗？
当x<1时y随x的增大而减小;当x>1时，y随x的增大而增大.
在对称轴的左边图象从左到右斜向下，在对称轴的右边图象从左到右斜向上.同学们，你想到了什么？
0
画出y＝ x2－6x＋21的图象.
配方得：
y= x2－6x＋21
=
(x－6)2＋3.
由此可知，抛物线 的顶点
是点（6，3），对称轴是直线x＝6.
y＝ x2－6x＋21
O
y
x
5
10
5
10
20
15
x ＝6
y＝ (x－6)2＋3
y＝ x2－6x＋21
怎样平移抛物线
y＝ x2得到抛物线
y＝ (x－6)2＋3？
当_____时y随x的增大而增大
当_____时y随x的增大而减小
x>6
x<6
·
（8，5）
·
（4，5）
·
(6，3)
·
（12，21）
·
（0，21）
一般地,对于二次函数y=ax +bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.
提取二次项系数
配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项
化简
你能把函数y=ax +bx+c通过配方法化成顶点式吗？
b
a(x x) c
= + +
2
a
c
bx
ax
y
+
+
=
2
= + + - +
a[x x ( ) ( ) ] c
a 2a 2a
2 2 2
b b b
=a(x+ )2 - +c
2a
b
4a
b2
=a(x+ )2+ .
2a
b
4a
4ac-b2
抛物线的顶点式
二次函数y=ax +bx+c的图象是一条抛物线.
y=a(x+ )2+ .
2a
b
4a
4ac-b2
它的顶点是（- ， ）.
2a
b
4a
4ac-b2
对称轴是x=3，顶点坐标是（3，-5）
对称轴是x=8，顶点坐标是（8,1）
对称轴是x=0，顶点坐标是（0，12）
利用公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
请你总结函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质.
想一想，函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系是什么？
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线
顶点坐标
对称轴
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
向上
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
1.相同点: (1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最大(或小)值.
(4)a>0时，开口向上，在对称轴左侧，y都随x的增大而减小.在对称轴右侧，y都随 x的增大而增大. a<0时，开口向下，在对称轴左侧，y都随x的增大而增大.在对称轴右侧，y都随 x的增大而减小.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax 的关系
2.不同点:
(1)位置不同. (2)顶点不同:分别是__________和(0,0).
(3)对称轴不同:分别是___________和y轴.
(4)最值不同:分别是_______和0.
3.联系: y=a(x-h) +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax 的图象先沿
x轴整体左(右)平移|____|个单位(当___>0时,向右平移;当___
<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|_____|个单位
(当______>0时向上平移;当_____<0时,向下平移)得到的.
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（ ）
A．ac<0
B．a-b+c>0
C．b=-4a
D．关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=5
-1
y
x
5
x=2
2
O
B
2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a<0，b<0，c>0，b2－4ac>0
B．a>0，b<0，c>0，b2－4ac<0
C．a<0，b>0，c<0，b2－4ac>0
D．a<0，b>0，c>0，b2－4ac>0
y
x
O
D
3．如图，二次函数y＝ax2－bx＋２的大致图象如图所示，则
函数y＝－ax+b的图象
不经过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2
O
X
Y
A
4.已知函数y=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象
如图所示，则函数y=ax+b的图象
可能正确的是（ ）
y
x
1
1
O
（A）
y
x
1
-1
O
（B）
y
-1
-1
O
（C）
1
-1
y
O
（D）
【解析】选D.由二次函数的图象可知一元二次方程（x-a)(x-b）=0的解
为x1=a，x2=b，则a=1，b＜-1.所以可以得到函数的图象与y轴的交点在点
（0，-1）的下方，与x轴的交点在点（1,0）的右边，故选D.
x
x
5.已知抛物线y=ax2+bx+c.在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】选D. ∵抛物线开口向下∴a＜0，∵对称轴在y轴的
右边，∴b＞0，∵抛物线与y轴交与正半轴，∴c＞0，∵当
x=1时，y＞0，即a+b+c＞0.
1.根据抛物线的开口方向判断a的符号.
答：抛物线开口向上，所以a＞0.
2.图中顶点横坐标 符号怎样？再结合a的符号判断b的符号.
答： ＞0，其中a＞0，∴b＜0.
3.顶点横坐标 ＞0时，b与a的符号有何关系 ＜0时，b与a的符号有何关系？
答： ＞0时，b的符号与a的符号相异； ＜0时，b的符号与a的符号相同.
b
2a
-
b
2a
-
b
2a
-
b
2a
-
b
2a
-
4.抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是多少 结合此坐标在y
轴的位置判断c的符号.
答:抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是(0,c),∵该点在y轴
的负半轴上，∴c＜0.
5.a+b+c是x为何值时y=ax2+bx+c的值？据此判断本题中a+b+c
的符号？
答：a+b+c是x=1时y=ax2+bx+c的值，据此判断本题中a+b+c＜0.