青岛版九年级数学下册5.6 二次函数的图象与一元二次方程 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
ax2+bx+c=0
y=ax2+bx+c
5.6二次函数的图象与一元二次方程
思考回顾
1、若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1＝0有实数根，则a的取值范围为 .
一元二次方程ax +bx+c＝0(a≠0)根的判别式
（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0 方程没有实数根．
思考回顾
2．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
思考回顾
二次函数y=(a≠0) 的图象和性质：
1、对称轴是 _________ ，顶点坐标是________ 。
2、当对称轴在y轴左侧时，
3、当对称轴在y轴右侧时，
4、它与y轴交点坐标为
5、求它与x轴的交点坐标
令y=0，即0=ax +bx+c
一元二次方程
（0，c)
a,b同号.(左同)
a,b异号.(右异)
-
2a
b
—
x=
-
2a
b
—
4ac-b
4a
,
( )
学习目标
1.探索抛物线与x轴的交点横坐标和一元二次方程的根的关系，体会方程与函数的密切关系;
2.学会用图像法求一元二次方程近似根;
（1）比较二次函数的表达式与一元二次方程=0，你能说出二者之间有什么联系吗？
观察与思考 一
（2）一元二次方程=0有没有实数根？如果有实根，它的实根是什么？
（3）观察二次函数的图象。图象与x轴有公共点吗？如果有，有几个公共点？公共点的坐标是什么？
一元二次方程x2-2x-3=0的根是x1=-1,x2=3
抛物线与x轴有两个公共点
（-1,0)，（3,0）
（4）x为何值时，函数的值是0？
（5）一元二次方程=0的实根和二次函数的图象与x轴的交点的横坐标有什么关系
一元二次方程x2-2x-3=0的根是x1=-1,x2=3
抛物线与x轴有两个公共点
（-1,0)，（3,0）
当x=-1,x=3时，函数y的值是0.即x2-2x-3=0。
相等
观察与思考 二
（6）通过上述探索，你发现一元二次方程=0与二次函数的图象有什么关系
①抛物线与x轴有几个公共点？
交点的坐标是什么？
③一元二次方程=0 有没有根？
如果有根，它的根是什么？
④一元二次方程 =0的根和抛物线与x轴的公共点的横坐标有什么关系？
②当x取何值时，函数函数值为0？
一个
1
2
一
（ ，0）
1
2
一
x=
1
2
一
x =x =
相等
1、抛物线y=ax +bx+c与x轴公共点的横坐标，
恰为一元二次方程ax +bx+c=0的实根。
2、若一元二次方程ax +bx+c=0有实根，则
抛物线y=ax +bx+c与x轴有公共点，且
公共点的横坐标是这个一元二次方程的实根。
（7）一般地，一元二次方程=0有实根，那么该方程的根和二次函数的图象与x轴的交点的横坐标有什么关系
y=x -2x-3
抛物线y=ax2+bx+c
与x轴有公共点
二次方程ax2+bx+c=0
有实根
转化为
转化为
二次函数的图象与一元二次方程
1．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+1的图象如图所示，则方程ax2+bx+1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根C．没有实数根
D．无法判断
B
小试牛刀
2、已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+=0的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等实数根C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根
D
3．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx＝﹣m有实数根，则m最大值为（　　）
A．3 B．﹣3
C.﹣6 D．9
A
解：由图象可得，二次函数y＝ax2+bx的最小值是y＝﹣3，∵一元二次方程ax2+bx＝﹣m有实数根，∴﹣m≥﹣3，解得，m≤3，∴m的最大值是3，
例1
用图象法讨论一元二次方程x -3x-2=0的根
解：
（1）画抛物线y=x -3x-2.
（2）由图象可知，在-1与0 之间以及 3与4之间各有一个根.
分别计算x=0，x=-1，x=-0.5的函数值，列表如下：
x
y
-1
-0.5
0
2
-0.25
-2
由于当x=-1时，y＞0，当x=-0.5时，y＜0，所以方程的根在-1和-0.5之间。
由于在画图和观察过程中
存在误差，所以得到的往往
是二次方程根的近似值
（精确到0.1）
可再将-1和-0.5之间分为5等份，每个分点作为x值，利用计算器求出所对应的函数值，列表：
x
y
-1.0
-0.7
-0.9
-0.8
2
-0.5
-0.6
1.04
1.51
0.16
0.59
-0.25
可以看出，这个根在-0.6和-0.5之间，由于本题要求精确到0.1，所以可以将-0.6或-0.5看作二次方程
x2-3x-2=0较小根的近似值，即二次方程x2-3x-2=0的较小根为x≈-0.6或x≈-0.5
你能求出二次方程
x2-3x-2=0较大根
的近似值吗？试试看！
同样的，可以求出一元二次方程x2-3x-2=0的较大根的近似值，列表如下：
由上表可见，方程的较大根在3.5和3.6之间，所以可以将3.5或3.6看作二次方程x2-3x-2=0较大根的近似值，即二次方程x2-3x-2=0的较大根为x≈3.5或x≈3.6
3.0
-0.25
-2
0.16
3.7
3.6
3.5
1.04
0.59
3.9
3.8
2
1.51
4.0
x
y
1．下表是满足二次函数y＝ax2+bx+c的五组数据，x1是方程ax2+bx+c＝0的一个解，则下列选项中正确的是（　　）
x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4
y ﹣0.80 ﹣0.54 ﹣0.20 0.22 0.72
A．1.6＜x1＜1.8
B．1.8＜x1＜2.0
C．2.0＜x1＜2.2
D．2.2＜x1＜2.4
C
例2
用图象法讨论一元二次方程x -2x+3=0的根。
x
y
解：
（1）画出抛物线y=x -2x+3
（2）由于图象与x轴没有公共点，所以一元二次方程x -2x+3=0没有实数根
抛物线y=ax2+bx+c
与x轴无公共点
二次方程ax2+bx+c=0
无实根
转化为
转化为
x
y
挑战自我
已知抛物线，当a,b,c满足什么条件时，
（1）抛物线与x轴有两个公共点？
（2）抛物线与x轴有一个公共点？
（3）抛物线与x轴没有公共点？
一元二次方程根的判别式
b -4ac>0
b -4ac=0
b -4ac<0
1、若方程ax2﹣2ax+c＝0（a≠0）有一个根为x＝﹣1，那么抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴两交点间的距离为　 　．
跟踪练习
4
解：抛物线的对称轴是直线x＝﹣ ＝1．
∴方程ax2﹣2ax+c＝0（a≠0）的另一根为x＝3．则两交点间的距离为4．
2、抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0）、B（1，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣3）2+c＝3b﹣bx的解是 　 　．
x ＝1，x ＝4
解：∵a（x﹣3）2+c＝3b﹣bx，∴a（x﹣3）2+b（x﹣3）+c＝0，∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0）、B（1，0），∴x﹣3＝﹣2或1，∴a（x﹣3）2+c＝3b﹣bx的解是1或4
3、抛物线与x轴的交点情况是（ ）
A．有两个交点 B．只有一个交点 C．没有交点 D．无法判断
4、已知二次函数y＝（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A且 B.且
C. D.
D
A
二次函数y=ax2+bx+c的图象
二次方程ax2+bx+c=0的根
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点的个数
二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式
两个公共点
一个公共点
没有公共点
有两个不等实根
有两个相等实根
没有实根
＝0
＞0
＜0
课堂小结：
1、二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程 ax2+bx+c=0的关系。
2、根据二次函数的系数，判断它的图象与x轴的位置关系。
1．已知函数y＝x2+（m+3）x+2m+2（1）判断该函数的图象与x轴的交点个数．（2）若m＝﹣5，求出函数值y在0＜x＜5时的取值范围．（3）若方程x2﹣2x﹣8＝k在0＜x＜5内有且只有一个解，直接写出k的范围．
拓展与延伸
解：（1）∵△＝（m+3）2﹣4（2m+2）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2，∴当m＝1时，图象与x轴只有一个交点，当m≠1时，图象与x轴有两个交点； （2）m＝﹣5时，y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，当x＝1时，函数有最小值﹣9，当x＝5时，y＝7，
（3）若方程x2﹣2x﹣8＝k在0＜x＜5内有且只有一个解，即为y＝x2﹣2x﹣8和函数y＝k只有一个交点，函数y＝x2﹣2x﹣8，与y轴的交点为：（0，﹣8），函数的顶点坐标为：（1，﹣9），故在0＜x＜5时，y＝x2﹣2x﹣8和函数y＝k只有一个交点时，k＝﹣9或﹣8≤k＜7．
2．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，下列结论：①b＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＜0；④a+b+c＞0；⑤关于x的方程0＝ax2+bx+c的另一个解在﹣2和﹣3之间，其中正确结论的个数是（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D