高中数学人教A版（2019）必修第二册 10.2事件的相互独立性 学案

10.2 事件的相互独立性
对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立
题型一 独立事件
例 1　一袋中装有100只球，其中有20只白球，在有放回地摸球中，记“第一次摸得白球”，“第二次摸得白球”，则事件与是（ ）
A．相互独立事件 B．对立事件 C．互斥事件 D．无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】
表示第二次摸到的是白球，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到白球互不影响，故事件与是相互独立事件．
【详解】
由于采用有放回地摸球，所以每次是否摸到白球互不影响
故事件与是相互独立事件.
故选：A
袋内有大小相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用表示“第一次摸到白球”，用表示“第二次摸到白球”，用表示“第一次摸到黑球”则下列说法正确的是（ ）
A．与为互斥事件 B．与为对立事件
C．与非相互独立事件 D．与为相互独立事件
【答案】C
【分析】
根据互斥事件和相互独立事件的概念逐一判断即可.
【详解】
与可以同时发生但是不放回的摸球第一次对第二次有影响，所以不为互斥事件，也非相互独立事件；
与可以同时发生所以不是对立事件；
与，第一次摸到白球与第一次摸到黑球一定不能同时发生，不是相互独立事件.
故选：C.
题型二 独立事件的实际应用
例 2　生产同一种产品,甲机床的废品率为0.04,乙机床的废品率为0.05,从甲,乙机床生产的产品中各任取1件,求:
(1)至少有1件废品的概率;
(2)恰有1件废品的概率.
【答案】(1)0.088;(2)0.086.
【分析】
（1）用减去两个都是正品的概率，由此求得所求概率.
（2）利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
从甲 乙机床生产的产品中各取1件是废品分别记为事件A B,则事件A,B相互独立,且,.
(1)设“至少有1件废品”为事件C,则.
(2)设“恰有1件废品”为事件D,则.
各国医疗科研机构都在研制某种病毒疫苗，现有G，E，F三个独立的医疗科研机构，它们在一定时期内能研制出疫苗的概率分别是.求：
（1）他们都研制出疫苗的概率；
（2）他们都失败的概率；
（3）他们能够研制出疫苗的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）令事件分别表示G，E，F三个独立的医疗科研机构在一定时期内成功研制出该疫苗，这三个事件彼此独立，按照独立事件同时发生的概率求解；
（2）都失败指同时发生，按照独立事件同时发生的概率求解；
（3）与（2）是对立事件，根据对立事件概率公式求解.
【详解】
令事件分别表示G，E，F三个独立的医疗科研机构在一定时期内成功研制出该疫苗.
依题意可知，事件相互独立，且.
（1）他们都研制出疫苗，即事件同时发生，，即他们都研制出疫苗的概率为.
（2）他们都失败，即事件同时发生，，即他们都失败的概率为.
（3）“他们能够研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系，可得所求事件的概率，即他们能研制出疫苗的概率为.
1、一个口袋中装有个白球和个黑球，下列事件中，是独立事件的是（ ）
A．第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球
B．摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球
C．摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球
D．一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球
【答案】B
【分析】
根据独立事件的定义逐一判断即可得解.
【详解】
解：对于选项A，第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球，是随机事件；
对于选项B，摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，两者不受影响，是独立事件；
对于选项C，摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，第二次受第一次的影响，不是独立事件；
对于选项D，一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球，有影响，不是独立事件，
故选：B.
2、袋内有3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,用A表示“第一次摸得白球”,如果“第二次摸得白球”记为B,“第二次摸得黑球”记为C,那么事件A与B,A与C间的关系是( )
A．A与B,A与C均相互独立 B．A与B相互独立,A与C互斥
C．A与B,A与C均互斥 D．A与B互斥,A与C相互独立
【答案】A
【分析】
根据有放回抽取的知识，结合事件独立性、互斥事件等知识，判断出正确选项.
【详解】
由于摸球是有放回的,故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响,故A与B,A与C均相互独立.而A与B,A与C均能同时发生,从而不互斥.
故选：A
3、一个口袋中有黑球和白球各5个，从中连摸两次球，每次摸一个且每次摸出后不放回，用A表示第一次摸得白球，B表示第二次摸得白球，则A与B是( )
A．互斥事件 B．不相互独立事件
C．对立事件 D．相互独立事件
【答案】B
【解析】
第一次摸得白球和第二次摸得白球有可能同时发生，∴A、B不是互斥事件，自然也不是对立事件；第一次摸得白球与否会影响第二次摸得白球的概率，∴A、B是不相互独立事件． 答案：B
4、甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是_____．
【答案】
【分析】
甲队以获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，利用独立事件的概率乘法公式和概率的加法公式能求出甲队以获胜的概率．
【详解】
甲队的主客场安排依次为“主客主”．
设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，
甲队以获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，
则甲队以获胜的概率是：.
故答案为：．
5、某自助银行有四台ATM，在某一时刻这四台ATM被占用的概率分别为.
（1）若某客户只能使用四台ATM中的或，则该客户需要等待的概率为_________；
（2）某客户使用ATM取款时，恰好有两台ATM被占用的概率为_______.
【答案】
【分析】
（1）如果某客户只能使用A或B型号的ATM机，求该客户需要等待即为事A,B同时发生，且A,B相互独立，代入概率公式 可求.
（2）恰有两台ATM机被占用，考虑是那两台ATM机被占用，代入相互独立事件的概率公式可求．
【详解】
（1）该客户需要等待意味着与同时被占用，故所求概率为.
（2）依题意，该客户使用ATM取款时恰好有两台ATM被占用的概率为
.
故答案为： (1). (2).
6、一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球.如果不放回地依次取出2个球，回答下列问题：
（1）第一次取出的是黑球的概率；
（2）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）利用古典概率的求解方法进行求解；
（2）利用独立事件同时发生的概率公式求解.
【详解】
依题意，设事件表示“第一次取出的是黑球”，事件表示“第二次取出的是白球”.
（1）黑球有3个，球的总数为5个，所以.
（2）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率为.
7、计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.
（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.
【答案】（1）丙；（2）
【分析】
（1）分别计算三者获得合格证书的概率，比较大小即可（2）根据互斥事件的和,列出三人考试后恰有两人获得合格证书事件，由概率公式计算即可求解.
【详解】
（1）设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则，，.
因为，所以丙获得合格证书的可能性最大.
（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则.