陕西省西工大附中2013届高三上学期第二次适应性训练数学理试题

2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第二次适应性训练
数 学（理科）
第Ⅰ卷 选择题（共50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．已知集合P=,,则( )
A．(0,2),(1,1) B．{1,2} C．{(0,2),(1,1)} D．
2．已知方程有实根，且，则复数等于（ ）
A． B． C． D．
3．若向量，满足，，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．若一个三棱柱的底面是正三角形，其正（主）视图如图所示，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
5.已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出的是（ ）
A．，且 B．∥，且
C．，且∥ D．，且∥
6.若是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．右图是两组各名同学体重（单位：）数据的茎叶图．设，两组数据的平均数依次为和，标准差依次为和，那么（ ）
（注：标准差，其中为的平均数）
A．， B．，
C．， D．，
8．已知函数的定义域为，则函数的单调递增区间是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
9．若整数满足，则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．5 D．6.5
10．为了得到函数的图象，可将函数的图象上所有的点的（ ）
A．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度
B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度
C．横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度
D．横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度
第Ⅱ卷 非选择题（共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分，把答案填写在答题卡相应的位置）
11．已知.且数列是一个单调递增数列，则的最大值是 ；
12．在面积为9的正方形内部随机取一点，则能使的面积大于的概率是 ；
13．在△中，，，，则__ __；
14．若，则 ；
15．(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)
A（不等式选做题）若存在实数使成立，则实数的取值范围是 ；
B（坐标系与参数方程）曲线与交点的个数为： ；
C．如图，直线与圆相切于点，割线经过圆心，弦⊥于点，，，则 ．
三．解答题（共6个小题，共75分）
16（本小题满分12分)已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对于任意的，都有，求实数的取值范围．
17．（本小题满分12分)如图,矩形所在的平面与直角梯形所在的平面互相垂直，∥,，且，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
18．（本小题满分12分)甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的道题．规定每次考试都从备选的道题中随机抽出道题进行测试，答对一题加分，答错一题（不答视为答错）减分，至少得分才能入选．
（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．
19．（本小题满分12分)已知公差不为0的等差数列的前项和为，，且成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和公式.
20．（本小题满分13分)已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点．
（Ⅰ）若，求直线的斜率；
（Ⅱ）设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值．
21．（本小题满分14分)已知函数，其中为常数，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）当时，求的最大值；
（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的值；
（Ⅲ）当时，判断方程是否有实根？若无实根请说明理由，若有实根请给出根的个数．
2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第二次适应性训练
数学（理科）参考答案与评分标准
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
A
B
D
D
C
C
A
二、填空题:
11．6； 12．； 13．45°； 14．―4．
15．A； B．1； C．．
三、解答题
16．（本小题满分12分）
【解】：（Ⅰ）．……………………(5分)
（Ⅱ）

．……………………………………………………(9分)
∵，∴， ∴当 ，即时，
取得最大值．∴， 等价于 ．
故当 ，时，的取值范围是．…………………(12分)
17. （本小题满分12分）
【解】：（Ⅰ）证明：因为//，平面，平面，所以//平面．
因为为矩形，所以//．
又 平面，平面，
所以//平面．
又，且，平面，
所以平面//平面．又平面，
所以平面． ………………………………(5分)
（Ⅱ）解：由已知平面平面，且平面平面，，
所以平面，又，故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系.
由已知得，易得，．
则，，．
，．
设平面的法向量，则
即令，则，．．
又是平面的一个法向量，
所以．
故所求二面角的余弦值为．……………………………………(12分)
18．（本小题满分12分）
【解】：（Ⅰ）设乙答题所得分数为，则的可能取值为．
； ；
； ．
乙得分的分布列如下：
………………(6分)
．
（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对题才能入选，记甲入选为事件，乙入选为事件.
则 ，
．
故甲乙两人至少有一人入选的概率
．………………………………………………(12分)
19.（本小题满分12分）
【解】：（Ⅰ）设等差数列的公差为.
因为，
所以. ①
因为成等比数列，
所以. ②
由①，②可得：.
所以.…………………………………………………………(6分)
（Ⅱ）由可知：
所以
所以
.
所以数列的前项和为. ……………………（12分）
20.（本小题满分13分）
【解】：（Ⅰ）依题意，设直线方程为．
将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得．
设，，
所以 ，． ①
因为 ，
所以 ． ②
联立①和②，消去，得．
所以直线的斜率是．………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）解：由点与原点关于点对称，得是线段的中点，从而点与点到直线的距离相等，
所以四边形的面积等于．
因为，
所以时，四边形的面积最小，最小值是，………………………（13分）
21．（本小题满分14分）
【解】：（Ⅰ）当时，，
当00；当x>1时。<0，∴是在定义域上唯一的极（大）值点，则 …………………………………（4分）
（Ⅱ）∴，，
①当时，≥0，从而在上单调递增，∴舍；
②当时，在上递增，在上递减，，令，得 ………………………………（10分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知当时，，∴||≥1，
又令，，，∴方程无解．……（14分）