2021-2022学年安徽省六安市金安区汇文中学九年级（上）期末数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年安徽省六安市金安区汇文中学九年级（上）期末数学试卷
副标题
题号 一 二 三 四 总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为
A.
B.
C.
D.
将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得到的拋物线为
A. B.
C. D.
长方形的长为、宽为，它的各边都减少，得到的新长方形的周长为，则与之间的关系式是
A. B.
C. D.
如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．若四边形的面积为，，则的长为
A.
B.
C.
D.
已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是
A. B. C. D.
如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，则水面应下降的高度是
A. B. C. D.
如图，在中，，，，则的长为
A.
B.
C.
D.
如图，的直径为，弦的长为，是弦上的一动点，则线段的长的取值范围是
A.
B.
C.
D.
如图，和都是边长为的等边三角形，它们的边，在同一条直线上，点，重合．现将在直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图象大致为
A. B.
C. D.
如图，交双曲线于点，且：：，若矩形的面积是，且轴，则的值是
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为______．
如图，正方形的边长为，，，线段的两端在、上滑动，当______时，与相似．
如图，已知圆为的内切圆，切点分别为、、，且，，，则圆的半径为______．
如图，中，，，顶点在反比例函数图象上，若的面积恰好被轴平分，则进过点的反比例函数的解析式为______．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
计算：
四、解答题（本大题共8小题，共82.0分）
如图，在边长为的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点为原点，点、的坐标分别是、．
将向下平移个单位后得到，则点的坐标为______；
将绕点逆时针旋转后得到，请在图中作出，并求出这时点的坐标为______；
在中的旋转过程中，线段扫过的图形的面积______．
某无人机兴趣小组在操场上开展活动如图，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为又经过人工测量操控者和教学楼距离为米，求教学楼的高度．注：点，，，都在同一平面上．参考数据：，，
如图，是的直径，弦平分，过点作于．
求证：是的切线；
若，的延长线相交于，且，，求的长．
如图，直线与反比例函数的图象相交于点、，过点作轴，垂足为点，连接、．
求反比例函数的解析式；
求；
利用函数图象直接写出关于的不等式的解集．
如图，是的直径，是的中点，是线段上一点，连接并延长，与交于点，．
求证：；
若，，求的长．
某单位食堂为全体名职工提供了，，，四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取名职工进行“你最喜欢哪一种套餐必选且只选一种”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
在抽取的人中最喜欢套餐的人数为______，扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的大小为______；
依据本次调查的结果，估计全体名职工中最喜欢套餐的人数；
现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率．
某企业设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每降低元，每天就可多售出件，但要求销售单价不得低于成本．
求出每天的销售利润元与销售单价元之间的函数关系式；
求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
如果该企业要使每天的销售利润不低于元，且每天的总成本不超过元，那么销售单价应控制在什么范围内？每天的总成本每件的成本每天的销售量
二次函数的图象与轴交于两点、，与轴交于点，且、
求此二次函数的表达式
如图，抛物线的对称轴与轴交于点，，垂足为，点，动点在线段上运动，连接、、，若以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标
如图，点在抛物线上，且点的横坐标是，点为抛物线上一动点，若，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：直线，
，
，，，
，
，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】
解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移个单位所得抛物线的解析式为：；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线向右平移个单位所得抛物线的解析式为：；
故选：．
3.【答案】
【解析】解：长方形的长为、宽为，它的各边都减少，得到的新长方形的周长为，
与之间的关系式是：．
故选：．
原长方形的边长减少后得到的新长方形的边长为，和，周长为，自变量的范围应能使长方形的边长是正数，即满足，．
此题主要考查了由实际问题列函数关系式，关键是正确理解题意，此题的难点是写出自变量的取值范围．
4.【答案】
【解析】解：把绕点顺时针旋转到的位置，
≌，
，
四边形的面积为，
正方形的面积为，
正方形的边长为，
在中，由勾股定理得：
，
故选：．
由旋转得≌，四边形的面积为，实际正方形的面积是，进而求出正方形的边长，在直角三角形中，由勾股定理可以求出的长．
考查旋转的性质、正方形的性质、直角三角形的勾股定理等知识，将四边形的面积为转化为正方形的面积是解决问题的关键．
5.【答案】
【解析】解：反比例函数的图象分布在第二、四象限，
在每一象限随的增大而增大，
而，
．
即．
故选：．
根据反比例函数性质，反比例函数的图象分布在第二、四象限，则最小，最大．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了反比例函数的性质．
6.【答案】
【解析】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过点，则通过画图可得知为原点，
抛物线以轴为对称轴，且经过，两点，
米，
抛物线顶点坐标为，
设顶点式，代入点坐标，
得：，
所以抛物线解析式为，
把代入抛物线解析式得出：，
水面应下降的高度是米，
故选：．
根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式即可得出答案
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
7.【答案】
【解析】解：过作于，则，
，，
，，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
故选：．
过作于，则，根据已知求出，，求出、的长，根据勾股定理求出即可．
本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是确定的最小值，所以求的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为，弦长为，这条弦的弦心距为，则有等式成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
由垂线段最短可知当时最短，当是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．
【解答】
解：如图，连接，作于，
的直径为，
半径为，
的最大值为，
于，
，
，
，
在中，；
此时最短，
当是半径时最长，．
所以长的取值范围是．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：如图所示：当时，过点作于．
和均为等边三角形，
为等边三角形．
，
．
当时，，且抛物线的开口向上．
如图所示：时，过点作于．
同理，为等边三角形．
而，
，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．
故选：．
分为、两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得与的函数关系式，于是可求得问题的答案．
本题主要考查的是动点问题的函数图象，求得函数的解析式是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：延长、，交轴于、，
四边形矩形，且轴，
轴，轴，
，
∽，
，
矩形的面积是，
的面积为，
轴，
∽，
，
：：，
，
，
，
，
，
双曲线经过点，
，
，
，
故选：．
延长、，交轴于、，通过证得三角形相似求得的面积，根据反比例函数系数的几何意义，即可求得的值．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：如图，连接、，
正五边形内接于，
，
，
故答案为：．
连接圆心和点点，构造圆心角，利用正五边形的性质求得圆心角的度数，从而求得的度数即可．
考查了正多边形和圆、圆的有关性质及定义等知识，解题的关键是构造圆心角，难度不大．
12.【答案】或
【解析】解：，
，
又与以、、为顶点的三角形相似，
分两种情况：
与是对应边时，，
，
即，
解得：；
与是对应边时，，
，
即，
解得：．
综上所述：当为或时，与相似．
故答案是：或．
根据，中，所以在中，分与和是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出与的关系，然后利用勾股定理列式计算即可．
本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定；主要利用相似三角形对应边成比例的性质和直角三角形勾股定理求解．
13.【答案】
【解析】解：在中，
，，，
，
为的内切圆，切点分别为，，，
，，，
如图，连接，，
，，，
，
四边形是正方形，
设，则，，
，
，
，
则圆的半径为．
故答案为：．
设，利用切线长定理，构建方程先求出证明四边形是矩形，推出即可解决问题．
本题考查三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14.【答案】
【解析】解：分别过、作轴于，轴交于设．
顶点在反比例函数图象上，
．
，
，，
∽，
：：：，
在中，，，
：：，
：：：，
，，
的面积恰好被轴平分，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
分别过、作轴于，轴交于设，则根据两角对应相等的两三角形相似，得出∽，由相似三角形的对应边成比例，则、都可用含、的代数式表示，从而求出的坐标，进而得出结果．
本题主要考查了相似三角形的判定及性质，用待定系数法求函数的解析式，三角函数的定义等知识，综合性较强，难度适中．
15.【答案】解：原式，
，
，
．
【解析】利用、、计算即可．
本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
16.【答案】；
如图所示，过点作的垂线，在上面取一点使，同样的方法求出点，顺次连接、、就得出，同样的方法求出点，顺次连接、、就得出，是所求作的图形，其中；
．
【解析】
解：由题意，得，
，
故答案为：；
由作图得，
故答案为：；
由勾股定理，得，
线段扫过的图形的面积为：，
故答案为：．
【分析】根据平移的性质，上下平移在在对应点的坐标上，纵坐标上上加下减就可以求出结论；
过点作的垂线，在上面取一点使，同样的方法求出点，顺次连接、、就得出，就可以相应的结论；
根据条件就是求扇形的面积即可．
本题考查了旋转作图的运用，勾股定理的运用，扇形的面积公式的运用，平移的运用，解答时根据图形变化的性质求解是关键．
17.【答案】解：过点作于点，过点作于点．
由题意得，，，，．
在中，，
．
，
四边形是矩形，
．
在中，，
．
答：教学楼高约米．
【解析】作于点，作于点，由求得，由知，再根据四边形是矩形知由知，从而得．
此题主要考查了解直角三角形的应用，利用数形结合以及锐角三角函数关系求解是解题关键．
18.【答案】解：如图，，
连接，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
点在上，
是的切线；
在中，根据勾股定理得，，
设的半径为，
，，，
由知，，
∽，
，
，
，
【解析】判断出，即可得出结论；
先利用勾股定理求出，进而利用相似三角形的性质建立方程即可求出圆的半径，即可得出结论．
此题主要考查了切线的判定，角平分线的意义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，判断出是解本题的关键．
19.【答案】解：把代入，得，
，
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的解析式为；
由，解得，或，
，
；
由图象可知，当或时，直线落在双曲线的下方，
所以关于的不等式的解集是或．
【解析】由题意，可知点的横坐标为，把代入，求出，得到点的坐标，再将点的坐标代入，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
先将两函数的解析式联立，解方程组求出点坐标，再根据三角形面积公式列式计算即可；
观察图象，找出直线落在双曲线下方的部分对应的自变量的取值范围即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，利用了数形结合思想．
20.【答案】证明：是的中点，
，，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：在中，
，，
，
，
，
设，
，
由勾股定理得，
，
解得：，
．
【解析】根据圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系可得结论；
由勾股定理得的长，设，再利用勾股定理得方程组，求解即可得到答案．
此题考查的是圆周角定理、勾股定理、垂径定理、圆的弦、弧、圆心角之间的关系等知识，根据勾股定理列出方程组是解决此题关键．
21.【答案】解：；．
估计全体名职工中最喜欢套餐的人数为人；
画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中甲被选到的结果数为，
甲被选到的概率为．
【解析】
【分析】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
用被调查的职工人数乘以最喜欢套餐人数所占百分比即可得其人数；再由四种套餐人数之和等于被调查的人数求出对应人数，继而用乘以最喜欢套餐人数所占比例即可得；
用总人数乘以样本中最喜欢套餐的人数所占比例即可得；
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，利用概率公式求解可得答案．
【解析】
解：在抽取的人中最喜欢套餐的人数为人，
则最喜欢套餐的人数为人，
扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的大小为，
故答案为：、．
见答案．
22.【答案】解：
；
，
抛物线开口向下．
，对称轴是直线，
当时，；
当时，，
解得，．
当时，每天的销售利润不低于元．
由每天的总成本不超过元，得，
解得．
，
，
销售单价应该控制在元至元之间．
【解析】根据“利润售价成本销售量”列出方程；
把中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；
把代入函数解析式，求得相应的值；然后由“每天的总成本不超过元”列出关于的不等式，通过解不等式来求的取值范围．
本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
23.【答案】解：当时，，
．
设抛物线的解析式为，将点的坐标代入得：，解得，
抛物线的解析式为．
．
，．
设点的坐标为则，．
当∽时，，即，解得，
点的坐标为
当∽时，，即，解得：．
点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
如图所示：过点作轴，过点作轴，交点为，过点作，取，作轴，垂足为，连结交抛物线与点．
，，
．
将代入抛物线的解析式得：，
点的坐标为．
，．
，，
．
在和中，，
≌．
，．
．
设的解析式为．
将点和点的坐标代入得：，解得，，
直线的解析式为．
将与联立，解得：或．
将代入得：．
点的坐标为．
【解析】先求得点的坐标，设抛物线的解析式为，将点的坐标代入求得的值，从而得到抛物线的解析式；
先求得抛物线的对称轴，然后求得，的长，设点的坐标为则，，然后依据相似三角形的性质列出关于的方程，然后可求得的值；
过点作轴，过点作轴，交点为，过点作，取，作轴，垂足为，连结交抛物线与点则为等腰直角三角形，然后再求得点的坐标，从而可得到，，然后证明≌，于是可得到点的坐标，然后求得的解析式为，最后求得直线与抛物线的交点坐标即可．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，相似三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质，通过作辅助线构造等腰直角三角形、全等三角形求得点的坐标是解题的关键．
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