2021-2022学年北京市海淀区师达中学九年级（下）开学数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年北京市海淀区师达中学九年级（下）开学数学试卷
副标题
题号 一 二 三 四 总分
得分
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
用科学记数法可表示为
A. B. C. D.
若分式有意义，则的取值范围是
A. B. C. D.
下列各式计算正确的是
A. B. C. D.
实数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是
A. B. C. D.
如图，直线，，于点，若，则的度数为
A.
B.
C.
D.
如图，线段是的直径，弦，，，那么的长等于
A.
B.
C.
D.
为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了甲、乙两类玩具，其中甲类玩具的进价比乙类玩具的进价每个多元，经调查：用元购进甲类玩具的数量与用元购进乙类玩具的数量相同．设甲类玩具的进价为元个，根据题意可列方程为
A. B. C. D.
中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”除了例以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形图，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形，图是等宽的勒洛三角形和圆．
下列说法中错误的是
A. 勒洛三角形是轴对称图形
B. 图中，点到上任意一点的距离都相等
C. 图中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形的中心的距离都相等
D. 图中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
分解因式：______．
如果，那么代数式的值是______．
若正多边形的一个内角等于，则这个正多边形的边数是______．
圆心角为，半径为的扇形的面积为______．
如图，在中，，分别为，的中点．若，则______．
如图，正方形，是上一点，，于，则的长为______．
如图，在中，平分，，点是的中点，连结，且，，则______．
网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶．据预测，年到年中国直接经济产出和间接经济产出的情况如图所示．
根据如图提供的信息，下列推断合理的是______．
年间接经济产出比直接经济产出多万亿元；
年到年，直接经济产出和间接经济产出都是逐年增长；
年直接经济产出约为年直接经济产出的倍；
年到年与年到年间接经济产出的增长率相同．
三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）
计算：
四、解答题（本大题共6小题，共45.0分）
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
当取最小整数时，求此时方程的解．
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，与双曲线的交点为，．
当点的横坐标为时，求的值；
若，结合函数图象，直接写出的取值范围．
如图，是的直径，与相切于点，且连接，过点作于点，交于点，连接．
求证：≌；
连接交于点，交于点若，求的长．
已知：二次函数：
把二次函数的表达式化成的形式，并写出顶点坐标；
已知二次函数的图象经过点．
求的值；
点在二次函数的图象上，点，关于对称轴对称，连接二次函数：的图象，与线段只有一个交点，求的取值范围．
如图，在中，，，为的中点，点在上，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，．
比较与的大小；用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：点为图形上一点，点为图形上一点，当点是线段的中点时，称点是图形，的“中立点”如果点，，那么“中立点”的坐标为
已知，点，，．
连接，在点，，中，可以成为点和线段的“中立点”的是______；
已知点，的半径为，如果直线存在点可以成为点和的“中立点”，求点的坐标；
以点为圆心，半径为作圆，点为直线上的一点，如果存在点，使得轴上的一点可以成为点与的“中立点”，直接写出点的横坐标的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．据此解答即可．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
2.【答案】
【解析】解：由题意得，，
解得．
故选：．
根据分母不等于列不等式求解即可．
本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：分式无意义分母为零；分式有意义分母不为零；分式值为零分子为零且分母不为零．
3.【答案】
【解析】解：、与不是同类项，不能合并，选项错误；
B、，选项正确；
C、，选项错误；
D、，选项错误；
故选：．
根据合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方法则计算，判断即可．
本题考查的是合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了实数与数轴以及绝对值，观察数轴，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
观察数轴，找出、、、四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，即可得出结论．
【解答】
解：、，，
，结论A错误；
B、，，
，结论B正确；
C、，，
，结论C错误；
D、，结论D错误．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
根据垂线的定义和三角形内角和定理可求的度数，根据等腰三角形的性质可求的度数，再根据平行线的性质即可求解．
本题主要考查了垂线的定义、三角形内角和定理、等腰三角形的性质和平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
6.【答案】
【解析】解：如图，连接，设交于．
，是直径，
，
，
，
，
，
，
故选：．
如图，连接，设交于首先证明，解直角三角形求出即可解决问题．
本题考查圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
7.【答案】
【解析】解：设甲类玩具的进价为元个，则乙类玩具的进价每个元，根据题意得：
，
故选：．
首先设甲类玩具的进价为元个，则乙类玩具的进价每个元，由题意得等量关系：用元购进甲类玩具的数量用元购进乙类玩具的数量，根据等量关系列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
8.【答案】
【解析】解：、勒洛三角形是轴对称图形，正确；
B、图中，点到上任意一点的距离都相等，正确；
C、图中，连接，连接并延长交于，
设等边三角形的边长为，
则，
，
，
勒洛三角形上任意一点到等边三角形的中心的距离不相等，故错误；
D、设等边三角形的边长为，
勒洛三角形的周长，圆的周长，
勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故正确．
故选：．
根据轴对称的性质，圆的性质，等边三角形的性质判断即可．
本题考查了平行线的距离，等边三角形的性质，轴对称的性质，正确的理解题意是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为：．
根据，可以求得所求式子的值，本题得以解决．
本题考查整式的混合运算化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
11.【答案】
【解析】解：解法一：设所求正边形边数为，
则，
解得；
解法二：设所求正边形边数为，
正边形的每个内角都等于，
正边形的每个外角都等于．
又因为多边形的外角和为，
即，
．
故答案为：．
多边形的内角和可以表示成，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成，列方程可求解．此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
12.【答案】
【解析】解：扇形的面积．
故答案为：．
直接根据扇形的面积公式计算．
本题考查了扇形面积计算：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则或其中为扇形的弧长．
13.【答案】
【解析】解：，分别为，的中点，
，，
∽，
，
，
，
，
故答案为．
利用三角形中位线定理以及相似三角形的性质解决问题即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
故答案为：．
根据正方形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：延长交于，
在和中，
，
≌
，，
，
，，
，
故答案为：．
延长交于，证明≌，根据全等三角形的性质得到，，求出，根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
16.【答案】
【解析】解：根据折线统计图，可知
年间接经济产出比直接经济产出多万亿元，故正确；
年到年，直接经济产出和间接经济产出都是逐年增长，故正确；
年直接经济产出约为年直接经济产出万亿元万亿元倍，故正确；
年到年间接经济产出的增长率：，年到年间接经济产出的增长率，故推断不合理．
故答案为：．
观察折线统计图并得到有用信息，并通过计算经济产出和直接经济产出得结论．
本题考查了折线统计图，熟练读懂折线统计图，利用数形结合的方法解答是解题思的关键．
17.【答案】解：原式．
【解析】本题考查了实数的运算，掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幂的定义、立方根的定义以及绝对值的性质是解题的关键．
根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的定义、立方根的定义以及绝对值的性质分别化简计算即可．
18.【答案】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
；
取最小整数，
，
原方程可化为，
，．
【解析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到，解不等式即可；
根据取最小整数，得到，列方程即可得到结论．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
19.【答案】解：点是双曲线上的点，且点的横坐标为，
点的坐标为．
点是直线上的点，
．
当时，满足，
结合函数图象可得，的取值范围是．
．
【解析】把代入求得纵坐标，然后根据待定系数法即可求得；
当时，满足，根据题意即可求得若，的取值范围．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，也考查了待定系数法求函数解析式．
20.【答案】证明：是的直径，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
在和中，
，
≌；
解：连接，如图，
，，
，
≌，
，，
在中，，
在中，，
，，
∽，
，
，
是的直径，
，即，
，，
，
．
【解析】由直径，得，再证明，最后全等三角形的判定定理得结论；
连接，求得的长度，由勾股定理求得、的长度，再由∽求得，再由勾股定理求得的长度，便可求得．
本题主要考查了圆的垂径定理，圆的切线性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，中等难度，出现直径往往构造直径所对的圆周角．
21.【答案】解：，
顶点为；
二次函数的图象经过点．
，
；
，对称轴为直线，
，
当时，
二次函数：的图象经过时，，解得，
二次函数：的图象经过时，，解得，
，
当时，二次函数：，
，
，
综上，二次函数：的图象，与线段只有一个交点，的取值范围是或．
【解析】化成顶点式即可求得；
把点代入二次函数：即可求得的值；
根据对称的性质得出的坐标，然后分两种情况讨论即可求得；
本题考查了二次函数和系数的关系，二次函数的最值问题，轴对称的性质等，分类讨论是解题的关键．
22.【答案】解：，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
为的中点，
，
；
如图，作交于，
由≌得：，
，
，
在和中，
，
≌，
，
由知：，
，
，
，
．
【解析】由可得，然后证≌即可；
作交于，可证≌得，再证，再借助，由平行线分线段成比例即可证出．
本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的对称性等知识，作构造出全等三角形是解题的关键．
23.【答案】解：、
如图中，点和的“中立点”在以为圆心，为半径的圆上运动，
因为点在直线上，设，
则有，
解得或，
点坐标为或．
如图中，由题意，当点确定时，点与的“中立点”是以的中点为圆心为半径的，
当与轴相切时，点的横坐标分别为或，
所以满足条件的点的横坐标的取值范围为．
【解析】
解：如图中，
观察图象可知，满足条件的点在的平行于的中位线上，
故成为点和线段的“中立点”的是、．
故答案为、．
见答案
【分析】根据“中立点”的定义，画出图形即可判断；
如图中，点和的“中立点”在以为圆心，为半径的圆上运动，因为点在直线上，设，则有，求出的值即可解决问题；
如图中，由题意，当点确定时，点与的“中立点”是以的中点为圆心为半径的，当与轴相切时，点的横坐标分别为或，由此即可解决问题；
本题考查一次函数综合题、圆的有关知识、三角形的中位线定理、“中立点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
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