广东省实验中学2012-2013学年高二上学期期末数学理试题

广东实验中学2012—2013学年（上）高二级模块考试
理科数学
本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页．满分为150分。考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷上，并用2B铅笔填涂学号．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
第一部分 基础检测(共100分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列说法正确的是（ ）
A．在平面内到一个定点的距离等于到定直线距离的点的轨迹是抛物线
B．在平面内到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆
C．在平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线
D．在平面内到一定点距离等于定长（不等于零）的点的轨迹是圆
2．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=3，则该双曲线方程为（ ）
A． B. C. D.
3．双曲线上的一点P到它一个焦点的距离为4，则点P到另一焦点的距离是（ ）
A．2 B.10 C.10或2 D.14
4．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交且过圆心 B. 相交但不过圆心 C. 相切 D. 相离
5．如右图所示的不等式的区域为（ ）
A． B．
C． D．
6．椭圆，点M在椭圆上，等于-2，则△F1MF2的面积等于（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．已知对称中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线为，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B. C. 或 D.
8．已知直线交抛物线于、两点，则△( )21世纪教育网
A．为直角三角形 B．为锐角三角形
C．为钝角三角形 D．前三种形状都有可能
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
9．抛物线x2= -y的焦点为________，准线是_________________.
10．过双曲线的右焦点，且倾斜角为45°的直线交双曲线于点A、B，则|AB|= ______.
11．过点（0,4）可作__________条直线与双曲线有且只有一个公共点.
12．已知F为抛物线y2 = 4x的焦点，过此抛物线上的点M作其准线的垂线，垂足为N，若以线段NF为直径的圆C恰好经过点M，则圆的标准方程是________________________.
13．如图，过椭圆C：的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若，则椭圆离心率的取值范围是____________. 21世纪教育网
三、解答题：本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．（本题满分12分）
求下列圆锥曲线的标准方程
（1）以双曲线的顶点为焦点，离心率e=的椭圆
（2）准线为，且a+c=5的双曲线
（3）焦点在y轴上，焦点到原点的距离为2的抛物线
15．（本题满分12分）
已知圆，圆，点P满足
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）过点Q（1,2）能否做直线AB与P的轨迹交于A、B两点，并且使Q是AB的中点？如果存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由。
16．（本题满分11分）
某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
第二部分 能力检测(共50分)
四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．
17．若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”。下列方程：①；②；③； ④对应的曲线中存在“自公切线”的有_____________.
18．如图，已知椭圆，O为原点，点M是椭圆右准线上的动点，以OM为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆交于P、Q两点，直线PQ与椭圆相交于A、B两点，则|AB|的取值范围是____________.
五、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（本题满分12分）
已知圆C：（x-1）2+(y+2)2=9,直线l：（m+1）x-y-2m-3=0(m∈R)
（1）求证：无论m取什么实数，直线恒与圆交于两点；
（2）求直线l被圆C所截得的弦长最小时的直线方程.
20．（本题满分13分）
A村在C村正北km处，B地在C村正西16km处，已知弧形公路PQ上任一点到B、C两点的距离之差为8km.
（1）如图，以BC中点O为原点，建立坐标系，求弧形公路PQ所在曲线的方程；
（2）现要在公路旁建造一个变电站M分别向A村、C村送电，但A村有一村办工厂用电需用专用线路，不得与民用混线用电，因此向A村要架两条线路分别给村民和工厂送电. 要使用电线最短，变电站M应建在A村的什么方位，并求出M到A村的距离.
21.（本题满分15分）
点P到x轴的距离比它到点（0,1）的距离小1，称点P的轨迹为曲线C，点M为直线l：
y=－m (m>0)上任意一点，过点M作曲线C的两条切线MA，MB，切点分别为A,B．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）当M的坐标为（0，－l）时，求过M， A，B三点的圆的标准方程，并判断直线l与此圆的位置关系；
（3）当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使MA ⊥MB?若存在，有几个这样的点，若不存在，请说明理由。21世纪教育网
高二理科数学参考答案
题号
1
2
3[来源:21世纪教育网]
4
5
6
7
8
答案
D
A21世纪教育网
B21世纪教育网
B
C
D
C
A
9．（0，），y= 10.4 11. 3 12. 13.
14. （12分）求下列圆锥曲线的标准方程
（1）以双曲线的顶点为焦点，离心率e=的椭圆
（2）准线为，且a+c=5的双曲线
（3）焦点在y轴上，焦点到原点的距离为2的抛物线
解：（1）（4分）椭圆焦点为（0，），∴c= …………………2
∵ ∴a=2 b2=2 …………………3
∴所求椭圆方程为 …………………421世纪教育网
（2）（4分） ∴解得a=2，c=3 ∴b2=5 …………2分[来源:21世纪教育网]
∴所求双曲线方程为 21世纪教育网……4分
（3）（4分）据题意，焦点坐标为（0，），∴p=4 …………2分21世纪教育网
∴所求抛物线方程为x2=8y .........4分（少一个扣1分）
15. （12分）已知圆，圆，点P满足
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）过点Q（1,2）能否做直线AB与P的轨迹交于A、B两点，并且使Q是AB的中点？如果存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由。
解：（1）（5分）设P（x,y），据题意，得，O1（-3,0），O2（3,0） .........1分
∵ ∴ .........3分
整理得 （） ........5分（没有范围扣1分）
（2）（7分）设A（x1，y1），B（x2，y2），若存在，则x1+x2=2，y1+y2=4 ........1分
∵点A、B在动点P的轨迹上 ∴ ...............2分
∴ ∴ .........4分
此时kAB=1 ∴AB：y=x+1 .........5分
整理得 此时△>0,
∴这样的直线存在，它的方程为y=x+1 .........7分（没有判断△，扣1分）
16.（11分）某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
解：设该公司分配在甲、乙两个电视台的广告时间分别为x分钟、y分钟，收益为z万元， ........1分
则 ........4分
目标函数z=0.3x+0.2y ........5分
可行域如图所示： ........7分
求得A（100,200） ........9分
当目标函数过A点时，z取得最大值，此时z=70
答：该公司分配给甲、乙两个电视台的广告时间分别为100分钟和200分钟时，公司收益最大，为70万元。 ........11分
17.②③ 18.
17.【解析】①x2﹣y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；
②=，在 x= 和 x=﹣ 处的切线都是y=﹣，故②有自公切线．
③=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合，故此函数有自公切线．
④由于，即 x2+2|x|+y2﹣3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．
19. （12分）已知圆C：（x-1）2+(y+2)2=9,直线l：（m+1）x-y-2m-3=0(m∈R)
（1）求证：无论m取什么实数，直线恒与圆交于两点。
（2）求直线l被圆C所截得的弦长最小时的直线方程。
解：（1）（5分）∵l：m(x-2)+(x-y-3)=0
∴直线l恒过的交点，即（2,-1） ...2分
将点（2,-1）代入圆C的方程得（2-1）2+（-1+2）2=2<9 ∴点（2,-1）在圆内 ....4分
∴ 无论m取什么值，直线恒与圆相交。 ........5分
（2）（7分）由垂径定理：，（a表示弦长，r表示半径，d表示圆心到直线的距离） 当d越大的时候，弦长a越小.
根据垂线段最短可知，当l⊥CA时，直线l被圆C所截得的弦长最小. ........3分
此时kCA=1，则kl=-1 ........5分
∴直线l的方程为 y=-（x-2）-1 即x+y-1=0 ........7分
20.（本题满分13分）A村在C村正北km处，B地在C村正西16km处，已知弧形公路PQ上任一点到B、C两点的距离之差为8km. （1）如图，以BC中点O为原点，建立坐标系，求弧形公路PQ所在曲线的方程；（2）现要在公路旁建造一个变电站M分别向A村、C村送电，但A村有一村办工厂用电需用专用线路，不得与民用混线用电，因此向A村要架两条线路分别给村民和工厂送电. 要使用电线最短，变电站M应建在A村的什么方位，并求出M到A村的距离.
20．解：（1）(6分)以线段BC所在直线为x轴，其垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.∵PQ上任一点到B、C两点的距离之差为8km
由双曲线定义，PQ所在曲线为双曲线的右支，
B、C为焦点，c=8, a=4
∴b2=c2-a2=64-16=48, ......4分
∴所求方程为：（x>0） .....6分（没有范围扣1分）
(2)（7分）依题意，即求2|MA|+|MC|的最小值. ........1分由第二定义（d为M到右准线的距离）∴|MC|=2d，过A作AN垂直于右准线于N， 设t=2|MA|+|MC|=2(|MA|+d)≥2|AN|.则当M为AN与双曲线交点时，t最小. .......3分∵A(8,)∴,代入双曲线方程，得， ........5分此时M在A的正西方向，|MA|=8-
∴应把电房建在A村正西方向距离A村8-km处使得电线最短. ........7分21世纪教育网
21.（本题满分15分）
点P到x轴的距离比点P到点（0,1）的距离小1，点P的轨迹为曲线C，点M为直线l：y=－m(m>0)上任意一点，过点M作曲线C的两条切线MA，MB，切点分别为A,B．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）当M的坐标为（0，－l）时，求过M，A，B三点的圆的标准方程，并判断直线l与此圆的位置关系；
(3)当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使MA ⊥MB?若存在，有几个这样的点，若不存在，请说明理由。
解：（1）（4分）∵点P到x轴的距离比点P到点（0,1）的距离小1
∴点P到直线y= -1的距离等于点P到点（0,1）的距离 ........1分
∴点P的轨迹是焦点在（0,1），准线为y= -1的抛物线 ........2分
∴点P的轨迹方程为：x2=4y ........4分
（2）（5分）当M的坐标为时，设过M点的切线方程为，........1分
代入，整理得，① ........2分
令，解得，代入方程①得，故得，...3分
因为M到AB的中点(0，1)的距离为2，21世纪教育网
∴过三点的圆的标准方程为．易知圆与直线l：y= -1相切. ..5分
（3）（6分）设M，过M的切线方程为：y=k（x-x0）-m ........1分
整理得 ........2分
∵直线与抛物线相切 ∴△=0
即 整理得 ........4分
若MA⊥MB，则 ........5分
即时，直线上任意一点M均有MA⊥MB；m≠1时，MA与MB不垂直.
综上所述，当m?=1时，直线上存在无穷多个点M，使MA⊥MB，当m≠1时，直线l
上不存在满足条件的点M ........6分
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