广东省汕头市金山中学2012-2013学年高二上学期期末数学文试题

金山中学2012-2013年度第一学期期末考试
高二文科数学 试题卷
一、选择题（以下题目从4项答案中选出一项，每小题5分，共50分）
1．如图所示正方体的棱长为1 ，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2． “”是“”的（ ）条件
A．充分而不必要 B．必要而不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
3．命题“存在R，0”的否定是(　　) 21世纪教育网
A．不存在R, >0 B．存在R, 0
C．对任意的R, 0 D．对任意的R, >0
4．如果直线与直线互相垂直，那么的值等于(　　)
A． B． C． D．
5．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
6．曲线在点处的切线方程是（ ）
A．　 B． 　 C．　 D．
7. 设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，该锥体的俯视图不可能是（ ）
A． B． C． D．
9．若椭圆的短轴为,一个焦点为,且为等边三角形的椭圆的离心率是(　　)
A. B. C. D.
10．若函数满足且时，，
函数，则函数在区间内的零点的
个数为(　　)
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
11．若一个球的半径为，则它的体积为 ．
12．若函数在处取极值，则 ．
13．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为 　　 ．
14．一个半径为的球放在桌面上，桌面上的一点的正上方有一个光源，与球相切，=8，球在桌面上的投影是一个椭圆，则这个椭圆的离心率等于 ．
三、解答题（共80 分）
15．（本小题满分12分）已知，，是中满足的条件, 是中满足的条件.
（1）求
（2）若是的必要条件，求实数的取值范围.
21世纪教育网
16．（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，且经过定点
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线交椭圆于两点，求线段的长．.
17．（本小题满分14分）如图，已知矩形中，，，将矩形沿对角线把△折起，使移到点，且在平面上的射影恰好在上．
（1）求证：；
（2）求证：平面平面；
（3）求三棱锥的体积．
18．（本小题满分14分）已知为实数，
（1）若，求在上最大值和最小值；
（2）若在和上都是递增的，求的取值范围。
19．（本小题满分14分）
已知数列的前项和，函数对有，数列满足.
（1）分别求数列、的通项公式；
（2）若数列满足，是数列的前项和，若存在正实数，使不等式对于一切的恒成立，求的取值范围．
20．（本小题满分14分）已知抛物线,焦点为,一直线与抛物线交于两点,且,
（1）求的中点的横坐标
（2）若的垂直平分线恒过定点求抛物线的方程;
（3）求在条件（2）下面积的最大值.
高二文科数学参考答案
选择题答案栏（50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
C
C
D
C
C
B
D
二、填空题（20分）
11． 12． 13． 14.
三、解答题（共80 分）
15．（本小题满分12分）
解：（1）
…………………………………………………………………2分
中满足的条件是………21世纪教育网
………………4分
（2）若是的必要条件等价于…………………………………………6分
………………8分
由数轴可知满足……………………………………………………11分
解得：……………………………………………………………12分
16．（本小题满分12分）
（1）（1）由椭圆定义得，
即，………… 2分
∴，又， ∴. ……21世纪教育网
… 4分
故椭圆的方程为 ……………………5分
（2）联立方程组,
消去y得,且 …………8 分
设A()，B()，，， …………10 分
所以． …………12 分
17．（本小题满分14分）
证明：（1）连接A1O，
∵A1在平面BCD上的射影O在CD上，
∴A1O⊥平面BCD， …………………2分
又BC?平面BCD ∴BC⊥A1O ………3分
又BC⊥CO，A1O∩CO=O，
∴BC⊥平面A1CD ………5分
又A1D?平面A1CD，∴BC⊥A1D ………6分
（2）∵ABCD为矩形，∴A1D⊥A1B ………7分
由（1）知A1D⊥BC，A1B∩BC=B ∴A1D⊥平面A1BC，………9分
又A1D?平面A1BD ∴平面A1BC⊥平面A1BD ………10分
（3）由（1）BC⊥平面A1CD 知
BC是三棱锥B-A1CD的高 ，BC=6 ………11分
∵A1D⊥平面A1BC，
∴A1D⊥A1C．
∵A1D=6，CD=10，∴A1C=8，………12分
∴………14分
故所求三棱锥A1-BCD的体积为48．
18．（本小题满分14分）
解：（1），由得……3分
此时 …… 4分
令得 ……5分
当变化时，的变化情况如下表：21世纪教育网
＋
0
－
0
＋
0
↗
极大值
↘
极小值
↗
0
…… 8分
（2）的图象为开口向上且过点的抛物线。…… 9分
在和上都是递增的，
当或时，恒成立， ……11分
则
故的取值范围为 ……14分
19．（本小题满分14分）
解：（1） …………………………… 1分

时满足上式，故 ……………………………2分
∵=1∴ ……………………………3分
∵ ①
∴ ②
∴①+②，得 …………………………… 5分
（2）∵，∴ ………………………………6分
∴， ①
， ②
①－②得 …………………………8分
即 ………………………… 9分
要使得不等式恒成立，
恒成立对于一切的恒成立，
即 ……………………………… 11分
令，则
当且仅当时等号成立，故 ……………………………… 13分
所以为所求. ………………………… 14分
20．（本小题满分14分）
解:（1）设, AB中点
由得 ………… 2分
（2）又 得 ………… 4分
所以 依题意, …………6分
抛物线方程为 ----7分
（2）由及, ………8分21世纪教育网
令得
又由和得: ………9分
………11分
………14分

或用求导讨论单调性得最大值. 21世纪教育网