汕头市金山中学2012~2013学年度第一学期期末考试
高二理科数学试题
第I卷(选择题 共40分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.集合,,若,则实数的值为( )
A.或 B. C.或 D.
2.抛物线的焦点坐标与准线方程( )
A.焦点:, 准线: B.焦点:, 准线:
C.焦点:, 准线: D.焦点:, 准线:
3.已知双曲线的渐近线经过二、四象,直线过点且垂直于直线,
则直线方程为( )
A. B. C. D.
4.已知函数其中()则“”是“是奇函数”的( )
A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
5.已知圆及直线当直线被圆截得的弦长为,则( )
A. B. C. D.
6.下列函数中,在其定义域内既是减函数又是奇函数为( )
A. B. C. D.
7.如图,函数的图象是中心在原点,焦点在轴上的椭圆的两段弧,则不等式的解集为 ( )21世纪教育网
A.
B.
C.
D.
8.如图在长方形ABCD中,AB=,BC=1,E为线段DC上一动点,现将AED沿AE折起,使点D在面ABC上的射影K在直线AE上,当E从D运动到C,则K所形成轨迹的长度为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在相应答题卡中横线上
9.函数的定义域为 .
10.在ABC中,已知,,则 .
11.已知是实数,原命题:“若,则”. 写出它的
否命题是: .
12.已知直线过点, 且直线与曲线交于两点. 若点恰好是的中点,
则直线的方程是: .
13.某旅游公司有甲、乙、丙三种特色产品,其数量分别为(单位:件),且成等差数列。
现采用分层抽样的方法从中抽取30件,其中已知抽到甲产品的概率为,则抽到丙产品的
件数为 .
14.椭圆的两焦点是,则其焦距长为 ,若点是椭圆上一点,且 是直角三角形,则的大小是 .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共80分)
15.(本小题满分12分)已知函数
1)求函数的最小正周期; 2)求函数在区间上的对称轴方程与零点.
16.(本小题满分12分)已知函数的图象与轴分别相交于点, 21世纪教育网
(分别是与轴正半轴同方向的单位向量),函数.
(1)求的值;
(2)当满足时,求函数的最小值.
17. .(本小题满分14分)如图,在三棱柱中,侧面,
已知,,为的中点.
1)证明:平面
2)求二面角的大小.
18. .(本小题满分14分)已知等差数列的前项和为,前项和为.
1)求数列的通项公式;
2)设, 求数列的前项和.
19. .(本小题满分14分)设椭圆与抛物线的焦点均在轴上,的中心和的顶点均为原点,从每条曲线上至少取两个点,将其坐标记录于下表中:
1)求,的标准方程, 并分别求出它们的离心率;
2)设直线与椭圆交于不同的两点,且(其中坐标原点),请问是否存在这样的直线过抛物线的焦点若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
20. .(本小题满分14分)已知
1)若,求方程的解;21世纪教育网
2)若对在上有两个零点,求的取值范围.
汕头市金山中学2012-2013学年第一学期期末考
高二理科数学试卷答案 2013年1月
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
A
D
B
C
B
C
A
D
二、填空题
9. ?10. 11. 若或,则 。
12. 13. 14. ,
15.解:1)由
21世纪教育网
2)
求对称轴,使即,得
求零点, 使或
或 21世纪教育网
所求的对称轴方程是 , 零点是或
16. [解](1)由已知得A(,0),B(0,b),则={,b},于是=2,b=2. ∴k=1,b=2.
(2)由f(x)> g(x),得x+2>x2-x-6,即(x+2)(x-4)<0, 得-2 ==x+2+-5
由于x+2>0,则≥-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立
∴的最小值是-3. 21世纪教育网
18.
解:(1)设{an}的公差为d ,由已知得
解得a1=3,d=-1
故an=3-(n-1)(-1)=4-n…………………………………………6分
(2)由(1)的解答得,bn=n·qn-1,于是
Sn=1·q0+2·q1+3·q2+……+(n-1)·qn-1+n·qn.
若q≠1,将上式两边同乘以q,得
qSn=1·q1+2·q2+3·q3+……+(n-1)·qn+n·qn+1.
将上面两式相减得到
(q-1)Sn=nqn-(1+q+q2+……+qn-1)
=nqn-
于是Sn=
若q=1,则Sn=1+2+3+……+n=
所以,Sn=……………………………………14分
19. 解:(1)∵焦点在x轴上,且椭圆与抛物线的中心与顶点在原点,又过点,
故点在椭圆上,点在抛物线上
,
∴点在上,
设
把点代入得,
由抛物线知
(2)由得
若l与x轴垂直,则l:x=1
由
设不满足
若存在直线l不与x轴垂直,可设为
设
由
所求的直线为
20.
20.(Ⅰ)解:(1)当k=2时,
① 当时,≥1或≤-1时,方程化为2
解得,因为,舍去,所以.
②当时,-1<<1时,方程化为,解得,
由①②得当k=2时,方程的解所以或.
(II)解:不妨设0<x1<x2<2,
因为
所以在(0,1]是单调函数,故=0在(0,1]上至多一个解,
若1<x1<x2<2,则x1x2=-<0,故不符题意,因此0<x1≤1<x2<2.
由得, 所以;
由得, 所以;
故当时,方程在(0,2)上有两个解.