(共26张PPT)
第五章 相交线与平行线
5.1 相交线
5.1.2垂线
人教版数学七年级下册 同步课件
活动1
观察：
两条直线相交形成4个角，若固定木条a，旋转木条b，当b的位置发生变化时，a、b所成的角也会随之变化，其中有一个特殊的位置： ＝90°.
新课导入
在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b，
当α=90°时，我们说a与b
互相垂直.
当b的位置变化时，a，b所成的角α也会发生变化.
两条直线相交
斜交
垂直
垂直是相交的特殊情况
观察思考
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
探究新知
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角(90度)时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
例如、如图，a、b互相垂直，O叫垂足.a叫b的垂线，b也叫a的垂线.
b
a
O
一、垂直的定义
从垂直的定义可知，
判断两条直线互相垂直的关键：
只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角.
归纳小结
b
a
用“⊥”和直线字母表示垂直
O
α
2.垂直的表示：
例如、如图，a、b互相垂直， 垂足为O，则记为：
a⊥b或b⊥a，
若要强调垂足，则记为：a⊥b垂，足为O.
归纳小结
F
E
M
N
O
记作：MN⊥EF ，垂足为O.
或者MN⊥EF于点O
A
B
O
E
记作：AB⊥OE，垂足为O.
或者AB⊥OE于点O
归纳小结
A
B
C
D
O
书写形式：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O.
因为∠AOD=90°（已知），
所以AB⊥CD（垂直的定义）.
书写形式：
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°.
3.垂直的书写形式：
因为AB⊥CD （已知），
所以∠AOD=90°（垂直的定义）.
应用垂直的定义：
∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°.
探究新知
垂直的定义的应用格式
因为∠AOC=90°（已知），
所以AB⊥CD（垂直的定义）.．
如果直线AB、CD 相交于点O，∠AOC=90°（或三个角中的一个角等于90°），那么 AB⊥CD.
这个推理过程可以写成：
因为AB⊥CD（已知），
所以∠AOC＝90°（垂直的定义）．
如果AB⊥CD，那么所得的四个角中，必有一个是直角.这个推理过程可以写成：
探究新知
日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，说出图5.1-6中的一些互相垂直的线条.
你能再举出其他例子吗？
探究新知
方格本的横线和竖线
铅垂线和水平线
探究新知
二、垂线的画法
问题：
怎么样画垂线？
探究新知
1.垂线的画法：
l
A
如图，已知直线 l 和l上的一点A ，作l的垂线.
B
4画线：沿着三角板的另一直角边画出垂线.
1放：放直尺，直尺的一边要与已知直线重合；
3移：移动三角板到已知点；
2靠：靠三角板，把三角板的一直角边靠在直尺上；
则所画直线AB是过点A的直线l的垂线.
探究新知
探究：
结论：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
(1)画已知直线l的垂线能画几条？
(2)过直线l上的一点A画l的垂线，这样的垂线能画几条？
(3)过直线l外的一点B画l的垂线，这样的垂线能画几条？
探究新知
结论：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
能作一条，而且只能作一条.
问题：过已知直线 l 和l上(或外)的一点A ，作l的垂线，可以作几条？
注意：
过一点画已知线段(或射线)的垂线，就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
探究新知
E
E
E
注意：画线段（或射线）的垂线时，有时要将线段延长（或将射线反向延长）后再画垂线.
探究新知
问题
（1）如图，在灌溉时需要把河AB中的水引到C处， 如何挖渠能使渠道最短？
（2）从上述探究过程中你能发现什么结论？
结论：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短.
即，垂线段最短.
三、垂线段最短
探究新知
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
垂线段最短
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
P
A
B
C
m
D
垂线段的长度
简单说成：垂线段最短.
探究新知
垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点，另一端是垂足.
A
B
P
D
特别强调：
探究新知
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
P
l
A
例如：如图，PA⊥l于点A，垂线段PA的长度叫做点P到直线l的距离.
例：如图，是一个同学跳远的位置跳远成绩怎么表示？
l
P
A
解：过P点作PA⊥l于点A ，垂线段PA的长度就是该同学的跳远成绩.
点到直线的距离：
探究新知
如图：在铁路旁边有一张庄，现在要建一火车站，为了使张庄人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路上选一点来建火车站，并说明理由.
张庄
拓展应用1
∟
垂线段最短
N
拓展提升
拓 展 应 用2
如图：要把水渠中的水引到水池C中，在渠岸的什么地方开沟，水沟的长度才能最短？
请画出图来，并说明理由.
C
∟
垂线段最短
N
立定跳远中，体育老师是如何测量运动员的成绩的？
体育老师实际上测量的是点到直线的距离
起跳线
落脚点
小常识
A
B
C
D
E
F
G
M
·
·
问题1：长方体的顶点A处有一只蚂蚁想爬到点C处，请你帮它画出爬行的最佳路线.并说明理由.
问题2：若A处的蚂蚁想爬到棱BC上，你认为它的最佳路线是什么？
问题3：若蚂蚁在点M处，想爬到棱BC上，请你设计一条最佳路线.
N
你会设计吗？
1、垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
2、垂线的画法
一、放；二、靠；三、移；四、画.
3、垂线的性质
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
4、垂线段最短
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
5、点到直线的距离
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
课堂小结
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php5. 1. 2 垂线
第1课时 垂线
教学目标
知识与技能
1．了解垂直的概念，能说出垂线的性质“经过一点，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线”．
2．会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线．
教学重点
两条直线互相垂直的概念、性质和画法．
教学难点
两条直线互相垂直的性质和画法．
教学过程
情景导入
老师引导学生进行有关的思考：
教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边，方格纸的横线和竖线……这些给大家留下什么印象？在小组内进行讨论．
二、新课教授
教师出示相交线的模型，演示模型，并能引导学生观察思考有关的问题：
固定木条a，转动木条b，当b的位置变化时，a、b所成的角α是如何变化的？其中会有特殊情况出现吗？当这种情况出现时，a、b所成的四个角有什么特殊关系？
教师再组织学生交流，并能引导学生明白：
当b的位置变化时，从锐角变为钝角，其中是直角是特殊情况．
教师补充其特殊之处还在于：
当是直角时，它的邻补角、对顶角都是直角，即a、b所成的四个角都是直角．
教师引导学生总结并给出垂直的定义及垂直的表示方法：
垂直用符号“⊥”来表示，结合课本图5.1－5说明“直线AB垂直于直线CD，垂足为O”，则记为AB⊥CD，垂足为O，并在图中任意一个角处作上直角记号，如图：
教师引导学生分清“互相垂直”与“垂线”的区别与联系：
“互相垂直”是指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名．如果说两条直线“互相垂直”时，其中一条必定是另一条的“垂线”；如果一条直线是另一条直线的“垂线”，则它们必定“互相垂直”．
画图实践，探究垂线的性质：
教师引导学生用三角尺或量角器画已知直线l的垂线．
已知直线l(教师在黑板上画一条直线l)，画出直线l的垂线．
找学生上黑板画出直线l的垂线．
教师追问学生：还能画出直线l的垂线吗？能画几条？
通过师生交流，学生明确直线l的垂线有无数条，即存在，但有不确定性．
师：怎样才能确定直线l的垂线位置？
生：在直线l上方取一点A，过点A画直线l的垂线．(动手画出图形)
教师板书学生的结论：
经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
教师让学生通过画图操作将所得的两个结论合并成一个，并板书.：
垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
三、理解新知
1．过点P画射线AM的垂线，Q为垂足．
2．过点P画射线BN的垂线，交射线BN的反向延长线于Q点．
3．过点P画线段AB的垂线，交线段AB的延长线于Q点．
学生画完图后，教师归纳：画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线．
四、巩固练习
判断以下两条直线是否互相垂直：
两条直线相交所成的四个角中有一个是直角；
两条直线相交所成的四个角相等；
两条直线相交，有一组邻补角相等；
两条直线相交，对顶角互补．
【答案】
上述说法中的两条直线均互相垂直．
五、课堂小结
本节课学习了互相垂直、垂线等概念，还学习了过一点画已知直线的垂线的画法，并得出垂线的一个性质，你能说出相关的内容吗？
教学反思
通过本节课的学习，大部分学生能积极主动地参与到学习活动中来，并能积极主动地提出各种方法解决问题，达到了基本的教学效果，但是由于对新概念的理解不是很深刻，所以在应用方面存在不足，针对这一情况，教师应选择典型的例题，详细讲解，指导学生探求解题的思路和方法，加深对概念的理解，做到熟练的应用．
第2课时 垂线段
教学目标
知识与技能
1．了解垂线段的概念，垂线段最短的性质，体会点到直线的距离的意义．
2．学会度量点到直线的距离．
教学重点
垂线段最短的性质，点到直线的距离的概念及其简单应用．
教学难点
对点到直线的距离的概念的理解．
教学过程
一、情景导入
教师展示课本图5.1－8，提出问题：要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？
学生看图、思考．
教师以问题的形式，启发学生思考．
问题1：上学期我们曾经学过什么最短的知识，还记得吗？
学生说出：两点之间，线段最短．
问题2：如果把渠道看成是线段，它的一个端点自然是P，那么另一个端点的位置呢？把江河看成直线l，那么原问题就是怎么连线的数学问题．
二、新课教授
学生能在教师的引导下用数学眼光思考：
在连接直线l外一点P与直线l上各点的线段中，哪一条最短？
教师演示教具，给学生直观的感受．
如图：在硬纸板上固定木条l，l外有一点P，转动的木条a一端固定在点P.
使木条l与a相交，左右摆动木条a，l与a的交点A随之变化，线段PA的长度也随之变化．PA最短时，a与l的位置关系如何？用三角尺检验．
教师引导学生画图操作：
学生看图总结，得出结论：
(1)画出直线l及l外的一点P；
(2)过P点作P⊥l，垂足为；
(3)点A1、A2、A3……在l上，连接PA1、PA2、PA3……
(4)用叠合法或度量法比较P、PA1、PA2、PA3……的长短．
教师请同学们与组内的同学进行充分的配合，讨论相应的结论，并选派代表发言．
教师引导学生交流，得出垂线的另一个性质．
教师板书：
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
简单说成：垂线段最短．
三、理解新知
关于垂线段，教师引导学生思考：
(1)垂线段与垂线的区别与联系；
(2)垂线段与线段的区别与联系．
结合课本图形(图5.1－9)，深入认识垂线段P: P⊥l，∠PA1＝90°，为垂足，垂线段P与其他线段PA1、PA2……相比，长度是最短的．
教师根据两点间的距离的意义给出点到直线的距离命名．
教师板书：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
教师强调，在图5.1－9中，P的长度是点P到直线l的距离，PA1、PA2……的长度都不是点P到直线l的距离．
四、巩固练习
判断下列说法是否正确，如果正确，请说明理由；如果错误，请订正．
(1)直线外一点与直线上一点间的线段的长度是这一点到这条直线的距离；
(2)如图，线段AE的长是点A到直线BC的距离；
(3)如图，线段CD是点C到直线AB的距离．
【答案】
(1)错误，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；
(2)正确；
(3)错误，线段CD的长是点D到直线BC的距离．
五、课堂小结
本节课学习了哪些新的知识，对于垂线段的理解有没有什么收获？是不是学会了如何作出垂线段？你还有哪些没有解决的问题呢？
教学反思
大部分学生经历观察、操作、想象、归纳、交流等活动，进一步发展空间观念，培养用几何语言准确表达的能力并且了解垂线段的概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线的距离的意义，但是度量点到直线的距离的方法掌握得还不够好．
