高中数学人教A版（2019）必修第二册 10.1随机事件与概率 教案 （word版）

10.1 随机事件与概率
1、我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，用表示样本空间，用表示样本点。
2、将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，...表示。在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生。作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件。而空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件。
3、事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作
4、事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作
5、如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件A与事件B互斥（或互不相容）
6、如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么称事件A与事件B互为对立。事件A的对立事件记为
7、总结：
8、古典概型
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2）各基本事件的出现是等可能的，即它们发生的概率相同．
我们把具有这两个特征的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
注意：在“等可能性”概念的基础上，很多实际问题符合或近似符合这两个条件，可以作为古典概型来看待．
（3）P(A)＝.
例如：掷一骰子正面向上点数是3的倍数的概率是．
题型一 事件
例 1　（多选）下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．年月日，北京市不下雨
B．在标准大气压下，水在时结冰
C．从标有，，，的张号签中任取一张，恰为号签
D．若，则
【答案】AC
【分析】
根据事件的概念进行判断，在某次实验中可能发生也可能不发生的事件成为随机事件．
【详解】
A选项与C选项为随机事件，B为不可能事件，D为必然事件．
故选：AC．
给出下列四个命题：
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x为某一实数时，可使x2≤0”是不可能事件；③“明天天津市要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”是随机事件．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】C
【分析】
利用必然事件的概念可以判断①是正确的命题，③是偶然事件，利用不可能事件的概念判断②正确，利用随机事件的概念判断④正确.
【详解】
对于①，三个球全部放入两个盒子，有两种情况：1+2和3+0，故必有一个盒子有一个以上的球，所以该事件是必然事件，①正确；
对于②，x=0时x2=0，所以该事件不是不可能事件，②错误；
对于③，“明天天津市要下雨”是偶然事件，所以该事件是随机事件，③错误；
对于④，“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”，发生与否是随机的，所以该事件是随机事件，④正确．故正确命题有2个.
故选：C．
题型二 样本空间
例 2　笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出.记录剩下动物的脚数.则该试验的样本空间___________.
【答案】
【分析】
由取动物的次数来确定样本点。
【详解】
解析：最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余鸡的只数最多4只，最少0只，所以剩余动物的脚数可能是8，6，4，2，0.
故答案为：
在掷骰子的试验中，记一枚骰子向上的点数为样本点，则样本空间，的子集可以确定一系列随机事件.
问题
（1）此随机试验中的基本事件有哪些？
（2）设事件出现的点数大于3}，如何用基本事件表示事件D？
（3）设事件出现的点数大于3}，事件出现的点数小于5}，如何用基本事件表示事件？
【答案】（1）见解析；
（2）;
（3）.
【分析】
（1）基本事件就是向上的点数，用大括号括起来可得；
（2）点数为4,5,6和事件组成，可用（1）中的相加；
（3）既大于3又小于5的点数只有4，由此可知．
【详解】
（1）基本事件有，，，，，，共6个.
（2）事件D可由基本事件的和表示，即.
（3）.
题型三 互斥事件与对立事件
例 3　(多选)从装有大小和形状完全相同的5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么下列各对事件中,互斥而不对立的是（ ）
A．至少有1个红球与都是红球 B．至少有1个红球与至少有1个白球
C．恰有1个红球与恰有2个红球 D．至多有1个红球与恰有2个红球
【答案】CD
【分析】
根据互斥不对立事件的定义辨析即可.
【详解】
根据互斥事件与对立事件的定义判断.
A中两事件不是互斥事件,事件“3个球都是红球”是两事件的交事件;
B中两事件能同时发生,如“恰有1个红球和2个白球”,故不是互斥事件;
C中两事件是互斥而不对立事件;至多有1个红球,即有0个或1个红球,与恰有2个红球互斥,除此还有3个都是红球的情况,因此它们不对立,
D符合题意.
故选：CD
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（ ）
A．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”
B．恰好有1名男生”与“恰好2名女生”
C．“至少1名男生”与“全是男生”
D．“至少1名男生”与“全是女生”
【答案】D
【解析】
从3名男生和2名女生中任选2名学生参加演讲比赛，
“至少1名男生”与“至少有1名是女生”不互斥；
“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”是互斥不对立事件；
“至少1名男生”与“全是男生”不互斥；
“至少1名男生”与“全是女生”是对立事件；
故选D
题型四 古典概型
例 4　某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.
（1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？
（2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少？
【答案】（1）； （2）.
【分析】
（1）利用互斥事件有一个发生的概率加法公式求得结果；
（2）利用对立事件的概率公式进行求解即可得结果.
【详解】
（1）设事件“电话响第声时被接”为，
那么事件彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件，
根据互斥事件概率加法公式，
得
.
（2）事件“打进的电话响4声而不被接”是事件“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为.
根据对立事件的概率公式，得.
在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A+发生的概率为________（表示的对立事件）．
【答案】
【分析】
由题意知试验发生包含的所有事件是6，事件和事件是互斥事件，求出事件和事件包含的基本事件数，根据互斥事件和古典概型概率公式得到结果．
【详解】
随机抛掷一颗骰子一次共有6中不同的结果，
其中事件 “出现不大于4的偶数点”包括2，4两种结果，
，
事件 “出现小于5的点数”的对立事件，
，，
且事件和事件是互斥事件，
．
故答案为：
1、（多选）在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，下列事件中，概率为0.7的事件是（ ）
A．恰有一件一等品 B．至少有一件一等品
C．至多有一件一等品 D．至少有一件二等品
【答案】CD
【分析】
根据已知条件依次计算选项中事件的概率，即得结果.
【详解】
将3件一等品编号为1，2，3，2件二等品编号为4，5，从中任取2件有10种取法:(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，样本空间共包含10个样本点.
A选项中，恰有1件一等品的取法有(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，恰有1件一等品的概率为P1=0.6；
B选项中，恰有2件一等品的取法有(1，2)，(1，3)，(2，3)，故恰有2件一等品的概率为P2=0.3；其对立事件是“至多有一件一等品”，即选项C，概率为P3=1-P2=0.7，满足题意；
D选项中，至少有一件二等品的取法(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，故至少有一件二等品的概率为P4=0.7，符合题意.
故选：CD.
2、（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件
B．若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件
C．若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件
D．若事件A与B互为对立事件，则事件A∪B为必然事件
【答案】BD
【分析】
根据互斥事件和对立事件的概念和性质，逐个分析判断即可得解.
【详解】
对A，一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，
则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故A错；
对B，对立事件首先是互斥事件，故B正确；
对C，互斥事件不一定是对立事件，如A中两个事件，故C错；
对D，事件A，B为对立事件，则一次试验中A，B一定有一个要发生，故D正确．
故选：BD.
3、抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件，“向上的点数是2或3”为事件，则（ ）
A．
B．
C．表示向上的点数是1或2或3
D．表示向上的点数是1或2或3
【答案】C
【分析】
根据题意，可得，求得，即可求解．
【详解】
由题意，可知，
则，∴表示向上的点数为1或2或3．
故选：C.
4、下列事件中，随机事件的个数为(　　)
①在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；
②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④在标准大气压下，水在4°C时结冰．
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【分析】
由随机事件的定义判断事件是否即有可能发生也有可能不发生即可.
【详解】
①张涛获得冠军有可能发生也有可能不发生，所以为随机事件；
②抽到的学生有可能是李凯，也有可能不是，所以为随机事件；
③有可能抽到1号签也有可能抽不到，所以为随机事件；
④标准大气压下，水在4°C时不会结冰，所以是不可能事件，不是随机事件.
故选C.
5、若,,,则事件A与B的关系是( )
A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B相互斥又独立
【答案】C
【分析】
先求得，然后通过计算得到，从而判断出事件相互独立.
【详解】
，.∴事件A与B相互独立，不是互斥、对立事件.
故选：C
6、某人练习射击，他脱靶的概率为0.20，命中6环、7环、8环、9环、10环的概率依次为0.10，0.20，0.30，0.15，0.05，则该人射击命中的概率为（ ）
A．0.50 B．0.60 C．0.70 D．0.80
【答案】D
【分析】
某人射击命中的对立事件是脱靶，根据对立事件概率，即可求解,
【详解】
∵某人练习射击，他脱靶的概率为0.20，
∴该人射击命中的概率.
故选:D.
7、抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由古典概型概率公式分别计算出事件A和事件B发生的概率，又通过列举可得事件A和事件B为互斥事件，进而得出事件A或事件B至少有一个发生的概率即为事件A和事件B的概率之和．
【详解】
事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，
∴P(A)，P(B)，
又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，
所以事件A和事件B为互斥事件，
则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为
P（A∪B）＝P(A)+P(B)，
故选：A．
8、从一批羽毛球中任取一个，其质量小于的概率为0.3，质量大于的概率为0.32，那么质量在（单位：）范围内的概率是( )
A．0.62 B．0.38 C．0.02 D．0.68
【答案】B
【分析】
根据互斥事件对立事件概率加法公式，即可求解.
【详解】
记“质量小于”为事件，“质量大于”为事件，“质量在（单位：）范围内”为事件，
所以.
故选：
9、已知随机事件和互斥，且,.则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据互斥事件的概率公式可求得，利用对立事件概率公式求得结果.
【详解】
与互斥
本题正确选项：
10、将一枚骰子抛掷两次.
（1）写出试验的样本空间；
（2）用集合表示事件“向上的点数之和大于8”.
【答案】（1）.
（2）
【解析】
【分析】
（1）方法一：用表示先后抛掷的点数，并列举所有的实验结果，方法二：（树状图法）画图表示；
（2）分别通过上述两种方法找到满足条件的基本事件.
【详解】
方法一（列举法）：
（1）用表示试验的结果，其中表示第1次抛掷后向上的点数，表示第2次抛掷后向上的点数，则样本空间
.
（2）.
方法二（树状图法）：
把一枚骰子抛掷两次的所有可能结果用树状图表示，如图所示：
（1）由图，知样本空间
.
（2）事件包含10个样本点（已用“√”标记出），
故.