4.1数列的概念课件——2021－2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册(共23张PPT)
文档属性
| 名称 | 4.1数列的概念课件——2021－2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册(共23张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 677.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-11 10:01:04 | ||
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文档简介
(共23张PPT)
4.1 数列的概念
在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象.例如:
1. 王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据(单位: cm)依次排成一列数:
75, 87, 96, 103, 110, 116, 120, 128, 138, 145, 153, 158, 160, 162, 163, 165, 168 ①
这一列数是身高按岁数从1到17的顺序排列得到的，它们之间不能交换位置.
所以，①是具有确定顺序的一列数.
2. 在两河流域发掘的一块泥版上， 有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数:
5, 10, 20, 40, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224, 240 ②
这一列数按日期从1到15的顺序排列得到的，同样它们之间也不能交换位置.
所以，②也是具有确定顺序的一列数.
这时我们就把具有确定顺序的一列数称为数列.
一、数列的概念：
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示······第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示，其中第1项也叫做首项.
数列的一般形式是
a1，a2，a3，…，an，…. (n∈N*)
简记作{an} .
思考 {an} 与an的意思一样吗？
{an}表示一个数列：a1，a2，a3，…，an，…. ；
an表示数列{an}中的第n项.
由于数列{an}中的每一项an与它的序号n有下面的对应关系:
序号 1 2 3 ··· n ···
项 a1 a2 a3 ··· an ···
所以数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1, 2, ··· , n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an ，记为an = f(n). 也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f(1)， f(2) , ··· , f(n), ··· 就是数列{an}. 另一方面，对于函数y=f(x)，如果f(n) (n∈N*)有意义，那么f(1)， f(2) , ··· , f(n), ···构成了一个数列{f(n)}.
以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化.的，而数列是自变量为离散的数的函数.
与函数类似，我们可以定义数列的单调性：
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列. 特别地，各项都相等的数列叫做常数列.
二、数列的分类：
1. 以项数来分类：
(1) 有穷数列：
(2) 无穷数列：
2. 以各项的大小关系来分类：
(1) 递增数列：
(2) 递减数列：
(3) 常 数 列：
(4) 摆动数列：
各项都相等的数列；
从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
项数有限的数列；
项数无限的数列.
对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0).
对任意n∈N*，总有an+1从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列.
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列.
1．下列说法中，正确的是( )
A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}
B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列
C．数列的项可以相等
D．数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列
C
C
练习：
三、数列的通项公式：
如果数列{an}的第n项an与序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，简称通项.
注意：①通项公式的主要作用是“知序号可求项”如：数列{n2}的第11项是121.
②一些数列的通项公式不是唯一的；如：数列1，-1，1，-1，…
③不是每一个数列都能写出它的通项公式. 如：1，24，8，3，19
例如数列：1, 4, 9, 16, ···的通项公式是
填空：(1) 2，4， ，16，32， ，128，… ，通项公式为________;
思考 数列5, 10, 20, 40, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224, 240有通项公式吗？ 为什么？
例1 根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象.
1. 写出下列数列的前10项，并作出它们的图象:
(1) 所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列;
(2) 当自变量x依次取1, 2, 3, 时，函数f(x) =2x +1的值构成的数列;
课本P5
2. 根据数列{an }的通项公式填表:
n 1 2 5 n
an 153 273 3(3+4n)
21
33
69
12
22
3. 除数函数(divisor function) y=d(n)(n∈N*)的函数值等于n的正因数的个数, 例如, d(1)=1, d(4)=3. 写出数列d(1), d(2) , , d(n), 的前10项.
课本P5
例2 根据下列数列的前4 项，写出数列的一个通项公式:
常见数列通项公式求法：
(1)常见数列：正整数列，奇数列，偶数列，平方数列等直接写通项公式；
(2) 分数列：观察分子、分母的特点后写通项公式；
(3) 指数数列：观察底数、指数的特点后写通项公式；
(4) 各项符号一正一负：
4. 根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式:
课本P5
例3 如果数列{an}的通项公式为an=n2+2n，那么120是不是这个数列的项 如果是，是第几项
变式 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1) 写出此数列的第4项和第6项；
(2) －49是否是该数列中的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列中的一项？如果是，应是哪一项？
例4 图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形. 在图中4个大三角形中, 着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项, 写出这个数列的一个通项公式.
换个角度观察图可以发现，从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍. 这样，例4中的数列的前4项满足：
a1=1, a2=3a1, a3=3a2, a4=3a3. 由此猜测这个数列满足公式
像an=3an-1(n≥2)这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一 个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一 个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
四、数列的递推公式：
如果知道了一个数列的首项或前几项，以及递推公式，就能求出数列的每一项了.
当不能明显看出数列的项的取值规律时, 可以尝试通过运算来寻找规律. 如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察.
例5 已知数列{an}的首项为a1=1, 递推公式为
写出这个数列的前5项.
1. 根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数.
21
13
35
课本P8
2. 根据下列条件, 写出数列{an}的前5项:
课本P8
课本P8
五、数列的前n项和：
我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
显然S1=a1，而 ，于是我们有
思考 已知数列{an}的前n项和公式为Sn=n2+n，你能求出{an}的通项公式吗
课本P8
总结
通项公式
数列的概念
表示方法
分类
列表
图象
项数
有穷数列
无穷数列
递增
数列
递减
数列
摆动
数列
常
数列
大小
函数
数列
4.1 数列的概念
在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象.例如:
1. 王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据(单位: cm)依次排成一列数:
75, 87, 96, 103, 110, 116, 120, 128, 138, 145, 153, 158, 160, 162, 163, 165, 168 ①
这一列数是身高按岁数从1到17的顺序排列得到的，它们之间不能交换位置.
所以，①是具有确定顺序的一列数.
2. 在两河流域发掘的一块泥版上， 有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数:
5, 10, 20, 40, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224, 240 ②
这一列数按日期从1到15的顺序排列得到的，同样它们之间也不能交换位置.
所以，②也是具有确定顺序的一列数.
这时我们就把具有确定顺序的一列数称为数列.
一、数列的概念：
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示······第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示，其中第1项也叫做首项.
数列的一般形式是
a1，a2，a3，…，an，…. (n∈N*)
简记作{an} .
思考 {an} 与an的意思一样吗？
{an}表示一个数列：a1，a2，a3，…，an，…. ；
an表示数列{an}中的第n项.
由于数列{an}中的每一项an与它的序号n有下面的对应关系:
序号 1 2 3 ··· n ···
项 a1 a2 a3 ··· an ···
所以数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1, 2, ··· , n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an ，记为an = f(n). 也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f(1)， f(2) , ··· , f(n), ··· 就是数列{an}. 另一方面，对于函数y=f(x)，如果f(n) (n∈N*)有意义，那么f(1)， f(2) , ··· , f(n), ···构成了一个数列{f(n)}.
以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化.的，而数列是自变量为离散的数的函数.
与函数类似，我们可以定义数列的单调性：
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列. 特别地，各项都相等的数列叫做常数列.
二、数列的分类：
1. 以项数来分类：
(1) 有穷数列：
(2) 无穷数列：
2. 以各项的大小关系来分类：
(1) 递增数列：
(2) 递减数列：
(3) 常 数 列：
(4) 摆动数列：
各项都相等的数列；
从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
项数有限的数列；
项数无限的数列.
对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0).
对任意n∈N*，总有an+1
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列.
1．下列说法中，正确的是( )
A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}
B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列
C．数列的项可以相等
D．数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列
C
C
练习：
三、数列的通项公式：
如果数列{an}的第n项an与序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，简称通项.
注意：①通项公式的主要作用是“知序号可求项”如：数列{n2}的第11项是121.
②一些数列的通项公式不是唯一的；如：数列1，-1，1，-1，…
③不是每一个数列都能写出它的通项公式. 如：1，24，8，3，19
例如数列：1, 4, 9, 16, ···的通项公式是
填空：(1) 2，4， ，16，32， ，128，… ，通项公式为________;
思考 数列5, 10, 20, 40, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224, 240有通项公式吗？ 为什么？
例1 根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象.
1. 写出下列数列的前10项，并作出它们的图象:
(1) 所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列;
(2) 当自变量x依次取1, 2, 3, 时，函数f(x) =2x +1的值构成的数列;
课本P5
2. 根据数列{an }的通项公式填表:
n 1 2 5 n
an 153 273 3(3+4n)
21
33
69
12
22
3. 除数函数(divisor function) y=d(n)(n∈N*)的函数值等于n的正因数的个数, 例如, d(1)=1, d(4)=3. 写出数列d(1), d(2) , , d(n), 的前10项.
课本P5
例2 根据下列数列的前4 项，写出数列的一个通项公式:
常见数列通项公式求法：
(1)常见数列：正整数列，奇数列，偶数列，平方数列等直接写通项公式；
(2) 分数列：观察分子、分母的特点后写通项公式；
(3) 指数数列：观察底数、指数的特点后写通项公式；
(4) 各项符号一正一负：
4. 根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式:
课本P5
例3 如果数列{an}的通项公式为an=n2+2n，那么120是不是这个数列的项 如果是，是第几项
变式 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1) 写出此数列的第4项和第6项；
(2) －49是否是该数列中的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列中的一项？如果是，应是哪一项？
例4 图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形. 在图中4个大三角形中, 着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项, 写出这个数列的一个通项公式.
换个角度观察图可以发现，从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍. 这样，例4中的数列的前4项满足：
a1=1, a2=3a1, a3=3a2, a4=3a3. 由此猜测这个数列满足公式
像an=3an-1(n≥2)这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一 个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一 个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
四、数列的递推公式：
如果知道了一个数列的首项或前几项，以及递推公式，就能求出数列的每一项了.
当不能明显看出数列的项的取值规律时, 可以尝试通过运算来寻找规律. 如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察.
例5 已知数列{an}的首项为a1=1, 递推公式为
写出这个数列的前5项.
1. 根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数.
21
13
35
课本P8
2. 根据下列条件, 写出数列{an}的前5项:
课本P8
课本P8
五、数列的前n项和：
我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
显然S1=a1，而 ，于是我们有
思考 已知数列{an}的前n项和公式为Sn=n2+n，你能求出{an}的通项公式吗
课本P8
总结
通项公式
数列的概念
表示方法
分类
列表
图象
项数
有穷数列
无穷数列
递增
数列
递减
数列
摆动
数列
常
数列
大小
函数
数列