5.3.1函数的单调性课件-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册(共33张PPT)

(共33张PPT)
5.3.1函数的单调性
5.3 导数在研究函数中的应用
复习巩固：函数单调性的定义
一般地，对于给定区间D上的函数f(x)，若对于属于区间D的任意两个自变量的值x1，x2，当x1　 (1)若f(x1)(2)若f(x1)>f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.
在必修第一册中， 我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性质.
在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化. 能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢 本节我们就来讨论这个问题.
我们先来研究前面学习过的高台跳水问题.
t
h
a
O
b
(1)
t
h
a
O
b
(2)
思考1 图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的图象.
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别 如何从数学上刻画这种区别
观察图象可以发现:
(1) 从起跳到最高点，运动员的重心处于上升
状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，
即h(t)单调递增. 相应地，v(t)=h'(t)>0.
(2) 从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减. 相应地，v(t)=h'(t)<0.
思考2 我们看到，函数h(t)的单调性与h'(t)的正负有内在联系. 那么，我们能否由h'(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢
对于高台跳水问题，可以发现:
当t∈(0, a)时，h′(t)>0，函数h(t)的图象是“上升”的，函数h(t)在(0, a)内单调递增；
当t∈(a, b)时，h'(t)<0，函数h(t)的图象是“下降”的，函数h(t)在(a, b)内单调递减.
这种情况是否具有一般性呢
t
h
a
O
b
(1)
t
h
a
O
b
(2)
思考3 观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.
x
y
O
(1)
x
y
O
(2)
x
y
O
(3)
x
y
O
(4)
函数的单调性与导数的正负的关系：
如图示，导数f'(x0)表示函数y=f(x)的图象在点(x0, f(x0))处的切线的斜率，可以发现:
在x=x0处，f'(x0)>0，切线是“左下右上”的上升式，函数f(x)的图象也是上升的，函数f(x)在x=x0附近单调递增；
在x=x1处，f'(x1)<0，切线是“左上右下”的下降式，函数f(x)的图象也是下降的，函数f(x)在x=x1附近单调递减.
x
y
O
(x0, f(x0))
(x1, f(x1))
函数的单调性与导数的关系：
一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系:
在某个区间(a, b)上, 如果f′(x)>0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增;
在某个区间(a, b)上, 如果f'(x)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递减.
思考1 如果在某个区间上恒有f′(x)=0，那么函数f(x)有什么特性
函数y=f(x)在这个区间上是常数函数.
思考2 存在有限个点使得f'(x)=0, 其余点都恒有f ′(x)>0, 则f(x)有什么特性
f(x)仍为增函数.
例如: 对于函数y=x3，y′=3x2.
当x=0时，y′=0，当x>0时，y′>0，
而函数y=x3在R上单调递增.
x
y
O
例1 利用导数判断下列函数的单调性:
解：
x
y
O
(1)
x
y
O
(2)
π
-π
例1 利用导数判断下列函数的单调性:
解：
x
y
O
(3)
1
1
① 求出函数的定义域；
② 求出函数的导数f (x)；
③ 判定导数f (x)的符号；
④ 确定函数f(x)的单调性.
判定函数单调性的步骤：
1. 判断下列函数的单调性:
解：
课本P87
解：
课本P87
解：
例2
x
y
O
1
4
解：
x
y
O
a
b
c
x
y
O
a
b
c
课本P87
例 已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是(　　)
√
1. 函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
2. 函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x) 的值越大．　
总结：
√
变式2
A
总结：
1. 函数单调性与导数符号的关系是：
2.判定函数单调性的步骤：
① 求出函数的定义域； ② 求出函数的导数f (x)；
③ 判定导数f (x)的符号；④ 确定函数f(x)的单调性.
在某个区间(a, b)内
形如 的函数应用广泛，下面我们利用导数来研究这类函数的单调性.
例3
解：
x (－∞, －1) －1 (－1, 2) 2 (2, －∞)
f′(x)
f(x)
x
y
O
-1
1

2

判断函数y=f(x)的单调性的步骤：
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.
1. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间:
解：
x (－∞, －1) －1 (－1, 1) 1 (1, －∞)
f′(x)
f(x)
x
y
O
-1

1

课本P89
1. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间:
解：
x 1 (1, －∞)
f′(x)
f(x)
x
y
O

1

课本P89
探究 研究对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间(0,＋∞)上增长快慢的情况.
x
y
O
(2)
x
y
O
1

(1)
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.
例4
x
y
O
1

解：
证明：
课本P89
3. 函数y=f′(x)的图象如图所示，试画出函数y=f(x)图象的大致形状.
x
y
O
a
b
e
d
c
解：
x
y
O
a
b
e
d
c
总结：函数的单调性与其导函数的正负的关系：
注意：此关系常常用于已知函数的单调性，求函数中参数的取值范围.
在某个区间(a, b)内
反之
巩固训练1 设函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1, ＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是____________．
解：f′(x)＝3x2＋a.
∵ f(x)在(1, ＋∞)内是增函数，
∴ 3x2＋a ≥ 0对x∈(1, ＋∞)恒成立，
即a ≥ －3x2对x∈(1, ＋∞)恒成立 .
又当x∈(1, ＋∞)时，－3x2 <－3，
∴ a ≥ －3.
[－3, ＋∞)
巩固训练2
思考 结合函数单调性的定义，思考在某个区间上单调的函数y=f(x)的平均变化率的几何意义与f'(x)的正负的关系.
一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间M A，在区间M中任取两个值x1, x2，当改变量 x=x2-x1>0时，有 y=f(x2)-f(x1)>0，那么就称函数y=f(x)在区间M上是增函数.
如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，那么就说这个函数在这个区间M上具有单调性.
在区间(a, b)上,任取A(x1, f(x1)), B(x2, f(x2))两点,则函数f(x)的平均变化率为
其几何意义为直线AB的斜率. 若f(x)在区间(a, b)上是增函数，则其斜率为正,其导数为正；若f(x)在区间(a, b)上是减函数，则其斜率为负，其导数也为负.
小结：
1.函数单调性与导数符号的关系是：
2.判定函数单调性的步骤：
①求出函数的定义域；
②求出函数的导数f (x)；
③判定导数f (x)的符号；
④确定函数f(x)的单调性.