【课件】7.4 二项分布与超几何分布-7.4.2 超几何分布 数学-RJA-选择性必修第三册(共22张PPT)
文档属性
| 名称 | 【课件】7.4 二项分布与超几何分布-7.4.2 超几何分布 数学-RJA-选择性必修第三册(共22张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-11 09:24:29 | ||
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文档简介
(共22张PPT)
数学-RJ·A-选择性必修第三册
7.4 二项分布与超几何分布
7.4.2 超几何分布
第七章 随机变量及其分布
学习目标
通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.
重点：超几何分布模型，用超几何分布解决一些简单的实际问题.
难点：利用超几何分布模型解决实际问题.
知识梳理
一、超几何分布的概念
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P（X＝k）＝，k＝m，m+1，m+2，…，r.
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n-N+M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
理解超几何分布应注意的问题
（1）超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，N——总体中的个体总数，M——总体中的特殊个体总数（如次品总数），n——样本容量，k——样本中的特殊个体数（如次品数）.求分布列时可以直接利用组合数的意义列式计算，不必机械地记忆这个概率分布列.
（2）超几何分布中，“任取n件，恰有z件次品”，是一次性抽取，不可理解成n次抽取，因此求概率用组合数列式，要熟练掌握组合数的性质及计算方法，以便简化计算.
（3）超几何分布中，各对应项的概率和必须为1，可以由此验证分布列是否出错.
二、超几何分布的均值
三、超几何分布与二项分布的关系
二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似.
常考题型
一、超几何分布的概率
例1 ［2020·江苏扬州高二期末］一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为X，男生的人数为Y，则P（X＝2）+P（Y＝2）等于 （ ）
◆超几何分布的概率
1.超几何分布的概率计算公式给出了求解这类问题的方法，可以直接运用公式求解，但是不能机械地记忆公式，要在理解公式意义的前提下进行记忆.
2.超几何分布是随机变量的另一种分布形式.在这里，要特别注意公式中的各个字母的取值范围及其含义，超几何分布中随机变量X取某一个值的概率，本质上还是这一事件在该随机试验中发生的次数与试验总次数的比值.
◆超几何分布的特征
1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.
2.考察对象分两类，已知各类对象的个数.
3.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.
训练题
1.［2020·山东青岛高二月考］盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为 （ ）
A.恰有1个是坏的 B.4个全是好的
C.恰有2个是好的 D.至多有2个是坏的
2.［2020·四川成都高三月考］在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P（X＝2）＝ .
3.［2020·福建龙海市第二中学高二期中］数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格.某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是 .
C
二、超几何分布的均值
例2 ［2020·广东湛江高三月考］某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），已知成绩在［90，100]的学生人数为8，且有4个女生的成绩在［50，60）中，则n＝ ；现由成绩在［50，60）的样本中随机抽取2名学生，记所抽取学生中女生的人数为ξ，则ξ的数学期望是 .
◆求超几何分布均值的步骤
1.验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；
2.根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
3.利用均值公式求解.
训练题
1.［2020·浙江杭州第十四中学高三月考］某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试.已知在这8个试题中甲能答对6个，则甲通过自主招生初试的概率为 ；记甲答对试题的个数为X，则X的数学期望E（X）＝ .
2.［2020·辽宁铁岭高二期末］从一批含有13个正品，2个次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽一个，设抽取的次品数为ξ，则E（5ξ+1）＝ .
3
3
三、超几何分布的综合应用
例3 ［2020·北京八中高三月考］目前，有些城市面临“垃圾围城”的窘境.垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失.某市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四类 .生活垃圾中有30%~40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源. 如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75%，节省造纸能源消耗40%～50%.
现调查了该市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表：
A小区 B小区 C小区 D小区 E小区
废纸投放量（吨） 5 5.1 5.2 4.8 4.9
塑料品投放量（吨） 3.5 3.6 3.7 3.4 3.3
（1）从A，B，C，D，E这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可回收物中，废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率；
（2）从A，B，C，D，E这5个小区中任取2个小区，记X为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X的分布列及期望.
【解】（1）记“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨”为事件A.
由题意，得B，C两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨，所以P（A）＝.
◆超几何分布的应用
1.超几何分布常应用在产品合格问题、球盒取球（两色）问题、男女生选举问题等.
2.这类问题有一个共同特征，就是对每一个个体而言，只研究其相对的两种性质而不涉及其他性质，如产品的“合格”与“不合格”，球的“红色”与“非红色”，学生的“男生”与“女生”等.
3.在实际问题中需通过关注的实际对象来确定M的值.
4.注意超几何分布问题涉及三个参数的特征和顺序.如产品问题中，H（n，M，N）的意义是“超几何分布（取出产品数，所有产品中不合格品数，所有产品数）”.
训练题 ［2020·四川成都外国语学校高二月考］在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品.从这10件产品中任取3件.求：
（1）取出的3件产品中一等品件数X的分布列；
（2）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.
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数学-RJ·A-选择性必修第三册
7.4 二项分布与超几何分布
7.4.2 超几何分布
第七章 随机变量及其分布
学习目标
通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.
重点：超几何分布模型，用超几何分布解决一些简单的实际问题.
难点：利用超几何分布模型解决实际问题.
知识梳理
一、超几何分布的概念
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P（X＝k）＝，k＝m，m+1，m+2，…，r.
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n-N+M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
理解超几何分布应注意的问题
（1）超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，N——总体中的个体总数，M——总体中的特殊个体总数（如次品总数），n——样本容量，k——样本中的特殊个体数（如次品数）.求分布列时可以直接利用组合数的意义列式计算，不必机械地记忆这个概率分布列.
（2）超几何分布中，“任取n件，恰有z件次品”，是一次性抽取，不可理解成n次抽取，因此求概率用组合数列式，要熟练掌握组合数的性质及计算方法，以便简化计算.
（3）超几何分布中，各对应项的概率和必须为1，可以由此验证分布列是否出错.
二、超几何分布的均值
三、超几何分布与二项分布的关系
二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似.
常考题型
一、超几何分布的概率
例1 ［2020·江苏扬州高二期末］一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为X，男生的人数为Y，则P（X＝2）+P（Y＝2）等于 （ ）
◆超几何分布的概率
1.超几何分布的概率计算公式给出了求解这类问题的方法，可以直接运用公式求解，但是不能机械地记忆公式，要在理解公式意义的前提下进行记忆.
2.超几何分布是随机变量的另一种分布形式.在这里，要特别注意公式中的各个字母的取值范围及其含义，超几何分布中随机变量X取某一个值的概率，本质上还是这一事件在该随机试验中发生的次数与试验总次数的比值.
◆超几何分布的特征
1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.
2.考察对象分两类，已知各类对象的个数.
3.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.
训练题
1.［2020·山东青岛高二月考］盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为 （ ）
A.恰有1个是坏的 B.4个全是好的
C.恰有2个是好的 D.至多有2个是坏的
2.［2020·四川成都高三月考］在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P（X＝2）＝ .
3.［2020·福建龙海市第二中学高二期中］数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格.某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是 .
C
二、超几何分布的均值
例2 ［2020·广东湛江高三月考］某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），已知成绩在［90，100]的学生人数为8，且有4个女生的成绩在［50，60）中，则n＝ ；现由成绩在［50，60）的样本中随机抽取2名学生，记所抽取学生中女生的人数为ξ，则ξ的数学期望是 .
◆求超几何分布均值的步骤
1.验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；
2.根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
3.利用均值公式求解.
训练题
1.［2020·浙江杭州第十四中学高三月考］某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试.已知在这8个试题中甲能答对6个，则甲通过自主招生初试的概率为 ；记甲答对试题的个数为X，则X的数学期望E（X）＝ .
2.［2020·辽宁铁岭高二期末］从一批含有13个正品，2个次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽一个，设抽取的次品数为ξ，则E（5ξ+1）＝ .
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三、超几何分布的综合应用
例3 ［2020·北京八中高三月考］目前，有些城市面临“垃圾围城”的窘境.垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失.某市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四类 .生活垃圾中有30%~40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源. 如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75%，节省造纸能源消耗40%～50%.
现调查了该市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表：
A小区 B小区 C小区 D小区 E小区
废纸投放量（吨） 5 5.1 5.2 4.8 4.9
塑料品投放量（吨） 3.5 3.6 3.7 3.4 3.3
（1）从A，B，C，D，E这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可回收物中，废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率；
（2）从A，B，C，D，E这5个小区中任取2个小区，记X为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X的分布列及期望.
【解】（1）记“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨”为事件A.
由题意，得B，C两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨，所以P（A）＝.
◆超几何分布的应用
1.超几何分布常应用在产品合格问题、球盒取球（两色）问题、男女生选举问题等.
2.这类问题有一个共同特征，就是对每一个个体而言，只研究其相对的两种性质而不涉及其他性质，如产品的“合格”与“不合格”，球的“红色”与“非红色”，学生的“男生”与“女生”等.
3.在实际问题中需通过关注的实际对象来确定M的值.
4.注意超几何分布问题涉及三个参数的特征和顺序.如产品问题中，H（n，M，N）的意义是“超几何分布（取出产品数，所有产品中不合格品数，所有产品数）”.
训练题 ［2020·四川成都外国语学校高二月考］在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品.从这10件产品中任取3件.求：
（1）取出的3件产品中一等品件数X的分布列；
（2）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.
知易行难，重在行动
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