【课件】7.5 正态分布 数学-RJA-选择性必修第三册 (共34张PPT)

(共34张PPT)
数学-RJ·A-选择性必修第三册
7.5　正态分布
第七章　随机变量及其分布
学习目标
1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.
2.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.
3.了解变量落在区间［μ-σ，μ+σ］，［μ-2σ，μ+2σ］，［μ-3σ，μ+3σ］的概率大小，会根据正态曲线的特点求随机变量在某一区间内的概率.
4.了解正态分布的均值、方差及其含义，会用正态分布解决实际问题.
重点：正态分布的意义和特点.
难点：借助正态分布密度曲线的对称性，利用数形结合求解正态分布的问题.
知识梳理
一、连续型随机变量
现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.
二、正态密度函数与正态分布
在数学家的不懈努力下，找到了以下刻画随机误差分布的解析式：
f（x）＝，x∈R. 其中μ∈R，σ>0为参数.
显然，对任意的x∈R，f（x）>0，它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f（x）为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线，如图所示.
若随机变量X的概率分布密度函数为f（x），
则称随机变量X服从正态分布，记为
X~N（μ，σ2）.特别地，当μ＝0，σ＝1时，
称随机变量X服从标准正态分布.
若X~N（μ，σ2），则如图所示，X取值不超过x的概率P（X≤x）为图中区域A的面积，而P（a≤X≤b）为区域B的面积.
对参数μ，σ的理解
(1)正态分布由参数μ，σ唯一确定，因此正态分布常记作N（μ，σ2）.
(2)参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估
计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计.
服从正态分布的随机变量X的概率特点
若随机变量X服从正态分布，则X在一点上的取值概率为0，即
P（X＝a）＝0，而{X＝a}并不是不可能事件，所以概率为0的事件不一定是不可能事件，从而P（X三、正态分布的性质
由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点：
（1）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
（2）曲线在x＝μ处达到峰值；
（3）当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.
思考：一个正态分布由参数μ和σ完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？它们反映正态分布的哪些特征？
我们知道，函数y＝f（x-μ）的图象可由y＝f（x）的图象平移得到.因此，在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图（1）所示.
当μ取定值时，因为曲线的峰值与σ成反比，而且对任意的σ>0，曲线与x轴围成的面积总为1.因此，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图（2）所示.
图（1） 图（2）
观察图（1）和图（2）可以发现，参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度.实际上，我们有
若X~N（μ，σ2），则E（X）＝μ，D（X）＝σ2.
六、正态分布的3σ原则
假设X~N（μ，σ2），可以证明：对给定的k∈N*，P（μ-kσ≤X≤μ+kσ）是一个只与k有关的定值.特别地，
P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.682 7，
P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.954 5，
P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）≈0.997 3.
上述结果可用右图表示.
由此看到，尽管正态变量的取值范围是（-∞，+∞），但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间［μ-3σ，μ+3σ］内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况几乎不可能发生.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N（μ，σ2）的随机变量X只取［μ-3σ，μ+3σ］中的值，这在统计学中称为3σ原则.
常考题型
一、正态曲线的概念、性质
【解析】根据正态分布，μ反映的是正态分布的平均水平，x＝μ是正态密度曲线的对称轴，分析图象可得μ3>μ1＝μ2.σ越小，曲线越“瘦高”，表示取值越集中，σ越大，曲线越“矮胖”，表示取值越分散，所以σ1最大，故选D.
【答案】D
2.［2020·江西宜丰中学高二月考］随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ<2）＝0.2，P（2≤ξ≤6）＝0.6，则μ＝ （　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
D
B
D
二、正态分布的概率
1.计算正态分布的概率
例2 ［2020·重庆南开中学高考模拟］据统计，某脐橙的果实横径（单位：mm）服从正态分布N（80，52），则果实横径在［75，90]内的概率为 （　　）
附：若X～N（μ，σ2），则P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.682 7，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.954 5.
A.0.682 7 B.0.841 3 C.0.818 6 D.0.954 5
◆正态分布下两类常见的概率计算
1.利用正态密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的区域的面积为1.
2.利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与μ，σ进行对比联系，确定它们属于[μ-σ，μ+σ］，[μ-2σ，μ+2σ］，[μ-3σ，μ+3σ］中的哪一个.
训练题
1.［2020·山东济南高二月考］经统计，在经停某站的高铁列车中，每天的正点率X服从正态分布N（0.98，σ2），且P（X<0.97）＝0.005，则P（0.97≤X≤0.99）＝ （　　）
A.0.96 B.0.97 C.0.98 D.0.99
2.［2020·华南师大附中高二月考］设X服从正态分布N，则X落在（-∞，-3.5）∪（-0.5，+∞）内的概率是 （　　）
A.0.954 5 B.0.997 3 C.0.045 5 D.0.002 7
D
D
3.［2020·福建厦门一中高二期末］2020年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数X（单位：辆）均服从正态分布N（600，σ2），若P（500≤X≤700）＝0.6，假设三个收费口均能正常工作，则这三个收费口每天通过的小汽车数至少有一个超过700的概率为 （　　）
A. B. C. D.
4.［2020·山东东营高二期末］某品牌的一款纯电动汽车单次最大续航里程X（千米）服从正态分布N（500，102）.任选一辆该款电动汽车，则它的单次最大续航里程恰在470千米到520千米之间的概率为　　　　.
（参考公式：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ≤ξ≤μ+σ）≈0.682 7，P（μ-2σ≤ξ≤μ+2σ）≈0.954 5，P（μ-3σ≤ξ≤μ+3σ）≈0.997 3）
C
0.9759
2.求参数
例3 ［2020·重庆高三月考］已知随机变量X～N（2，σ2），若P（X≤1-a）+P（X≤1+2a）＝1，则实数a＝ （　　）
A.0 B.1 C.2 D.4
【解析】因为P（X≤1-a）+P（X≤1+2a）＝1，
所以P（X≤1+2a）＝1-P（X≤1-a）＝P（X>1-a）.
因为X～N（2，σ2），所以1+2a+1-a＝2×2，
所以a＝2.
【答案】C
◆正态分布下根据概率问题求参数的方法
1.解决此类问题的关键是利用正态密度曲线的性质，充分利用数形结合思想和化归思想.
2.利用以下结论
（1）3σ原则；
（2）正态密度曲线的对称性和曲线与x轴之间的区域的面积为1；
（3）正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相同；
（4）P（X≤a）＝1-P（X≥a），P（X≤μ-a）＝P（X≥μ+a）.
训练题 ［2020·新疆实验中学高三月考］已知随机变量X服从正态分布N（100，4），若P（m≤X≤104）＝0.135 9，则m等于 （　）
（附：若X~N（μ，σ2），则P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.682 7，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.954 5）
A.100 B.101 C.102 D.103
C
三、3σ原则在实际问题中的应用
1.求实际问题中的数量
例4 ［2020·安徽芜湖一中高二期末］在某次模拟考试中，某校有3 000人参加，其数学考试成绩X ～ N（100，a2） （a>0，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩高于130分的人数为100，则该校此次数学考试成绩高于100分且低于130分的学生人数约为 （　　）
A.1 300 B.1 350 C.1 400 D.1 450
【解析】100是数学期望，由题意知成绩高于130分的有100人，则低于70分的也有100人，因此成绩在70分到130分的人数为3 000-200＝2 800，因此成绩高于100分且低于130分的人数为＝1 400.故选C.
【答案】C
【方法总结】 本题的解题关键是掌握正态密度曲线的对称性，即若X～N（μ，σ2），则P（X> μ）＝P（X<μ），P（X>μ+m）＝P（X<μ-m）（m>0）.
训练题
1.［2020·重庆大学城第一中学高二期中］某市一次高三年级数学测试中，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布N（84，σ2），且P（78A.60 B.80 C.100 D.120
2.［2020·江苏淮安高二期末］某种品牌的500 g袋装奶粉每袋质量X服从正态分布N（500，σ2），经检测，P（490≤X≤510）＝0.95，一超市一个月内共卖出这种品牌的奶粉400袋，则卖出的奶粉质量在510 g以上的袋数大约为　　　　.
B
10
2.对实际问题的决策判断
例5 某厂生产的“T”形零件的外直径（单位：cm）ξ~N（10，0.22），某天从该厂生产的“T”形零件中随机取出两个，测得它们的外直径分别为9.52 cm和9.98 cm，试分析该厂这一天的生产状况是否正常.
【解】因为ξ~N（10，0.22），正态总体几乎总取值于区间（μ-3σ，μ+3σ）内，所以可通过判断取出的产品的外直径是否落在这一区间内来分析生产状况是否正常.因为μ+3σ＝10+3×0.2＝10.6，μ-3σ＝10-3×0.2＝9.4，9.52在（9.4，10.6）内，9.98在（9.4，10.6）内，所以该厂这一天的生产状况是正常的.
◆“小概率事件”的含义及应用
1.若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则X在（μ-2σ，μ+2σ）以外取值的概率约只有4.6%，在（μ-3σ，μ+3σ）以外取值的概率约只有0.3%.由于这些概率值很小（一般不超过5%），通常称这些情况发生为小概率事件.
2.一般认为，小概率事件在一次试验中几乎不可能发生.
训练题 某厂生产的圆柱形零件的外直径ξ （单位：cm）服从正态分布N（4，0.52），质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7 cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？
解：由于外直径ξ服从正态分布N（4，0.52），
故ξ在[4-3×0.5，4+3×0.5]，
即[2.5，5.5]之外取值的概率约为0.002 7，
而5.7?[2.5，5.5]，
这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该厂生产的这批零件是不合格的.
四、正态分布与二项分布的综合应用
例6 ［2020·江西新余一中期末］九所学校参加联考，参加人数约5 000，经计算得数学平均分为113分.已知本次联考的成绩服从正态分布，且标准差为12.
（1）计算联考成绩在137分以上的人数.（结果保留整数）
（2）从所有试卷中任意抽取1份，已知成绩不超过123分的概率为0.8.
①求成绩低于103分的概率.
②从所有试卷中任意抽取5份，由于试卷数量较大，可以把每份试卷被抽到的概率视为相同，X表示抽到成绩低于103分的试卷的份数，写出X的分布列，并求出数学期望E（X）.
参考数据：若X~N（μ，σ2），则P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.682 7，P（μ-2σ≤ X≤μ+2σ）≈0.954 5，P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）≈0.997 3.
（1）将直径小于等于μ-2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品，从设备M的生产流水线上任意抽取3件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）.
（2）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（P表示相应事件的概率）：
①P（μ-σ≤X≤μ+σ）≥0.682 7；②P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≥0.954 5；
③P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）≥0.997 3.
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁.试判断设备M的性能等级并说明理由.
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
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