【课件】6.2 排列与组合-6.2.3 组合 6.2.4 组合数 数学-RJA-选择性必修第三册 (共40张PPT)

(共40张PPT)
数学-RJ·A-选择性必修第三册
6.2 排列与组合
6.2.3 组合
6.2.4 组合数
第六章　计数原理
学习目标
1.理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系.
2.能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式及组合数的性质，能运用组合数的性质化简、计算、证明.
3.能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题，提高数学应用能力和分析问题、解决问题的能力.
重点：组合数的概念，用排列与组合知识解决简单的实际问题.
难点：建立组合与排列的联系；能根据实际问题的特征，正确区分“排列”和“组合”.
知识梳理
一、组合的概念
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
思考：你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗？
从排列与组合的定义可以知道，两者都是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，这是它们的共同点.但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的.
例如， “甲乙”与“乙甲”的元素完全相同，但元素的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，但不是相同的排列.由此，以“元素相同”为标准分类，就可以建立起排列和组合之间的对应关系，如图 所示.
二、组合数的概念
类比排列数，我们引进组合数概念：
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.
例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数表示为，从4个不同元素中取出3个元素的组合数表示为.
三、组合数公式
探究：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢？
前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两个排列不同”，以“元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的对应关系，并求得了从3个不同元素中取出2个元素的组合数＝3.
运用同样的方法，我们来求从4个不同元素中取出3个元素的组合数.设这4个元素为a，b，c，d，那么从中取出3个元素的排列数＝24，以“元素相同”为标准将这24个排列分组，一共有4组，如图所示，因此组合数＝4.
观察上图，也可以这样理解求“从4个元素中取出3个元素的排列数”：
第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有种不同的取法；
第2步，将取出的3个元素作全排列，共有种不同的排法.
于是，根据分步乘法计数原理，有＝ ·，即＝＝4.
同样地，求“从n个元素中取出m个元素的排列数”，可以看作由以下两个步骤得到：
第1步，从n个不同元素中取出m个元素作为一组，共有种不同的取法；
第2步，将取出的m个元素作全排列，共有种不同的排法.
根据分步乘法计数原理，有＝·.
因此
这里n，m∈N*，并且m≤n.这个公式叫做组合数公式.
因为＝所以，上面的组合数公式还可以写成
＝
另外，我们规定＝1.
【提示】（1）对组合数公式应注意两点：
①它的值是一个非零自然数；②n，m∈N*，且m≤n.
（2）在学习组合数公式时，要注意与排列数公式进行对比.
组合数公式1一般用于求值计算；
组合数公式2一般用于化简与证明，因为这个公式便于整体约分化简.
四、组合数的两个性质
一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，必然剩下（n-m）个元素，因此从n个不同元素中取出m个元素的组合，与剩下的（n-m）个元素的组合一一对应.这样，从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个不同元素中取出（n-m）个元素的组合数.于是我们有
性质1
由于＝1，因此上面的等式在m＝n时也成立.
在推导性质1时，我们运用了说明组合等式的一个常用而重要的方法，即把等号两边的不同表达式解释为对同一个组合问题的两个不同的计数方案.
你能根据上述思想方法，利用分类加法计数原理，说明下面的组合数性质吗？
性质2
利用分类加法计数原理解释如下：
从n+1个不同元素中取出m个不同元素的组合数为，这些组合可以分为两类：
第一类，不选元素A，则从剩下的n个元素中取出m个元素，有种选法.
第二类，必选元素A，则从剩下的n个元素中取出m-1个元素，有种选法.
由分类加法计数原理得＝+.
常考题型
一、组合的概念及其简单应用
例1 判断下列各事件是排列问题还是组合问题.
（1）从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？
（2）从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？
（3）10支球队进行单循环赛（每两队比赛一次），共需进行多少场次的比赛？
（4）10支球队进行单循环赛，冠、亚军获得情况共有多少种？
【解】（1）是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数.
（2）是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变.
（3）是组合问题，因为每两队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别.
（4）是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的.
◆区别排列与组合的方法
1.区别一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，排列与选取的元素的顺序有关，组合与选取的元素的顺序无关，即有序是排列，无序是组合.
2.判断一个问题是否有顺序：先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，是排列问题；没有影响就是“无序”，是组合问题.
B
二、组合数及其应用
1.利用组合数公式解方程、不等式
例2 ［2020·河南信阳高二月考］满足条件Cn4>Cn6的正整数n的个数是 （　　）
A.10 B.9 C.4 D.3
【答案】C
◆利用组合数公式解方程、不等式的方法技巧
1.化简：先用组合数的两个性质化简；
2.转化：利用计算公式将组合数的形式转化为常规的代数方程、不等式；
3.求解：解常规代数方程、不等式；
4.检验：注意由Cnm中的m∈N*，n∈N*，且n≥m确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否符合题意.
9
【答案】D
C
三、组合应用题
1.简单的组合应用题
例4 ［2020·吉林延边二中高二期中］有4名学生要到某公司实践学习，该公司共有5个科室，由公司人事部门安排他们到其中任意3个科室实践，每个科室至少安排一人，则不同的安排方案种数为 （　　）
A.120 B.240 C.360 D.480
【答案】C
◆解决排列组合简单应用问题的方法
1.首先要判断它是组合问题还是排列问题；
2.注意两个基本计数原理的运用，是分类还是分步，分类和分步时注意不要重复和遗漏；
3.一般按先选再排，先分组再分配的原则处理.
训练题
1.［2020·广西南宁高三月考］从“cn dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合（顺序不变）的不同排列共有 （　　）
A.360种 B.480种 C.600种 D.720种
2.［2020·安徽师范大学附属中学高二期末］某县城中学安排4位教师去3所不同的村小支教，每位教师只能支教一所村小，且每所村小有老师支教.甲老师主动要求去最偏远的村小A，则不同的安排有 （　　）
A.6种 B.12种 C.18种 D.24种
3.［2020·福建省永春第一中学高二期末］4 名学生被三所不同大学录取，若每所大学至少要录取1名，则共有　　　　种不同的录取方法.
C
B
36
2.有限制条件的组合问题
例5 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有　　　　种.
【答案】34
◆有限制条件的组合问题的解题原则和方法
1.三大原则：先特殊后一般的原则、先取后排的原则、先分类后分步的原则.
2.常用方法
（1）直接法：坚持“特殊元素优先选取”“特殊位置优先安排”的原则，优先安排特殊元素，再安排其他元素.
（2）间接法：原则是“正难则反”，也就是当正面问题分类较多、较复杂或计算量较大时，不妨从反面入手，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此.此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键.
D
C
3.［2020·内蒙古集宁一中高二期中］一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行解答，其中至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是 （　　）
A.40 B.74 C.84 D.200
4.［2020·吉林一中高二期末］从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（　）
A.140种 B.80种 C.100种 D.70种
5.［2020·北京一零一中学高二期末］某中学从4名男生和4名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有 （　　）
A.68种 B.70种 C.240种 D.280种
B
D
A
3.分组、分配问题
例6 6本不同的书在下列不同的条件下，各有多少种不同的分法？
（1）分成1本、2本、3本三组；
（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
（3）分成每组都是2本的三组；
（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本；
（5）分成三组，1组4本，另外两组各1本；
（6）分给甲、乙、丙三人，一人得4本，另外两人各得1本；
（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本.
3.分配问题的处理方法.将n个元素按一定要求分给m个人，称为分配问题.分组问题和分配问题是不同的，对于分组问题，组与组之间只要元素个数相同，就是不可区分的；对于分配问题，若组与组之间元素个数相同，但因人不同，仍然是可以区分的.分组问题属于“组合”问题，分配问题属于“排列”问题.一般地，既有分组又有分配的问题，要先分组再分配.
训练题
1.［2020·宁夏银川一中高二期中］数学竞赛前，某学校由3名教师对5名参赛学生进行“特训”，要求每名教师的“特训”学生不超过2人，则不同的“特训”方案有 （　　）
A.60种 B.90种 C.150种 D.120种
2.［2020·山西省实验中学高二月考］某学校安排A，B，C，D，E五位老师去三个地区支教，每个地区至少去1人，则不同的安排方法有 （　）
A.25种 B.150种 C.480种 D.540种
B
B
四、组合的综合应用题
1.几何图形中的组合问题
例7 （1）四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？
（2）四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法？
【解】（1）如图所示，在含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有3C53种取法；含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法.
根据分类加法计数原理，与顶点A共面的3个点的取法
有3 C53+3＝33（种）.
（2）如图所示，从10个点中取4个点的取法有C104种，
除去4点共面的取法种数可以得到结果.从四面体同一个
面上的6个点中取出的4点必定共面，有4 C64＝60（种）；四面体每一棱上的3点与相对棱的中点共面，共有6种共面情况；从6条棱的中点中取4个点时有3种共面情形.故4点不共面的取法有C104-（60+6+3）＝141（种）.
◆几何图形中的组合问题的解题思路
1. 注意运用处理组合问题的常规方法分析、解决问题.
2.从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理.
训练题 ［2020·安徽泗县一中高二月考］x2+y2≤4表示的平面区域内，以横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点，可以构成的三角形个数为（　）
A.286 B.281 C.256 D.176
C
2.模型构造问题
例8 某城市一条道路上有12盏路灯，为了节约用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端路灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，那么熄灯方法共有　　　　　 种.
【解析】依题意，问题相当于在已排好的9个元素的两两之间的8个空中，选3个插入3个相同的元素，方法种数为C83＝56.
【答案】56
训练题 ［2020·河北武邑中学高二月考］现有10名运动员，其中有8名擅长铁饼，5名擅长跳高，3名既擅长铁饼又擅长跳高.现要从中选2人参加铁饼比赛，2人参加跳高比赛，则有　　　　种不同的参赛方法（用数字作答）.
199
3.“隔板法”问题
例9 将组成篮球队的10个名额分配给7所学校，每校至少1名，问名额的分配方式共有多少种？
训练题 ［2020·山西省实验中学高二月考］不定方程x+y+z＝12的非负整数解的个数为 （　　）
A.55 B.60 C.91 D.540
◆隔板法
“隔板法”也称“挡板法”，是解决相同元素的分配问题与不定方程整数解的个数问题的常用方法.
（1）凡“相同小球放入不同盒中”的问题，即为“n个相同元素有序分成m组（每组的任务不同）”的问题，一般可用“隔板法”解；
（2）不定方程就是未知数的个数大于方程的个数，像方程x1+x2+…+xn＝m就是一个最简单的不定方程.如何求这类不定方程的整数解呢？常用方法是“隔板法”.
C
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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