【课件】6.3 二项式定理-6.3.2 二项式系数的性质 数学-RJA-选择性必修第三册 (共25张PPT)
文档属性
| 名称 | 【课件】6.3 二项式定理-6.3.2 二项式系数的性质 数学-RJA-选择性必修第三册 (共25张PPT) |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-11 00:00:00 | ||
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文档简介
(共25张PPT)
数学-RJ·A-选择性必修第三册
6.3 二项式定理
6.3.2 二项式系数的性质
第六章 计数原理
学习目标
1.掌握展开式中二项式系数的对称性、增减性与最大值.
2.会求二项式系数的和或某些项的系数的和.
重点：学会讨论二项式系数性质的一些方法.
难点：求二项展开式系数的最大项，灵活运用二项式系数的性质解决相关问题.
知识梳理
二项式系数的性质
1.对称性（性质1）
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
事实上，这一性质可直接由＝得到.
直线r＝将函数f（r）＝的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.
2.增减性与最大值（性质2）
因为＝＝即
所以，当，即时，随k的增加而增大；由对称性知，当时，随k的增加而减小.当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值.
3.各二项式系数的和（性质3）
已知（1+x）n＝+x+x2+…+xn，
令x＝1，得2n＝+++…+.
这就是说，（a+b）n的展开式的各二项式系数的和等于2n.
+…+＝2n的背景意义
+…+的展开式左边是n个（1+x）相乘，按照取x的个数，可以将乘积中的项分为（n+1）类：
第1类，n个（1+x）都取1，即取0个x，共有种取法；
第2类，n个（1+x）中，1个取x，其余取1，共有种取法；
第3类，n个（1+x）中，2个取x，其余取1，共有种取法；
…；
第n+1类，n个（1+x）中全部取x，共有种取法.
常考题型
一、展开式中系数最大问题
◆求二项式系数或系数最大的项的一般方法
1.二项式系数与项的系数是两个不同的概念. 二项式系数是组合数，仅与二项式的指数及项数有关，一定为正，而项的系数与二项式的指数、项数及字母的系数均有关，可正可负.
训练题
1.［2020·山西大学附中高二月考］已知二项式（x+3x2）n，若它的二项式系数之和为128，则展开式中系数最大的项是 .
5 103x12或5 103x13
二、二项式系数与项的系数和问题
例2 ［2020·江苏无锡一中高二期中］二项式（ax+b）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn（a，b∈R，n∈N*）.
（1）当a＝b＝1，n＝6时，求：①a1+a2+a3+…+an的值；②a1+2a2+3a3 +…+nan的值.
（2）当a＝1，b＝-，n＝8时，求（a0+a2+a4+a6+a8）2-（a1+a3+a5+a7）2的值.
◆赋值法研究二项展开式的系数和问题
1.赋值法:因为二项式与它的展开式是关于相应的字母的一个恒等式，也就是字母取任何值（或代数式）仍然恒等，所以当它取某些特殊值时也恒等.因此常根据题目要求，对所给出的恒等式，灵活赋给字母不同的值.
2.常用赋值:要使（ax+b）n的展开式中项的关系变为系数的关系，
（1）令x＝0可得常数项；
（2）令x＝1可得所有项系数之和；
（3）令x＝-1可得奇数项系数之和与偶数项系数之和的差.
1023
C
D
三、与二项式定理有关的整除（余数）问题
例3 ［2020·山西省实验中学高二月考］设a∈Z，且0◆整除或求余数问题的处理方法
1.解决这类问题，可构造一个与题目条件有关的二项式.
2.用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面一、二项（或者是某些项）就可以了.
3.要注意余数的范围，对给定的整数a，b（b≠0），有确定的一对整数q和r，满足a＝bq+r，其中b为除数，r为余数，r∈［0，|b|），利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转换成正数.
C
5
四、与二项式定理有关的近似计算
例4 求0.9986的近似值，使误差小于0.001.
训练题 ［2020·湖北孝感高二期末］1.957的计算结果精确到个位的近似值为 （ ）
A.106 B.107 C.108 D.109
B
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数学-RJ·A-选择性必修第三册
6.3 二项式定理
6.3.2 二项式系数的性质
第六章 计数原理
学习目标
1.掌握展开式中二项式系数的对称性、增减性与最大值.
2.会求二项式系数的和或某些项的系数的和.
重点：学会讨论二项式系数性质的一些方法.
难点：求二项展开式系数的最大项，灵活运用二项式系数的性质解决相关问题.
知识梳理
二项式系数的性质
1.对称性（性质1）
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
事实上，这一性质可直接由＝得到.
直线r＝将函数f（r）＝的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.
2.增减性与最大值（性质2）
因为＝＝即
所以，当，即时，随k的增加而增大；由对称性知，当时，随k的增加而减小.当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值.
3.各二项式系数的和（性质3）
已知（1+x）n＝+x+x2+…+xn，
令x＝1，得2n＝+++…+.
这就是说，（a+b）n的展开式的各二项式系数的和等于2n.
+…+＝2n的背景意义
+…+的展开式左边是n个（1+x）相乘，按照取x的个数，可以将乘积中的项分为（n+1）类：
第1类，n个（1+x）都取1，即取0个x，共有种取法；
第2类，n个（1+x）中，1个取x，其余取1，共有种取法；
第3类，n个（1+x）中，2个取x，其余取1，共有种取法；
…；
第n+1类，n个（1+x）中全部取x，共有种取法.
常考题型
一、展开式中系数最大问题
◆求二项式系数或系数最大的项的一般方法
1.二项式系数与项的系数是两个不同的概念. 二项式系数是组合数，仅与二项式的指数及项数有关，一定为正，而项的系数与二项式的指数、项数及字母的系数均有关，可正可负.
训练题
1.［2020·山西大学附中高二月考］已知二项式（x+3x2）n，若它的二项式系数之和为128，则展开式中系数最大的项是 .
5 103x12或5 103x13
二、二项式系数与项的系数和问题
例2 ［2020·江苏无锡一中高二期中］二项式（ax+b）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn（a，b∈R，n∈N*）.
（1）当a＝b＝1，n＝6时，求：①a1+a2+a3+…+an的值；②a1+2a2+3a3 +…+nan的值.
（2）当a＝1，b＝-，n＝8时，求（a0+a2+a4+a6+a8）2-（a1+a3+a5+a7）2的值.
◆赋值法研究二项展开式的系数和问题
1.赋值法:因为二项式与它的展开式是关于相应的字母的一个恒等式，也就是字母取任何值（或代数式）仍然恒等，所以当它取某些特殊值时也恒等.因此常根据题目要求，对所给出的恒等式，灵活赋给字母不同的值.
2.常用赋值:要使（ax+b）n的展开式中项的关系变为系数的关系，
（1）令x＝0可得常数项；
（2）令x＝1可得所有项系数之和；
（3）令x＝-1可得奇数项系数之和与偶数项系数之和的差.
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三、与二项式定理有关的整除（余数）问题
例3 ［2020·山西省实验中学高二月考］设a∈Z，且0
1.解决这类问题，可构造一个与题目条件有关的二项式.
2.用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面一、二项（或者是某些项）就可以了.
3.要注意余数的范围，对给定的整数a，b（b≠0），有确定的一对整数q和r，满足a＝bq+r，其中b为除数，r为余数，r∈［0，|b|），利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转换成正数.
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四、与二项式定理有关的近似计算
例4 求0.9986的近似值，使误差小于0.001.
训练题 ［2020·湖北孝感高二期末］1.957的计算结果精确到个位的近似值为 （ ）
A.106 B.107 C.108 D.109
B
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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