【课件】6.2 排列与组合-6.2.1 排列 6.2.2 排列数 数学-RJA-选择性必修第三册(共32张PPT)
文档属性
| 名称 | 【课件】6.2 排列与组合-6.2.1 排列 6.2.2 排列数 数学-RJA-选择性必修第三册(共32张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-11 09:40:39 | ||
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文档简介
(共32张PPT)
数学-RJ·A-选择性必修第三册
6.2 排列与组合
6.2.1 排列
6.2.2 排列数
第六章 计数原理
学习目标
1.理解排列、排列数的概念.
2.能利用计数原理推导排列数公式，并掌握排列数公式及其变形，能运用排列数公式熟练地进行相关计算.
3.能熟练地运用排列知识解决一些有关排列的实际问题.
4.通过实例，体验数学知识的形成与发展，学会分析问题、解决问题的方式，培养解决实际问题的能力.
重点：排列的概念，用列举法、树状图列出排列，从简单排列问题的计数过程中体会排列数公式.
难点：对排列要完成的“一件事”的理解，对“一定顺序”的理解.
知识梳理
一、排列的概念
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
【提示】（1）排列的定义中包含两个基本内容：
一是“提取元素”；二是“按一定的顺序排列”.
因此，排列要完成的“一件事”是“取出m个元素，再按顺序排列”.
（2）研究排列问题时，要特别注意，排列是从一些不同元素中任取部分不同元素，这里既没有重复的元素，也没有重复抽取同一元素的情况.
（3）根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.
二、排列数的概念
我们把从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.
三、排列数公式
探究：从n个不同元素中取出m个元素的排列数（m≤n）是多少？
可以先从特殊情况开始探究，例如求排列数，可以这样考虑：
假定有排好顺序的两个空位，如图所示，从n个不同元素中取出2个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到.因此，所有不同填法的种数就是排列数.
现在来计算有多少种填法.完成“填空”这件事
可以分为两个步骤完成：
第1步，填第1个位置的元素，可以从这n个不同元素中任选1个，有n种选法；
第2步，填第2个位置的元素，可以从剩下的（n-1）个元素中任选1个，有（n-1）种选法.
根据分步乘法计数原理，2个空位的填法种数为＝n（n-1）.
同理，求排列数可以按依次填3个空位来考虑，有＝n（n-1）（n-2）.
一般地，求排列数可以按依次填m个空位来考虑：
假定有排好顺序的m个空位，如图所示，从n个不同元素中
取出m个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法
就对应一个排列.因此，所有不同填法的种数就是排列数.
填空可以分为m个步骤完成：
第1步，从n个不同元素中任选1个填在第1位，有n种选法；
第2步，从剩下的（n-1）个元素中任选1个填在第2位，有（n-1）种选法；
第3步，从剩下的（n-2）个元素中任选1个填在第3位，有（n-2）种选法；
……
第m步，从剩下的［n-（m-1）］个元素中任选1个填在第m位，有（n-m+1）种选法.
根据分步乘法计数原理，m个空位的填法种数为
n（n-1）（n-2）…（n-m+1）.
这样，我们就得到公式
＝n（n-1）（n-2）…（n-m+1）.
这里，m，n∈N*，并且m≤n.这个公式叫做排列数公式.
排列数公式的特点：等号右边共m个连续的正整数相乘，其中第一个因数是n，后面每个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1.
根据排列数公式，我们就能方便地计算出从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数.例如，＝5×4＝20，＝8×7×6＝336.
特别地，我们把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列.这时，排列数公式中m＝n，即有
＝n（n-1）（n-2）×…×3×2×1.
也就是说，将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示.于是，n个元素的全排列数公式可以写成＝n！.
另外，我们规定，0！＝1.
事实上，
Amn＝n（n-1）（n-2）…（n-m+1）
＝
＝＝.
因此，排列数公式还可以写成
＝
【提示】（1）在两个排列数公式中，n，m满足的条件都是n，m∈N*，且m≤n.
（2）公式＝的两个作用：
一是当n，m较大时，利用科学计算器计算排列数比较方便；
二是当对含有参数的排列数的式子进行变形和论证时，写成这种形式有利于发现式子之间的关系.
（3）对于阶乘的概念，可以从两个阶乘之间的关系的角度来认识，实际上，较大数的阶乘数一定是较小数的阶乘数的整数倍.
常考题型
一、排列的概念及其简单应用
例1 下列问题哪些可归结为排列问题（不要求计算）？从4个数字3，5，7，9中每次取出两个：①相加；②相减；③相乘；④相除；⑤一个为对数的底数，一个为对数的真数；⑥一个为被开方数，一个为根指数.
【解】从4个不同的数字中，每次取出两个相加、相乘的时候，两个数字交换顺序不影响运算结果，即与元素的顺序无关，所以①③不是排列问题；
相减，相除，一个为对数的底数、一个为对数的真数，一个为被开方数、一个为根指数，进行上述四种操作，两个数字一旦交换顺序，产生的结果就会不同，即与顺序有关，所以②④⑤⑥属于排列问题.
◆判断一个问题是否为排列问题的依据
1.判断一个问题是否为排列问题的依据是是否有顺序，有顺序且是从n个不同元素中任取m（m≤n）个不同元素的问题就是排列，否则就不是排列.
2.检验是否有顺序的方法就是变换其中两个元素的位置，看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序.
C
二、排列数及其应用
1.与排列数有关的计算、化简与证明
【答案】D
D
15
三、排列应用题
1.简单的排列应用题
例4 由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5位数的个数是 （ ）
A.144 B.192 C.216 D.240
【答案】C
◆解无重复数字的排列问题的一般方法
1.解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题.有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子上不排某些元素，解决该类排列问题主要按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子.若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素时，应分类讨论.
2.常用方法：直接法、间接法.
3.注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理.
◆解排列应用题的基本流程
训练题 ［2020·江西临川一中高二月考］有3名大学毕业生，到5个招聘雇员的公司应聘，若每个公司至多招聘一名新雇员，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有 种不同的招聘方案.
60
2.有限制条件的排列应用题
例5 ［2020·湖南常德高二月考］从数字0，1，3，5，7中取出三个不同的数作为系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2+bx+c＝0？其中有实根的一元二次方程有多少个？
◆有限制条件的排列应用问题的两种解法
1.直接法：根据限制条件分解问题，把符合限制条件的方法种数直接计算出来.
2.如果问题的正面分的类较多或正面问题计算较复杂，而反面问题分的类少或计算较简便，往往采用“间接法”.即先不考虑限制条件计算出所有方法种数，然后再剔除不符合限制条件的情况，因而间接法又称为排除法.
训练题
1.［2020·黑龙江大庆实验中学高二月考］若一个四位数的各个数位上的数字相加和为18，则称该数为“完美四位数”，如“4 239”.试问用数字2，3，4，5，6，7，8，9组成的无重复数字且大于4 239的“完美四位数”有（ ）
A.59个 B.66个 C.70个 D.71个
2.4名运动员参加4×100米接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有 （ ）
A.12种 B.14种 C.16种 D.24种
D
B
3.［2020·宁夏石嘴山高二月考］A，B，C三人是班委会中的人员，班委会共有7名成员，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工.
（1）若正、副班长两职只能从A，B，C三人中选两人担任，有多少种分工方案？
（2）若正、副班长两职至少要选A，B，C三人中的一人担任，有多少种分工方案？
四、排列中的“在”与“不在”、“邻”与“不邻”问题
1.“在”与“不在”问题
例6 用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的四位数？
训练题 ［2020·陕西商洛高三月考］将5个人从左至右排成一排，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 （ ）
A.36种 B.42种 C.48种 D.60种
◆位置分析法和元素分析法
这是排列问题中的常见类型，其限制条件主要表现在某元素不排在某个位置上，或某个位置不排某个元素，解决该类排列问题主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位置，若一个位置安排的元素影响到另一个位置的元素时，应分类讨论.解此类问题常用“元素分析法”“位置分析法”.元素分析法即以元素为主，优先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素；位置分析法即以位置为主，优先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置.
B
2.相邻与不相邻问题
例7 ［2020·广东揭阳高二期中］请把“加油了我的国”这六个字随机地排成一排，其中“加”“油”这两个字必须相邻（可以交换顺序），“了”“的”这两个字不能相邻，则不同的排法种数为 （ ）
A.72 B.108 C.144 D.288
【答案】C
◆“捆绑法”与“插空法”
（1）在实际排列问题中，某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看成一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，这种方法称为“捆绑法”，即“相邻元素捆绑法”.
（2）某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插在已排好的元素之间及两端空隙处，这种方法称为“插空法”，即“不相邻元素插空法”.
训练题 ［2020·安师大附中高二期中］有5盆各不相同的菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆法种数是 （ ）
A.12 B.24 C.36 D.48
B
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数学-RJ·A-选择性必修第三册
6.2 排列与组合
6.2.1 排列
6.2.2 排列数
第六章 计数原理
学习目标
1.理解排列、排列数的概念.
2.能利用计数原理推导排列数公式，并掌握排列数公式及其变形，能运用排列数公式熟练地进行相关计算.
3.能熟练地运用排列知识解决一些有关排列的实际问题.
4.通过实例，体验数学知识的形成与发展，学会分析问题、解决问题的方式，培养解决实际问题的能力.
重点：排列的概念，用列举法、树状图列出排列，从简单排列问题的计数过程中体会排列数公式.
难点：对排列要完成的“一件事”的理解，对“一定顺序”的理解.
知识梳理
一、排列的概念
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
【提示】（1）排列的定义中包含两个基本内容：
一是“提取元素”；二是“按一定的顺序排列”.
因此，排列要完成的“一件事”是“取出m个元素，再按顺序排列”.
（2）研究排列问题时，要特别注意，排列是从一些不同元素中任取部分不同元素，这里既没有重复的元素，也没有重复抽取同一元素的情况.
（3）根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.
二、排列数的概念
我们把从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.
三、排列数公式
探究：从n个不同元素中取出m个元素的排列数（m≤n）是多少？
可以先从特殊情况开始探究，例如求排列数，可以这样考虑：
假定有排好顺序的两个空位，如图所示，从n个不同元素中取出2个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到.因此，所有不同填法的种数就是排列数.
现在来计算有多少种填法.完成“填空”这件事
可以分为两个步骤完成：
第1步，填第1个位置的元素，可以从这n个不同元素中任选1个，有n种选法；
第2步，填第2个位置的元素，可以从剩下的（n-1）个元素中任选1个，有（n-1）种选法.
根据分步乘法计数原理，2个空位的填法种数为＝n（n-1）.
同理，求排列数可以按依次填3个空位来考虑，有＝n（n-1）（n-2）.
一般地，求排列数可以按依次填m个空位来考虑：
假定有排好顺序的m个空位，如图所示，从n个不同元素中
取出m个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法
就对应一个排列.因此，所有不同填法的种数就是排列数.
填空可以分为m个步骤完成：
第1步，从n个不同元素中任选1个填在第1位，有n种选法；
第2步，从剩下的（n-1）个元素中任选1个填在第2位，有（n-1）种选法；
第3步，从剩下的（n-2）个元素中任选1个填在第3位，有（n-2）种选法；
……
第m步，从剩下的［n-（m-1）］个元素中任选1个填在第m位，有（n-m+1）种选法.
根据分步乘法计数原理，m个空位的填法种数为
n（n-1）（n-2）…（n-m+1）.
这样，我们就得到公式
＝n（n-1）（n-2）…（n-m+1）.
这里，m，n∈N*，并且m≤n.这个公式叫做排列数公式.
排列数公式的特点：等号右边共m个连续的正整数相乘，其中第一个因数是n，后面每个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1.
根据排列数公式，我们就能方便地计算出从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数.例如，＝5×4＝20，＝8×7×6＝336.
特别地，我们把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列.这时，排列数公式中m＝n，即有
＝n（n-1）（n-2）×…×3×2×1.
也就是说，将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示.于是，n个元素的全排列数公式可以写成＝n！.
另外，我们规定，0！＝1.
事实上，
Amn＝n（n-1）（n-2）…（n-m+1）
＝
＝＝.
因此，排列数公式还可以写成
＝
【提示】（1）在两个排列数公式中，n，m满足的条件都是n，m∈N*，且m≤n.
（2）公式＝的两个作用：
一是当n，m较大时，利用科学计算器计算排列数比较方便；
二是当对含有参数的排列数的式子进行变形和论证时，写成这种形式有利于发现式子之间的关系.
（3）对于阶乘的概念，可以从两个阶乘之间的关系的角度来认识，实际上，较大数的阶乘数一定是较小数的阶乘数的整数倍.
常考题型
一、排列的概念及其简单应用
例1 下列问题哪些可归结为排列问题（不要求计算）？从4个数字3，5，7，9中每次取出两个：①相加；②相减；③相乘；④相除；⑤一个为对数的底数，一个为对数的真数；⑥一个为被开方数，一个为根指数.
【解】从4个不同的数字中，每次取出两个相加、相乘的时候，两个数字交换顺序不影响运算结果，即与元素的顺序无关，所以①③不是排列问题；
相减，相除，一个为对数的底数、一个为对数的真数，一个为被开方数、一个为根指数，进行上述四种操作，两个数字一旦交换顺序，产生的结果就会不同，即与顺序有关，所以②④⑤⑥属于排列问题.
◆判断一个问题是否为排列问题的依据
1.判断一个问题是否为排列问题的依据是是否有顺序，有顺序且是从n个不同元素中任取m（m≤n）个不同元素的问题就是排列，否则就不是排列.
2.检验是否有顺序的方法就是变换其中两个元素的位置，看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序.
C
二、排列数及其应用
1.与排列数有关的计算、化简与证明
【答案】D
D
15
三、排列应用题
1.简单的排列应用题
例4 由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5位数的个数是 （ ）
A.144 B.192 C.216 D.240
【答案】C
◆解无重复数字的排列问题的一般方法
1.解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题.有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子上不排某些元素，解决该类排列问题主要按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子.若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素时，应分类讨论.
2.常用方法：直接法、间接法.
3.注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理.
◆解排列应用题的基本流程
训练题 ［2020·江西临川一中高二月考］有3名大学毕业生，到5个招聘雇员的公司应聘，若每个公司至多招聘一名新雇员，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有 种不同的招聘方案.
60
2.有限制条件的排列应用题
例5 ［2020·湖南常德高二月考］从数字0，1，3，5，7中取出三个不同的数作为系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2+bx+c＝0？其中有实根的一元二次方程有多少个？
◆有限制条件的排列应用问题的两种解法
1.直接法：根据限制条件分解问题，把符合限制条件的方法种数直接计算出来.
2.如果问题的正面分的类较多或正面问题计算较复杂，而反面问题分的类少或计算较简便，往往采用“间接法”.即先不考虑限制条件计算出所有方法种数，然后再剔除不符合限制条件的情况，因而间接法又称为排除法.
训练题
1.［2020·黑龙江大庆实验中学高二月考］若一个四位数的各个数位上的数字相加和为18，则称该数为“完美四位数”，如“4 239”.试问用数字2，3，4，5，6，7，8，9组成的无重复数字且大于4 239的“完美四位数”有（ ）
A.59个 B.66个 C.70个 D.71个
2.4名运动员参加4×100米接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有 （ ）
A.12种 B.14种 C.16种 D.24种
D
B
3.［2020·宁夏石嘴山高二月考］A，B，C三人是班委会中的人员，班委会共有7名成员，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工.
（1）若正、副班长两职只能从A，B，C三人中选两人担任，有多少种分工方案？
（2）若正、副班长两职至少要选A，B，C三人中的一人担任，有多少种分工方案？
四、排列中的“在”与“不在”、“邻”与“不邻”问题
1.“在”与“不在”问题
例6 用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的四位数？
训练题 ［2020·陕西商洛高三月考］将5个人从左至右排成一排，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 （ ）
A.36种 B.42种 C.48种 D.60种
◆位置分析法和元素分析法
这是排列问题中的常见类型，其限制条件主要表现在某元素不排在某个位置上，或某个位置不排某个元素，解决该类排列问题主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位置，若一个位置安排的元素影响到另一个位置的元素时，应分类讨论.解此类问题常用“元素分析法”“位置分析法”.元素分析法即以元素为主，优先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素；位置分析法即以位置为主，优先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置.
B
2.相邻与不相邻问题
例7 ［2020·广东揭阳高二期中］请把“加油了我的国”这六个字随机地排成一排，其中“加”“油”这两个字必须相邻（可以交换顺序），“了”“的”这两个字不能相邻，则不同的排法种数为 （ ）
A.72 B.108 C.144 D.288
【答案】C
◆“捆绑法”与“插空法”
（1）在实际排列问题中，某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看成一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，这种方法称为“捆绑法”，即“相邻元素捆绑法”.
（2）某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插在已排好的元素之间及两端空隙处，这种方法称为“插空法”，即“不相邻元素插空法”.
训练题 ［2020·安师大附中高二期中］有5盆各不相同的菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆法种数是 （ ）
A.12 B.24 C.36 D.48
B
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
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