【课件】7.1 条件概率与全概率公式 数学-RJA-选择性必修第三册 (共29张PPT)
文档属性
| 名称 | 【课件】7.1 条件概率与全概率公式 数学-RJA-选择性必修第三册 (共29张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-11 09:41:16 | ||
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文档简介
(共29张PPT)
数学-RJ·A-选择性必修第三册
7.1 条件概率与全概率公式
第七章 随机变量及其分布
学习目标
1.结合古典概型，了解条件概率的概念，能计算简单随机事件的条件概率.
2.结合古典概型，了解条件概率与事件的独立性的关系.
3.结合古典概型，会利用乘法公式计算概率.
4.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率.
5.了解贝叶斯公式.
重点：利用条件概率公式，乘法公式，全概率公式进行有关的计算.
难点：正确理解条件概率公式与全概率公式.
知识梳理
一、条件概率
一般地，设A，B为两个随机事件，且P（A）>0，我们称
为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
【提示】（1）在条件概率的定义中，事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件下的概率一般是不同的.应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率.
（2）在定义中，要强调P（A）>0.当P（A）＝0时，不能用以上方法定义在事件A发生的条件下事件B发生的概率.对于P（A）＝0的情况，可以从其他角度来定义.
二、条件概率与事件相互独立性的关系
若事件A与B相互独立，即P（AB）＝P（A）P（B），且P（A）>0，则
P（B|A）＝＝＝P（B）；
反之，若P（B|A）＝P（B），且P（A）>0，则
P（B）＝P（AB）＝P（A）P（B），
即事件A与B相互独立.
因此，当P（A）>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P（B|A）＝P（B）.
三、概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则
P（AB）＝P（A）P（B|A）.
我们称上式为概率的乘法公式.
四、全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件BΩ，有
我们称上面的公式为全概率公式.全概率公式是概率论中最基本的公式之一.
【提示】（1）公式的直观作用
由于公式包含了乘法公式P（BAi）＝P（Ai）P（B|Ai），即先有Ai后有B，Ai对B的发生均有一定作用，只有Ai发生了，才有B发生的可能性，Ai是B发生的全部“原因”.因此，我们可视为公式的直观作用是“由因求果”.
（2）运用公式的关键
运用公式的关键是寻找其中的完备事件组A1，A2，…，An，该完备事件组是为了计算P（B）而人为地引入的，选择适当的完备事件组可以使计算大为简化；选择不适当，则不利于问题的解决.
五、贝叶斯公式
贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件BΩ，P（B）>0，有
常考题型
一、求条件概率
例1 某校高三（1）班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一小组有学生10人，共青团员4人.从该班任选一人做学生代表.
（1）求选到的是共青团员的概率；
（2）求选到的既是共青团员又是第一小组学生的概率；
（3）已知选到的是共青团员，求他是第一小组学生的概率.
◆条件概率的判断方法
1.若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率.
2.若题目中没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响了所求事件的概率时，也是条件概率.
训练题
1.［2020·福建宁德高二期末］某校从6名学生干部（其中女生4人，男生2人）中选3人参加学校的汇演活动，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为 （ ）
A. B. C. D.
2.［2020·江西南昌高二期末］某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为 （ ）
A. B. C. D.
3.［2020·重庆大学城第一中学高二期中］若连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055 ，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19，现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为 （ ）
A. B. C. D.0.19
B
A
A
二、概率的乘法公式及其应用
例2 ［2020·山东临沂高二期末］气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大雨的概率为，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为 （ ）
A. B. C. D.
【解析】设“某地区每年七月份刮台风”为事件A，设“某地区每年七月份下大雨”为事件B，则“该地区七月份既刮台风又下大雨”为事件AB.
由题得P（A）＝，P（B|A）＝，由概率的乘法公式得
P（AB）＝P（B|A）P（A）＝×＝.
【答案】B
◆应用乘法公式解应用题的一般步骤
1.首先判断应用题是否可以应用乘法公式求解，即对任意两个事件A与B，是否有P（A）>0；
2.根据已知条件表示出各事件的概率；
3.代入乘法公式P（AB）＝P（A）P（B|A）求出所求的概率.
训练题
1.［2020·福建省莆田第六中学高二期中］已知P（B|A）＝，P（A）＝，则P（AB）＝ .
2.［2020·湖南长沙市明德中学高二月考］有一批种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.7，则在这批种子中，随机抽取一粒，这粒种子能成长为幼苗的概率为 .
0.56
三、条件概率性质的应用
例3 在10 000张有奖储蓄的奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个三等奖，从中依次买两张，求在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率.
◆利用条件概率性质解题的策略
1.分析条件，选择公式：首先看事件B，C是否互斥，若互斥，则选择公式P（B∪ C|A）＝P（B|A）+P（C|A）.
2.分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个（或若干个）互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率.
训练题
1.在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个（摸出第1个不放回），求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率.
2.外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个.第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B，第二个盒子中有红球和白球各5个，第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球，则称试验为成功.求试验成功的概率.
四、全概率公式及其应用
1.用全概率公式求值
例4 已知P（BA）＝0.4，P（B）＝0.2，则P（B）的值为（ ）
A.0.08 B.0.8 C.0.6 D.0.5
【解析】因为P（BA）＝P（A）P（B|A），P（B）＝P（）P（B|），所以P（B）＝P（A）P（B|A）+P（）P（B|）＝P（BA）+P（B）＝0.4+0.2＝0.6.
【答案】C
全概率公式
一般地，如果样本空间为，而A，B为事件，则BA与B是互斥的，且B＝B＝B（A+）＝B，从而P（B）＝P（BA+B）＝P（BA）+P（B）.当P（A）>0且P（）>0时，因为由乘法公式有P（BA）＝P（A）P（B|A），P（B） ＝P（）P（B|），所以P（B）＝P（A）P（B|A）+P（）P（B|）.
训练题 已知P（A）＝0.6，P（B|A）＝0.3，P（B|）＝0.2，则P（B）的值为 .
0.26
2.全概率公式的实际应用
例5 假设某工厂生产的甲、乙、丙三种产品的百分率和三种产品的优质率的信息如下表所示：
产品种类 甲 乙 丙
百分率 60% 20% 20%
优质率 90% 85% 80%
在生产的产品中任取一件，求取到的产品是优质品的概率.
【解】用A1，A2，A3表示甲、乙、丙产品，B表示优质品，
由已知得P（A1）＝60%，P（A2）＝20%，P（A3）＝20%，
且P（B|A1）＝90%，P（B|A2）＝85%，P（B|A3）＝80%，
因此由全概率公式有P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+
P（A3）·P（B|A3）＝60%×90%+20%×85%+20%×80%＝54%+17%+16%＝87%.
◆应用全概率公式解题的思路和步骤
1. 在实际问题中，由于随机事件的复杂性，有时很难直接求得事件B发生的概率，因此我们可以分析事件B发生的各种可能情形，化整为零地去分解事件B，然后借助于全概率公式间接求出事件B发生的概率.
2.使用全概率公式解决实际问题的步骤：
（1）用字母表示分拆事件和所求事件；
（2）按照某种标准，将所求的复杂事件表示为两两互斥事件的并；
（3）使用加法公式和乘法公式求得复杂事件的概率.
训练题 某班参加数学和物理两科竞赛，参加数学和物理竞赛的人数分别为20，15，其中参加数学竞赛的人中女生占，参加物理竞赛的人中女生占，求选取一位同学恰好是女生的概率.
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数学-RJ·A-选择性必修第三册
7.1 条件概率与全概率公式
第七章 随机变量及其分布
学习目标
1.结合古典概型，了解条件概率的概念，能计算简单随机事件的条件概率.
2.结合古典概型，了解条件概率与事件的独立性的关系.
3.结合古典概型，会利用乘法公式计算概率.
4.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率.
5.了解贝叶斯公式.
重点：利用条件概率公式，乘法公式，全概率公式进行有关的计算.
难点：正确理解条件概率公式与全概率公式.
知识梳理
一、条件概率
一般地，设A，B为两个随机事件，且P（A）>0，我们称
为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
【提示】（1）在条件概率的定义中，事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件下的概率一般是不同的.应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率.
（2）在定义中，要强调P（A）>0.当P（A）＝0时，不能用以上方法定义在事件A发生的条件下事件B发生的概率.对于P（A）＝0的情况，可以从其他角度来定义.
二、条件概率与事件相互独立性的关系
若事件A与B相互独立，即P（AB）＝P（A）P（B），且P（A）>0，则
P（B|A）＝＝＝P（B）；
反之，若P（B|A）＝P（B），且P（A）>0，则
P（B）＝P（AB）＝P（A）P（B），
即事件A与B相互独立.
因此，当P（A）>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P（B|A）＝P（B）.
三、概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则
P（AB）＝P（A）P（B|A）.
我们称上式为概率的乘法公式.
四、全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件BΩ，有
我们称上面的公式为全概率公式.全概率公式是概率论中最基本的公式之一.
【提示】（1）公式的直观作用
由于公式包含了乘法公式P（BAi）＝P（Ai）P（B|Ai），即先有Ai后有B，Ai对B的发生均有一定作用，只有Ai发生了，才有B发生的可能性，Ai是B发生的全部“原因”.因此，我们可视为公式的直观作用是“由因求果”.
（2）运用公式的关键
运用公式的关键是寻找其中的完备事件组A1，A2，…，An，该完备事件组是为了计算P（B）而人为地引入的，选择适当的完备事件组可以使计算大为简化；选择不适当，则不利于问题的解决.
五、贝叶斯公式
贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件BΩ，P（B）>0，有
常考题型
一、求条件概率
例1 某校高三（1）班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一小组有学生10人，共青团员4人.从该班任选一人做学生代表.
（1）求选到的是共青团员的概率；
（2）求选到的既是共青团员又是第一小组学生的概率；
（3）已知选到的是共青团员，求他是第一小组学生的概率.
◆条件概率的判断方法
1.若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率.
2.若题目中没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响了所求事件的概率时，也是条件概率.
训练题
1.［2020·福建宁德高二期末］某校从6名学生干部（其中女生4人，男生2人）中选3人参加学校的汇演活动，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为 （ ）
A. B. C. D.
2.［2020·江西南昌高二期末］某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为 （ ）
A. B. C. D.
3.［2020·重庆大学城第一中学高二期中］若连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055 ，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19，现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为 （ ）
A. B. C. D.0.19
B
A
A
二、概率的乘法公式及其应用
例2 ［2020·山东临沂高二期末］气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大雨的概率为，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为 （ ）
A. B. C. D.
【解析】设“某地区每年七月份刮台风”为事件A，设“某地区每年七月份下大雨”为事件B，则“该地区七月份既刮台风又下大雨”为事件AB.
由题得P（A）＝，P（B|A）＝，由概率的乘法公式得
P（AB）＝P（B|A）P（A）＝×＝.
【答案】B
◆应用乘法公式解应用题的一般步骤
1.首先判断应用题是否可以应用乘法公式求解，即对任意两个事件A与B，是否有P（A）>0；
2.根据已知条件表示出各事件的概率；
3.代入乘法公式P（AB）＝P（A）P（B|A）求出所求的概率.
训练题
1.［2020·福建省莆田第六中学高二期中］已知P（B|A）＝，P（A）＝，则P（AB）＝ .
2.［2020·湖南长沙市明德中学高二月考］有一批种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.7，则在这批种子中，随机抽取一粒，这粒种子能成长为幼苗的概率为 .
0.56
三、条件概率性质的应用
例3 在10 000张有奖储蓄的奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个三等奖，从中依次买两张，求在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率.
◆利用条件概率性质解题的策略
1.分析条件，选择公式：首先看事件B，C是否互斥，若互斥，则选择公式P（B∪ C|A）＝P（B|A）+P（C|A）.
2.分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个（或若干个）互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率.
训练题
1.在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个（摸出第1个不放回），求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率.
2.外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个.第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B，第二个盒子中有红球和白球各5个，第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球，则称试验为成功.求试验成功的概率.
四、全概率公式及其应用
1.用全概率公式求值
例4 已知P（BA）＝0.4，P（B）＝0.2，则P（B）的值为（ ）
A.0.08 B.0.8 C.0.6 D.0.5
【解析】因为P（BA）＝P（A）P（B|A），P（B）＝P（）P（B|），所以P（B）＝P（A）P（B|A）+P（）P（B|）＝P（BA）+P（B）＝0.4+0.2＝0.6.
【答案】C
全概率公式
一般地，如果样本空间为，而A，B为事件，则BA与B是互斥的，且B＝B＝B（A+）＝B，从而P（B）＝P（BA+B）＝P（BA）+P（B）.当P（A）>0且P（）>0时，因为由乘法公式有P（BA）＝P（A）P（B|A），P（B） ＝P（）P（B|），所以P（B）＝P（A）P（B|A）+P（）P（B|）.
训练题 已知P（A）＝0.6，P（B|A）＝0.3，P（B|）＝0.2，则P（B）的值为 .
0.26
2.全概率公式的实际应用
例5 假设某工厂生产的甲、乙、丙三种产品的百分率和三种产品的优质率的信息如下表所示：
产品种类 甲 乙 丙
百分率 60% 20% 20%
优质率 90% 85% 80%
在生产的产品中任取一件，求取到的产品是优质品的概率.
【解】用A1，A2，A3表示甲、乙、丙产品，B表示优质品，
由已知得P（A1）＝60%，P（A2）＝20%，P（A3）＝20%，
且P（B|A1）＝90%，P（B|A2）＝85%，P（B|A3）＝80%，
因此由全概率公式有P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+
P（A3）·P（B|A3）＝60%×90%+20%×85%+20%×80%＝54%+17%+16%＝87%.
◆应用全概率公式解题的思路和步骤
1. 在实际问题中，由于随机事件的复杂性，有时很难直接求得事件B发生的概率，因此我们可以分析事件B发生的各种可能情形，化整为零地去分解事件B，然后借助于全概率公式间接求出事件B发生的概率.
2.使用全概率公式解决实际问题的步骤：
（1）用字母表示分拆事件和所求事件；
（2）按照某种标准，将所求的复杂事件表示为两两互斥事件的并；
（3）使用加法公式和乘法公式求得复杂事件的概率.
训练题 某班参加数学和物理两科竞赛，参加数学和物理竞赛的人数分别为20，15，其中参加数学竞赛的人中女生占，参加物理竞赛的人中女生占，求选取一位同学恰好是女生的概率.
知易行难，重在行动
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