【课件】7.3 离散型随机变量的数字特征-7.3.1 离散型随机变量的均值 数学-RJA-选择性必修第三册(共32张PPT)
文档属性
| 名称 | 【课件】7.3 离散型随机变量的数字特征-7.3.1 离散型随机变量的均值 数学-RJA-选择性必修第三册(共32张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-11 09:47:00 | ||
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文档简介
(共32张PPT)
数学-RJ·A-选择性必修第三册
7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.1 离散型随机变量的均值
第七章 随机变量及其分布
学习目标
1.通过具体实例，理解离散型随机变量的均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.
2.理解离散型随机变量的均值的性质.
3.掌握两点分布的均值.
4.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关问题.
重点：理解离散型随机变量的均值的含义.
难点：利用离散型随机变量的均值解决实际问题.
知识梳理
一、离散型随机变量的均值
对离散型随机变量的均值的理解
（1）离散型随机变量的均值是刻画离散型随机变量取值的平均水平的指标.
（2）由定义可知离散型随机变量的均值与它本身有相同的单位.
（3）均值是一个常数，在大量试验下，它总是稳定的，不具有随机性.
二、两点分布的均值
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么
E（X）＝0×（1-p）+1×p＝p.
三、随机变量的均值与样本均值的关系
随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动.随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小.因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值.
四、均值的性质
设X的分布列为 P（X＝xi）＝pi，i＝1，2，…，n.
根据随机变量均值的定义，
E（X+b）＝（x1+b）p1+（x2+b）p2+…+（xn+b）pn
＝（x1p1+x2p2+…+xnpn）+b（p1+p2+…+pn）
＝E（X）+b.
类似地，可以证明 E（aX）＝aE（X）.
一般地，下面的结论成立：
E（aX+b）＝aE（X）+b.
常考题型
一 、离散型随机变量的均值及其应用
1.求离散型随机变量的均值
例1 ［2020·宁夏石嘴山市第三中学高考模拟］某滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.
（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E（ξ）.
◆求解离散型随机变量均值的一般步骤
1.判断取值：即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义.
2.探求概率：即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率.
3.写分布列：即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确.
4.求均值：一般利用离散型随机变量的均值的定义求均值.
训练题
1.［2020·山东威海高二期末］从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用X表示所选3人中女生的人数，则E（X）为 （ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
2.［2020·北京昌平区高二期末］端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有6个粽子，其中豆沙粽1个，肉粽2个，白粽3个，这三种粽子的外观完全相同.
（1）从中不放回的任取3个，记X表示取到的肉粽个数，求X的分布列和E（X）；
（2）从中有放回的任取3个，记Y表示取到的肉粽个数，求P（Y≥2）；
（3）比较E（X）与E（Y）的大小（只需写出结论）.
◆已知均值求参数的方法
利用分布列的性质以及均值的计算公式建立方程组求解.
D
A
二、均值的线性性质及其应用
【解析】由题意，根据离散型随机变量的分布列的性质，可得0.4+2k+k＝1，解得k＝0.2，所以均值为E（ξ）＝0×0.4+1×0.4+2×0.2＝0.8.又随机变量η＝3ξ+1，所以E（η）＝3E（ξ）+1＝3×0.8+1＝3.4.
【答案】B
◆均值性质的特殊情况
1.当a＝0时，E（b）＝b，即常数的均值就是这个常数本身；
2.当a＝1时，E（X+b）＝E（X）+b，即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数之和；
3.当b＝0时，E（aX）＝aE（X），即常数与随机变量X乘积的均值等于这个常数与X的均值的乘积.
A
B
三、均值在决策问题中的应用
例4 ［2020·江苏徐州高二期末］农机公司出售收割机，一台收割机的使用寿命为五年，在农机公司购买收割机时可以一次性额外购买若干次维修服务，费用为每次100元，每次维修时公司维修人员均上门服务，实际上门服务时还需支付维修人员的餐饮费50元/次；若实际维修次数少于购买的维修次数，则未提供服务的订购费用退还50%；若维修次数超过了购买的次数，农机公司不再提供服务，收割机的维修只能到私人维修店，每次维修费用为400元，无须支付餐饮费.一位农机手在购买收割机时，需决策一次性购买多少次维修服务.
【解】（1）购买6次维修，而实际维修次数为5次时的维修总费用为6×100-50 +5×50＝800（元）；
购买6次维修，而实际维修次数为8次时的维修总费用为6×100+50× 6+2×400＝1 700（元）.
（2）若购买6次维修，
实际维修次数为6次时的维修总费用为6×100+6×50＝900（元）；
实际维修次数为7次时的维修总费用为900+400＝1 300（元）；
实际维修次数为9次时的维修总费用为1 700+400＝2 100（元）.
◆随机变量的均值在决策问题中的应用
1.在一些决策问题中，会有很多可供选择的方案，比较随机变量的均值就是其中的一种方法.
2.均值体现了随机变量取值的平均大小，因此，利用均值的意义可以分析、解决实际问题.
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数学-RJ·A-选择性必修第三册
7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.1 离散型随机变量的均值
第七章 随机变量及其分布
学习目标
1.通过具体实例，理解离散型随机变量的均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.
2.理解离散型随机变量的均值的性质.
3.掌握两点分布的均值.
4.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关问题.
重点：理解离散型随机变量的均值的含义.
难点：利用离散型随机变量的均值解决实际问题.
知识梳理
一、离散型随机变量的均值
对离散型随机变量的均值的理解
（1）离散型随机变量的均值是刻画离散型随机变量取值的平均水平的指标.
（2）由定义可知离散型随机变量的均值与它本身有相同的单位.
（3）均值是一个常数，在大量试验下，它总是稳定的，不具有随机性.
二、两点分布的均值
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么
E（X）＝0×（1-p）+1×p＝p.
三、随机变量的均值与样本均值的关系
随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动.随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小.因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值.
四、均值的性质
设X的分布列为 P（X＝xi）＝pi，i＝1，2，…，n.
根据随机变量均值的定义，
E（X+b）＝（x1+b）p1+（x2+b）p2+…+（xn+b）pn
＝（x1p1+x2p2+…+xnpn）+b（p1+p2+…+pn）
＝E（X）+b.
类似地，可以证明 E（aX）＝aE（X）.
一般地，下面的结论成立：
E（aX+b）＝aE（X）+b.
常考题型
一 、离散型随机变量的均值及其应用
1.求离散型随机变量的均值
例1 ［2020·宁夏石嘴山市第三中学高考模拟］某滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.
（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E（ξ）.
◆求解离散型随机变量均值的一般步骤
1.判断取值：即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义.
2.探求概率：即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率.
3.写分布列：即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确.
4.求均值：一般利用离散型随机变量的均值的定义求均值.
训练题
1.［2020·山东威海高二期末］从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用X表示所选3人中女生的人数，则E（X）为 （ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
2.［2020·北京昌平区高二期末］端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有6个粽子，其中豆沙粽1个，肉粽2个，白粽3个，这三种粽子的外观完全相同.
（1）从中不放回的任取3个，记X表示取到的肉粽个数，求X的分布列和E（X）；
（2）从中有放回的任取3个，记Y表示取到的肉粽个数，求P（Y≥2）；
（3）比较E（X）与E（Y）的大小（只需写出结论）.
◆已知均值求参数的方法
利用分布列的性质以及均值的计算公式建立方程组求解.
D
A
二、均值的线性性质及其应用
【解析】由题意，根据离散型随机变量的分布列的性质，可得0.4+2k+k＝1，解得k＝0.2，所以均值为E（ξ）＝0×0.4+1×0.4+2×0.2＝0.8.又随机变量η＝3ξ+1，所以E（η）＝3E（ξ）+1＝3×0.8+1＝3.4.
【答案】B
◆均值性质的特殊情况
1.当a＝0时，E（b）＝b，即常数的均值就是这个常数本身；
2.当a＝1时，E（X+b）＝E（X）+b，即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数之和；
3.当b＝0时，E（aX）＝aE（X），即常数与随机变量X乘积的均值等于这个常数与X的均值的乘积.
A
B
三、均值在决策问题中的应用
例4 ［2020·江苏徐州高二期末］农机公司出售收割机，一台收割机的使用寿命为五年，在农机公司购买收割机时可以一次性额外购买若干次维修服务，费用为每次100元，每次维修时公司维修人员均上门服务，实际上门服务时还需支付维修人员的餐饮费50元/次；若实际维修次数少于购买的维修次数，则未提供服务的订购费用退还50%；若维修次数超过了购买的次数，农机公司不再提供服务，收割机的维修只能到私人维修店，每次维修费用为400元，无须支付餐饮费.一位农机手在购买收割机时，需决策一次性购买多少次维修服务.
【解】（1）购买6次维修，而实际维修次数为5次时的维修总费用为6×100-50 +5×50＝800（元）；
购买6次维修，而实际维修次数为8次时的维修总费用为6×100+50× 6+2×400＝1 700（元）.
（2）若购买6次维修，
实际维修次数为6次时的维修总费用为6×100+6×50＝900（元）；
实际维修次数为7次时的维修总费用为900+400＝1 300（元）；
实际维修次数为9次时的维修总费用为1 700+400＝2 100（元）.
◆随机变量的均值在决策问题中的应用
1.在一些决策问题中，会有很多可供选择的方案，比较随机变量的均值就是其中的一种方法.
2.均值体现了随机变量取值的平均大小，因此，利用均值的意义可以分析、解决实际问题.
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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