【课件】7.3 离散型随机变量的数字特征-7.3.2 离散型随机变量的方差 数学-RJA-选择性必修第三册 (共27张PPT)
文档属性
| 名称 | 【课件】7.3 离散型随机变量的数字特征-7.3.2 离散型随机变量的方差 数学-RJA-选择性必修第三册 (共27张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-11 09:47:49 | ||
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文档简介
(共27张PPT)
数学-RJ·A-选择性必修第三册
7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.2 离散型随机变量的方差
第七章 随机变量及其分布
学习目标
1.通过具体实例，理解取有限值的离散型随机变量的方差与标准差的概念.
2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.
3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法.
重点：离散型随机变量的方差的含义.
难点：利用离散型随机变量的方差解决实际问题.
知识梳理
一、离散型随机变量的方差及其计算公式
设离散型随机变量X的分布列如下表所示.
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
考虑X所有可能取值xi与E（X）的偏差的平方（x1-E（X））2，（x2-E（X））2，
…，（xn-E（X））2.因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于
取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E（X）的偏离程度.
我们称
为随机变量X的方差，有时也记为Var（X），
并称为随机变量X的标准差，记为σ（X）.
对随机变量X的方差、标准差的理解
（1）随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性以及波动、集中与离散程度.
（2）D（X）越小，随机变量X取值的稳定性越高，波动越小.
（3）方差的单位是随机变量单位的平方，而标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛.
在方差的计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化.
二、方差的性质
离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，
即D（X+b）＝D（X）.
而离散型随机变量X乘以一个常数a，其方差变为原方差的a2倍，即D（aX）＝a2D（X）.
一般地，可以证明下面的结论成立：
D（aX+b）＝a2D（X）.
常考题型
一、离散型随机变量的方差及其应用
（1）在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求D（Y1）和D（Y2）.
（2）将x（0≤x≤100）万元投资A项目，（100-x）万元投资B项目，f（x）表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差之和，求f（x）的最小值，并指出当x为何值时，f（x）取得最小值.
【解】（1）E（Y1）＝5%×100×0.8+10%×100×0.2＝6，
D（Y1）＝（5%×100-6）2×0.8+（10%×100-6）2×0.2＝4；
E（Y2）＝2%×100×0.2+8%×100×0.5+12%×100×0.3＝8，
D（Y2）＝（2%×100-8）2×0.2+（8%×100-8）2×0.5+（12%×100-8）2 ×0.3 ＝12.
◆求离散型随机变量方差的步骤
1.明确随机变量的可能取值及每一个值的试验结果；
2.求出随机变量各取值对应的概率；
3.写出随机变量的分布列；
4.求出随机变量的均值；
5.代入随机变量方差的公式求出方差.
C
◆已知方差求参数的方法
1.根据题目条件中给出的分布列，可以列出参数之间的关系.
2.根据期望和方差的值可以得到参数的关系.
3.联立可得关于参数的方程（组）.
4.解方程（组）即可求得参数值.
A
D
二、方差的性质及应用
训练题
1.［2020·广东中山高二期末］已知X是离散型随机变量，P（X＝1）＝，P（X＝a）＝，E（X）＝，则D（2X-1）＝ （ ）
A. B. C. D.
2.［2020·山西长治二中高二期中］若随机变量ξ满足E（1-ξ）＝4，D（1-ξ）＝4，则下列说法正确的是 （ ）
A.E（ξ）＝-4，D（ξ）＝4 B.E（ξ）＝-3，D（ξ）＝3
C.E（ξ）＝-4，D（ξ）＝-4 D.E（ξ）＝-3，D（ξ）＝4
B
D
三、两点分布的方差
【解析】D（X）＝（1-p）p＝，整理得p2-p＝0.
又0【答案】C
C
A
四、方差在决策问题中的应用
例5 ［2020·广东揭阳高二期末］某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研.项目A：通信设备.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利40%、亏损20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，a.
项目B：新能源汽车.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b，c.
经测算，当投入A，B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益（即数学期望）也相等.
（1）求a，b，c的值；
（2） 若将100万元全部投到其中的一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
◆方差在决策问题中的应用
在一些决策问题中，均值仅体现了随机变量取值的平均水平，方差说明随机变量取值的离散程度，因此，利用均值和方差的意义可以分析、解决实际问题.
训练题 ［2020·河北安平中学高二期中］设甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数均大于6，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.
（1）求ξ，η的分布列；
（2）求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术.
解：（1）由题意得0.5+3a+a+0.1＝1，
解得a＝0.1.
因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，
所以乙射中7环的概率为1-（0.3+0.3+0.2）＝0.2.
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数学-RJ·A-选择性必修第三册
7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.2 离散型随机变量的方差
第七章 随机变量及其分布
学习目标
1.通过具体实例，理解取有限值的离散型随机变量的方差与标准差的概念.
2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.
3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法.
重点：离散型随机变量的方差的含义.
难点：利用离散型随机变量的方差解决实际问题.
知识梳理
一、离散型随机变量的方差及其计算公式
设离散型随机变量X的分布列如下表所示.
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
考虑X所有可能取值xi与E（X）的偏差的平方（x1-E（X））2，（x2-E（X））2，
…，（xn-E（X））2.因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于
取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E（X）的偏离程度.
我们称
为随机变量X的方差，有时也记为Var（X），
并称为随机变量X的标准差，记为σ（X）.
对随机变量X的方差、标准差的理解
（1）随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性以及波动、集中与离散程度.
（2）D（X）越小，随机变量X取值的稳定性越高，波动越小.
（3）方差的单位是随机变量单位的平方，而标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛.
在方差的计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化.
二、方差的性质
离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，
即D（X+b）＝D（X）.
而离散型随机变量X乘以一个常数a，其方差变为原方差的a2倍，即D（aX）＝a2D（X）.
一般地，可以证明下面的结论成立：
D（aX+b）＝a2D（X）.
常考题型
一、离散型随机变量的方差及其应用
（1）在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求D（Y1）和D（Y2）.
（2）将x（0≤x≤100）万元投资A项目，（100-x）万元投资B项目，f（x）表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差之和，求f（x）的最小值，并指出当x为何值时，f（x）取得最小值.
【解】（1）E（Y1）＝5%×100×0.8+10%×100×0.2＝6，
D（Y1）＝（5%×100-6）2×0.8+（10%×100-6）2×0.2＝4；
E（Y2）＝2%×100×0.2+8%×100×0.5+12%×100×0.3＝8，
D（Y2）＝（2%×100-8）2×0.2+（8%×100-8）2×0.5+（12%×100-8）2 ×0.3 ＝12.
◆求离散型随机变量方差的步骤
1.明确随机变量的可能取值及每一个值的试验结果；
2.求出随机变量各取值对应的概率；
3.写出随机变量的分布列；
4.求出随机变量的均值；
5.代入随机变量方差的公式求出方差.
C
◆已知方差求参数的方法
1.根据题目条件中给出的分布列，可以列出参数之间的关系.
2.根据期望和方差的值可以得到参数的关系.
3.联立可得关于参数的方程（组）.
4.解方程（组）即可求得参数值.
A
D
二、方差的性质及应用
训练题
1.［2020·广东中山高二期末］已知X是离散型随机变量，P（X＝1）＝，P（X＝a）＝，E（X）＝，则D（2X-1）＝ （ ）
A. B. C. D.
2.［2020·山西长治二中高二期中］若随机变量ξ满足E（1-ξ）＝4，D（1-ξ）＝4，则下列说法正确的是 （ ）
A.E（ξ）＝-4，D（ξ）＝4 B.E（ξ）＝-3，D（ξ）＝3
C.E（ξ）＝-4，D（ξ）＝-4 D.E（ξ）＝-3，D（ξ）＝4
B
D
三、两点分布的方差
【解析】D（X）＝（1-p）p＝，整理得p2-p＝0.
又0
C
A
四、方差在决策问题中的应用
例5 ［2020·广东揭阳高二期末］某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研.项目A：通信设备.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利40%、亏损20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，a.
项目B：新能源汽车.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b，c.
经测算，当投入A，B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益（即数学期望）也相等.
（1）求a，b，c的值；
（2） 若将100万元全部投到其中的一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
◆方差在决策问题中的应用
在一些决策问题中，均值仅体现了随机变量取值的平均水平，方差说明随机变量取值的离散程度，因此，利用均值和方差的意义可以分析、解决实际问题.
训练题 ［2020·河北安平中学高二期中］设甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数均大于6，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.
（1）求ξ，η的分布列；
（2）求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术.
解：（1）由题意得0.5+3a+a+0.1＝1，
解得a＝0.1.
因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，
所以乙射中7环的概率为1-（0.3+0.3+0.2）＝0.2.
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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