江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编：导数及其应用

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编
导数及其应用
1、（南通市2013届高三期末）曲线在点(1，f(1))处的切线方程为 ▲ ．
答案：．
2、（苏州市2013届高三期末）过坐标原点作函数图像的切线，则切线斜率为 ．
答案：
3、（泰州市2013届高三期末）曲线y=2lnx在点（e,2）处的切线与y轴交点的坐标为
(0,0)
4、（扬州市2013届高三期末）已知函数（）在区间上取得最小值4，则 ▲ ．
5、（常州市2013届高三期末）第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD，，．a，b为常数且满足.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块建游客休息区（点E，F分别在线段AB，AD上），且该直角三角形AEF的周长为（），如图．设，△的面积为．
（1）求关于的函数关系式；
（2）试确定点E的位置，使得直角三角形地
块的面积最大，并求出的最大值．
解：（1）设，则，整理，得．………3分
，． …………………………………4分
（2）
当时，，在递增，故当时，；
当时，在上，，递增，在上，，递减，故当时，.
6、（连云港市2013届高三期末）（连云港市2013届高三期末）某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元.
(1)请你分析该单位能否采用函数模型y＝0.05(x2+4x+8)作为报销方案；
(2)若该单位决定采用函数模型y＝x(2lnx+a(a为常数)作为报销方案，请你确定整数的值．(参考数据：ln2(0.69，ln10(2.3)
【解】(1)函数y=0.05(x2+4x+8)在[2,10]上是增函数，满足条件①， ……………2分
当x=10时,y有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件③. ………………………4分
但当x=3时,y=<,即y(不恒成立,不满足条件②,
故该函数模型不符合该单位报销方案. ………………………6分
(2)对于函数模型y=x(2lnx+a，设f(x)= x(2lnx+a，则f ′(x)=1(=(0.
所以f(x)在[2，10]上是增函数，满足条件①，
由条件②，得x(2lnx+a(，即a(2lnx(在x([2，10]上恒成立，
令g(x)=2lnx(，则g′(x)==，由g′(x)>0得x<4，
(g(x)在(0，4)上增函数，在(4，10)上是减函数.
(a(g(4)=2ln4(2=4ln2(2. ………………10分
由条件③，得f(10)=10(2ln10+a(8，解得a(2ln10(2. ……………………12分
另一方面，由x(2lnx+a(x，得a(2lnx在x([2，10]上恒成立,
(a(2ln2,
综上所述，a的取值范围为[4ln2(2，2ln2]，
所以满足条件的整数a的值为1. ……………14分
7、（南京市、盐城市2013届高三期末）对于定义在区间上的函数, 若任给, 均有, 则称函数在区间上封闭.
试判断在区间上是否封闭, 并说明理由；
若函数在区间上封闭, 求实数的取值范围；
若函数在区间上封闭, 求的值.
解: (1)在区间上单调递增,所以的值域为[-3,0]………2分
而[-1,0],所以在区间上不是封闭的……………… 4分
(2)因为,
①当时,函数的值域为,适合题意……………5分
②当时,函数在区间上单调递减,故它的值域为,
由,得,解得,故……………………7分
③当时,在区间上有,显然不合题意 …………………8分
综上所述, 实数的取值范围是……………………………9分
(3)因为,所以,
所以在上单调递减,在上递增,在上递增.
①当时,在区间上递增,所以,此时无解………10分
②当时,因,矛盾,不合题意…………11分
③当时,因为都在函数的值域内,故,
又,解得,从而 ………12分
④当时,在区间上递减, (*),
而,经检验,均不合(*)式……………………………13分
⑤当时,因,矛盾,不合题意…………14分
⑥当时,在区间上递增,所以,此时无解 ……………15分
综上所述,所求整数的值为…………………16分
8、（南通市2013届高三期末）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，为长方形薄板，沿AC折叠后，交DC于点P．当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形的面积最大时制冷效果最好．
（1）设AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？
（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？
解：（1）由题意，，．因，故． …………2分
设，则．
因△≌△，故．
由 ，得 ，．……5分
（2）记△的面积为，则
………………………………………………………………6分
，
当且仅当∈(1，2)时，S1取得最大值．……………………………………8分
故当薄板长为米，宽为米时，节能效果最好． ……………………9分
（3）记△的面积为，则
，．…………………………10分
于是，．……………………………11分
关于的函数在上递增，在上递减．
所以当时，取得最大值． …………………………13分
故当薄板长为米，宽为米时，制冷效果最好． ………………………14分
9、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知函数
求函数在点处的切线方程；
求函数单调区间；
若存在，使得是自然对数的底数），求实数的取值范围.
⑴因为函数，
所以，，…………………………………………2分
又因为，所以函数在点处的切线方程为． …………4分
⑵由⑴，．
因为当时，总有在上是增函数， ………………………………8分
又，所以不等式的解集为，
故函数的单调增区间为．………………………………………………10分
⑶因为存在，使得成立，
而当时，，
所以只要即可．……………………………………………12分
又因为，，的变化情况如下表所示：
减函数
极小值
增函数
所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值，的最大值为和中的最大值．
因为，
令，因为，
所以在上是增函数．
而，故当时，，即；
当时，，即．………………………………………14分
所以，当时，，即，函数在上是增函数，解得；当时，，即，函数在上是减函数，解得．
综上可知，所求的取值范围为．………………………………16分
10、（泰州市2013届高三期末）已知函数f(x)=(x-a),a,b为常数，
（1）若a ,求证：函数f(x)存在极大值和极小值
（2）设（1）中?f(x)?取得极大值、极小值时自变量的分别为，令点A )，B ),如果直线AB的斜率为，求函数f(x)和的公共递减区间的长度
（3）若对于一切?恒成立，求实数m,a,b满足的条件
解：（1） …………………………………………………1分
有两不等 b和
f（x）存在极大值和极小值 ……………………………….……………………………4分
（2）①若a=b，f（x）不存在减区间
②若a>b时由（1）知x1=b，x2=
A（b,0）B

当ax1=,x2=b。
同理可得a-b=(舍)
综上a-b=………………………………………………..………………………….7分
的减区间为即（b,b+1），（x）减区间为
∴公共减区间为（b，b+）长度为…………………………….……………………10分
（3）
若，则左边是一个一次因式，乘以一个恒正（或恒负）的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，因此不可能恒非负。
…………………………………………………………………………………12分
若a+2b=0，，=0，
若 则 ，
①b=0 则a<0，
②b0 且b<0
综上 ………………………………………………………………..16分
11、（无锡市2013届高三期末）已知函数f（x）=ax2+1，g（x）=x3+bx，其中a>0，b>0．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点P（2，c）处有相同的切线（P为切点），
求a，b的值；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）的单调递减区间为[]，求：
（1）函数h（x）在区间（一∞，-1]上的最大值M（a）；
（2）若|h（x）|≤3，在x∈[-2，0]上恒成立，求a的取值范围。

12、（扬州市2013届高三期末）　已知,函数R)图象上相异两点处的切线分别为，
且∥.
（1）判断函数的奇偶性；并判断是否关于原点对称；
（2）若直线都与垂直，求实数的取值范围.
解：（1），……2分
为奇函数.……3分
设且,又，……5分
在两个相异点处的切线分别为,且∥，
，
又，，……6分　　又为奇函数，
点关于原点对称．……7分
由（1）知，　　，……8分
又在A处的切线的斜率， 直线都与垂直,
，……9分
令，即方程有非负实根，……10分
，又 ， ．综上．……14分