8.6.2 直线与平面垂直（第二课时）同步练习-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（Word含答案解析）

8.6.2 直线与平面垂直（第二课时）（同步练习）
1.空间中直线l和三角形ABC所在的平面垂直，则这条直线和三角形的边AB位置关系是(　)
A．平行 B．垂直
C．相交 D．不确定
2.若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为(　　)
①a⊥α，b∥α a⊥b；②a⊥α，a⊥b b∥α；③a∥α，a⊥b b⊥α；④a⊥α，b⊥α a∥b.
A．1 B．2
C．3 D．0
3.若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线(　　)
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上皆有可能
4.如图，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：
①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.
其中成立的有(　　)
A．①与② B．①与③
C．②与③ D．③与④
5.给出下列三个命题：
①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；
②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；
③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直．
其中正确的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
6.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别
为G，H. 为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是(　　)
A．EF⊥平面α B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE D．PQ⊥FH
7.在长方体ABCD －A1B1C1D1中，E∈平面ABCD，F∈平面A1B1C1D1，且EF⊥平面ABCD，则EF与AA1的位置关系是________
8.如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________
9.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．
10.在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，则ED＝________
11.α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF.现有下列条件：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC∥EF.　 其中能成为增加条件的序号是______
12.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°.已知PB＝PD＝2，PA＝.
(1)证明：PC⊥BD；
(2)若E为PA的中点，求三棱锥P－BCE的体积．
13.如图，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED，FB＝a.
(1)证明：EB⊥FD；
(2)求点B到平面FED的距离．
14.过△ABC各边的中点D，E，F分别作各边的垂面，这三个垂面能否交于同一条直线？若能，这条直线有何特点？若不能，请说明理由．
参考答案：
1.B 解析：因为直线l和三角形所在的平面垂直，三角形的边AB在这个平面内，所以l⊥AB.
2.B
解析：由线面垂直的性质知①、④正确．②中b可能满足b α，故②错误；③中b可能与α相交(不垂直)，也可能平行，故③错误．
3.D
解析：在正方体ABCD －A1B1C1D1中，A1A，B1B与底面ABCD所成的角相等，此时两直线平行；A1B1，B1C1与底面ABCD所成的角相等，此时两直线相交；A1B1，BC与底面ABCD所成的角相等，此时两直线异面．故选D.
4.B
解析：由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A，故选B.
5.C 解析：①错，②③对．
6.B
解析：因为EG⊥平面α，PQ 平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ 平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.
7.答案：平行
解析：∵AA1⊥平面ABCD，EF⊥平面ABCD，∴AA1∥EF.
8.答案：6
解析：∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE.
又AF＝DE，∴四边形AFED为平行四边形，故EF＝AD＝6.
9.答案：1或无数
解析：设平面外的点为A，平面内的点为B，过点A作平面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B确定唯一平面β满足α⊥β.
10.答案：13
解析：如图，连接CD，则在Rt△ABC中，CD＝AB.
因为AC＝6，BC＝8，所以AB＝＝10.所以CD＝5.
因为EC⊥平面ABC，CD 平面ABC，所以EC⊥CD.
所以ED＝ ＝ ＝13.
11.答案：①
解析：由题意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面．
①中，∵AC⊥β，EF β，∴AC⊥EF，又∵AB⊥α，EF α，∴AB⊥EF，
∵AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABCD，又∵BD 平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正确；
②不能得到BD⊥EF，故②错误；③中，由①知，若BD⊥EF，则EF⊥平面ABCD，则EF⊥AC，故③错误，故填①.
12.(1)证明：连接AC交BD于点O，连接PO.
∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，BO＝DO.
又∵PB＝PD，∴PO⊥BD.
∵AC∩PO＝O，AC 平面PAC，PO 平面PAC，∴BD⊥平面PAC，
又PC 平面PAC，∴BD⊥PC.
(2)解：∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，∴BO＝AB＝1.
又∵PD＝PB＝2，∴PO＝.
∵AO＝AC＝，PA＝，∴PA2＝PO2＋AO2，∴△PAO是等腰直角三角形，且∠POA＝90°.
又∵E是PA的中点，∴S△PEC＝S△PAC＝·AC·PO＝××2×＝，
∴VP－BEC＝VB －PEC＝·S△PEC·BO＝××1＝.
13.(1)证明：∵FC⊥平面BED，BE 平面BED，∴EB⊥FC.
又点E为的中点，B为直径AC的中点，∴EB⊥BC.
又∵FC∩BC＝C，FC 平面FBD，BC 平面FBD，∴EB⊥平面FBD.
∵FD 平面FBD，∴EB⊥FD.
(2)解：如图，在平面BEC内过C作CH⊥ED，连接FH.则由FC⊥平面BED，ED 平面BED知，FC⊥ED.又ED∩CH＝H，∴ED⊥平面FCH.
∵Rt△DHC∽Rt△DBE，∴＝.
在Rt△DBE中，DE＝＝＝a，∴CH＝＝＝a.
∵FB＝a，BC＝a，∴FC＝2a.
在平面FCH内过C作CK⊥FH，垂足为K，则CK⊥平面FED.
∵FH2＝FC2＋CH2＝4a2＋＝a2，∴FH＝a. ∴CK＝＝＝a.
∵C是BD的中点，∴B到平面FED的距离为2CK＝a.
14.解：设过点D，E，F作的AB，BC，CA的垂面分别为α，β，γ(如图)，
则有α∩β＝l，否则若α∥β，则AB⊥α，AB⊥β.
∵BC⊥β，AB⊥β，∴BC∥AB，这与BC∩AB＝B矛盾，因此α∩β＝l.
设l∩平面ABC＝O，l与OF确定的平面为γ′.
∵AB⊥α，OD α，∴AB⊥OD，同理BC⊥OE，O是AB，BC垂直平分线的交点，
即O是△ABC的外心，从而AC⊥OF.
∵AB⊥α，l α，∴l⊥AB. 同理l⊥BC，∴l⊥平面ABC.
∵OF⊥AC，∴AC⊥γ′.因此平面γ′与γ是同一平面．
∵α∩β∩γ′＝l，∴α∩β∩γ＝l.即这三个垂面交于同一条直线．
由前面的证明可知l⊥平面ABC.l在平面ABC上的射影O就是△ABC的外心．
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