2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列之
第五单元数学广角—鸽巢问题（原卷版）
编者的话：
《2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。
典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
本专题是第五单元数学广角—鸽巢问题。本部分内容考察鸽巢原理（抽屉原理）及最不利原则的应用，内容偏于理解，稍有难度，建议作为本章核心内容进行讲解，一共划分为五个考点，欢迎使用。
【考点一】鸽巢原理（抽屉原理）。
【方法点拨】
1.把多于n个物体任意分放进n个鸽巢中（n是非0自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了2个物体。
2. 把多于n个的物体任意分放进n个鸽巢中（和n是非0自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了（＋1）个物体。
3.抽屉原理的关键：
平均分配，苹果数÷抽屉数，若有余数也要尽量平均分配。
【典型例题1】
7个苹果放进2个抽屉，苹果最多的一个抽屉里至少有几个苹果
【典型例题2】
11个苹果放进3个抽屉，苹果最多的一个抽屉里至少有几个苹果
【典型例题3】
6个苹果放进2个抽屉，苹果最多的一个抽屉里至少有几个苹果
【对应练习1】
（1）9个苹果放在3个抽屉里，放苹果最多的抽屉里至少有几个呢
（2）9个苹果放在4个抽屉里，"抽屉王"里至少有几个苹果呢
（3）9个苹果放在5个抽屉里，一定有1个抽屉至少有几个苹果
【对应练习2】
14本书借给4位小朋友，借书最多的一位小朋友最少可以借到多少本书？
【对应练习3】
7只鸽子飞回3个鸽舍，至少有多少只鸽子飞回同一个鸽舍里？
【考点二】鸽巢原理的应用。
【方法点拨】
应用鸽巢原理的解题方法
1.分析题意，把实际问题转化成"鸽巢问题"，即弄清"鸽巢"（"鸽巢"是什么，有几个
鸽巢）和分放的物体及它们的个数.
2.设计"鸽巢"的具体形式.
3.运用原理得出在某个"鸽巢"里至少分放的物体个数，最终解决问题.
【典型例题】
7个小朋友相约去看电影，共有《哈利·波特》、《驯龙高手》、《功夫熊猫》三部电影可选择，每个小朋友可选一个电影组合（不重复的两部电影）观看，至少有几个小朋友选的电影组合相同
【对应练习1】
10个小朋友相约去游乐场，共有碰碰车、摩天轮、旋转木马三种游乐设施可选择，每个小朋友可选一个游乐设施组合（不重复的两种游乐设施）游玩，至少有几个小朋友选的游乐设施组合相同
【对应练习2】
学校开设了画画、写作、书法3个兴趣班，四年级3班共40人，每个学生都报名了其中两个兴趣班，那么这个班至少有多少个学生报的兴趣班完全一样？
【对应练习3】
六年一班有55个学生，每个学生参加篮球、足球、排球中的两项活动，那么至少多少人参加的活动项目相同？
【考点三】最不利原则一：求总数。
【方法点拨】
1.在日常生活中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，一般需要从最糟糕的情况出发分析问题，这就是最不利原则，即从最坏的情况出发分析问题，如果在最坏的情况下都能满足题目要求，那么所有情况都能保证满足题目要求。
2.一般问句中出现"至少.....保证....."这个词的时候，我们解决这个问题需要从最不利的方面思考。
【典型例题】
圣诞节时圣诞老人给表现最好的10个小朋友送礼物，其中收到最多礼物的小朋友至少收到3件礼物，那么圣诞老人至少要准备多少件礼物
【对应练习1】
元旦时老师给表现最好的12个小朋友送贺卡，其中收到贺卡最多的小朋友至少收到5张贺卡，那么老师至少要准备多少张贺卡
【对应练习2】
高老头让儿子小高去买馒头，分给高家庄上下老小40口人，请问小高至少要买多少个馒头，才能保证总有人至少能够分到5个馒头
【对应练习3】
有一个布袋中有40个相同的小球，其中编上号码1、2、3、4的各有10个，问：一次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有3个小球的号码相同
【考点四】最不利原则二：摸球问题。
【方法点拨】
“最不利原则”方法，即从最坏情况出发考虑问题。
【典型例题】
把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放到一个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球
【对应练习1】
桌子上有5个黑球、6个白球、7个红球，闭上眼睛取多少个球才能保证三种球都取到
【对应练习2】
箱子里有大小形状一样的卡片，其中红卡30张，白卡20张，黄卡15张，蓝卡25张，那么最少要从箱子里摸出多少张卡，才能保证摸出的卡有红卡、白卡、黄卡和蓝卡。
【对应练习3】
桌子上有5个黑球，4个红球，3个白球，艾迪闭上眼睛取球，要想保证取到2个黑球，至少要取出（ ）个球。
A.8 B.9 C.10 D.11
【考点五】最不利原则三：生日问题。
【方法点拨】
“最不利原则”方法，即从最坏情况出发考虑问题。
【典型例题】
某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？
【对应练习1】
某校有370名2020年出生的学生，其中至少有2个学生的生日是同一天，为什么？
【对应练习2】
某校有30名学生是2月份出生的，能否至少有两个学生生日是在同一天？
【对应练习3】
15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列之
第五单元数学广角—鸽巢问题（解析版）
编者的话：
《2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。
典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
本专题是第五单元数学广角—鸽巢问题。本部分内容考察鸽巢原理（抽屉原理）及最不利原则的应用，内容偏于理解，稍有难度，建议作为本章核心内容进行讲解，一共划分为五个考点，欢迎使用。
【考点一】鸽巢原理（抽屉原理）。
【方法点拨】
1.把多于n个物体任意分放进n个鸽巢中（n是非0自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了2个物体。
2. 把多于n个的物体任意分放进n个鸽巢中（和n是非0自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了（＋1）个物体。
3.抽屉原理的关键：
平均分配，苹果数÷抽屉数，若有余数也要尽量平均分配。
【典型例题1】
7个苹果放进2个抽屉，苹果最多的一个抽屉里至少有几个苹果
解析：
为使"最多的…至少……"，应尽量平均分配：7÷2=3（个）……1（个），余下的一个苹果分配到平均分配后的任意一个抽屉中，使其最多∶3+1=4（个）。
【典型例题2】
11个苹果放进3个抽屉，苹果最多的一个抽屉里至少有几个苹果
解析：
为使"最多的……至少……"，应尽量平均分配：11÷3=3（个）……2（个），为使最多的抽屉里有最少的苹果，余下的2个苹果也应尽量平均分配：3+1=4（个）。
【典型例题3】
6个苹果放进2个抽屉，苹果最多的一个抽屉里至少有几个苹果
解析：
为使"最多的…至少……"，应尽量平均分配∶6÷2=3（个）若无余数则不加1。
【对应练习1】
（1）9个苹果放在3个抽屉里，放苹果最多的抽屉里至少有几个呢
（2）9个苹果放在4个抽屉里，"抽屉王"里至少有几个苹果呢
（3）9个苹果放在5个抽屉里，一定有1个抽屉至少有几个苹果
解析：
（1）9÷3=3（个）；
（2）9÷4=2（个）……1（个）
2+1=3（个）
（3）9÷5=1（个）……4（个）
1+1=2（个）
【对应练习2】
14本书借给4位小朋友，借书最多的一位小朋友最少可以借到多少本书？
解析：
14÷4=3（本）……2（本），每个小朋友先分得3本，还剩下两本，剩下的2本，无论分给谁，都有一个小朋友至少借到了4本书。
【对应练习3】
7只鸽子飞回3个鸽舍，至少有多少只鸽子飞回同一个鸽舍里？
解析：
7÷3=2……1，因此至少有3只飞进同一个鸽舍。
【考点二】鸽巢原理的应用。
【方法点拨】
应用鸽巢原理的解题方法
1.分析题意，把实际问题转化成"鸽巢问题"，即弄清"鸽巢"（"鸽巢"是什么，有几个
鸽巢）和分放的物体及它们的个数.
2.设计"鸽巢"的具体形式.
3.运用原理得出在某个"鸽巢"里至少分放的物体个数，最终解决问题.
【典型例题】
7个小朋友相约去看电影，共有《哈利·波特》、《驯龙高手》、《功夫熊猫》三部电影可选择，每个小朋友可选一个电影组合（不重复的两部电影）观看，至少有几个小朋友选的电影组合相同
解析：
每个小朋友的观影方式有3种：《哈利·波特》和《驯龙高手》、《哈利·波特》和《功夫熊猫》、《驯龙高手》和《功夫熊猫》，相当于3个抽屉。将7个小朋友看成苹果，根据平均分配的思想∶7÷3=2（个）……1（个），根据抽屉原理∶2+1=3（个），所以至少有3个小朋友选的电影组合相同。
【对应练习1】
10个小朋友相约去游乐场，共有碰碰车、摩天轮、旋转木马三种游乐设施可选择，每个小朋友可选一个游乐设施组合（不重复的两种游乐设施）游玩，至少有几个小朋友选的游乐设施组合相同
解析：
每个小朋友可选的游乐设施组合有3种：碰碰车和摩天轮、碰碰车和旋转木马、摩天轮和旋转木马，相当于3个抽屉。
将10个小朋友看成苹果，根据平均分配的思想∶10÷3=3（个）……1（个），根据抽屉原理∶3+1=4（个），所以至少有4个小朋友选的电影组合相同。
【对应练习2】
学校开设了画画、写作、书法3个兴趣班，四年级3班共40人，每个学生都报名了其中两个兴趣班，那么这个班至少有多少个学生报的兴趣班完全一样？
解析：
学生的报班情况可能有：画画和书法、画画和写作、写作和书法，共3种，看成3个抽屉，把40个学生看成40个苹果，40÷3=13……1，13+1=14（个），即至少有14个学生报的兴趣班完全—样。
【对应练习3】
六年一班有55个学生，每个学生参加篮球、足球、排球中的两项活动，那么至少多少人参加的活动项目相同？
解析：
三个抽屉，把55按三个抽屉平均分，55÷3=18（人）…1（人），余数为1，所以至少有18+1= 19人参加的活动项目相同。
【考点三】最不利原则一：求总数。
【方法点拨】
1.在日常生活中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，一般需要从最糟糕的情况出发分析问题，这就是最不利原则，即从最坏的情况出发分析问题，如果在最坏的情况下都能满足题目要求，那么所有情况都能保证满足题目要求。
2.一般问句中出现"至少.....保证....."这个词的时候，我们解决这个问题需要从最不利的方面思考。
【典型例题】
圣诞节时圣诞老人给表现最好的10个小朋友送礼物，其中收到最多礼物的小朋友至少收到3件礼物，那么圣诞老人至少要准备多少件礼物
解析：
此题中求至少要准备多少件礼物，即为"最不利原则"问题。收到最多礼物的小朋友即"抽屉王"收到3件礼物，则其他小朋友应收到：
2×10=20（件）
再加上"抽屉王"多出的1件礼物，则至少准备：20+1=21（件）所以圣诞老人至少准备21件礼物。
【对应练习1】
元旦时老师给表现最好的12个小朋友送贺卡，其中收到贺卡最多的小朋友至少收到5张贺卡，那么老师至少要准备多少张贺卡
解析：
此题中求至少要准备多少件礼物，即为"最不利原则"问题。收到最多贺卡的小朋友即"抽屉王"收到5 张贺卡，则其他小朋友应收到∶5-1=4（张），根据抽屉原理：4×12=48（张）
再加上"抽屉王"多出的1张贺卡，则至少准备：48+1=49（张），所以圣诞老人至少准备49件礼物。
【对应练习2】
高老头让儿子小高去买馒头，分给高家庄上下老小40口人，请问小高至少要买多少个馒头，才能保证总有人至少能够分到5个馒头
解析：
最坏的情况就是每人都先拿4个馒头，此时，只需要再拿1个，就一定会有人分到5个馒头，所以小高至少要买40×4+1=161（个），
【对应练习3】
有一个布袋中有40个相同的小球，其中编上号码1、2、3、4的各有10个，问：一次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有3个小球的号码相同
解析：
将1、2、3、4四种号码看作4个抽屉，要保证一个抽屉中至少有3个苹果，最"坏"的情况是每个抽屉里有2个"苹果"，共有∶4×2=8个，再取1个就能满足要求，所以一次至少要取出9个小球，才能保证其中至少有3个小球的号码相同。
【考点四】最不利原则二：摸球问题。
【方法点拨】
“最不利原则”方法，即从最坏情况出发考虑问题。
【典型例题】
把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放到一个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球
解析：
此题中求至少取多少个球，即为"最不利原则"问题。
解决此类问题，从最坏情况出发考虑问题。
最坏的情况就是摸出的前4个球的颜色都不一样，那么摸出的第5个球的颜色必定与之前的四个球中的某一个球颜色相同。
所以至少取5个球，可以保证取到两个颜色相同的球
【对应练习1】
桌子上有5个黑球、6个白球、7个红球，闭上眼睛取多少个球才能保证三种球都取到
解析：
此题中求至少取多少个球，即为"最不利原则"问题。解决此类问题，从最坏情况 出发考虑问题。最坏的情况就是先把白球和红球全都取出来了，但黑球还没有取到。此时共取出：7+6=13（个）。那么下一次再取出一个球必定保证三种球都能取到。所以总共需取出13+1=14（个）球才能保证三种球都取到。
【对应练习2】
箱子里有大小形状一样的卡片，其中红卡30张，白卡20张，黄卡15张，蓝卡25张，那么最少要从箱子里摸出多少
张卡，才能保证摸出的卡有红卡、白卡、黄卡和蓝卡。
解析：
30+25+20+1=76（张）
【对应练习3】
桌子上有5个黑球，4个红球，3个白球，艾迪闭上眼睛取球，要想保证取到2个黑球，至少要取出（ ）个球。
A.8 B.9 C.10 D.11
解析：B
【考点五】最不利原则三：生日问题。
【方法点拨】
“最不利原则”方法，即从最坏情况出发考虑问题。
【典型例题】
某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？
解析：
把一年中的天数看成是抽屉，把学生人数看成是元素。把367个元素放到366个抽屉中，至少有一个抽屉中有2个元素，即至少有两个学生的生日是同一天。
平年一年有365天，闰年一年有366天。把天数看做抽屉，共366个抽屉。把367个人分别放入366个抽屉中，至少在一个抽屉里有两个人，因此，肯定有两个学生的生日是同一天。
【对应练习1】
某校有370名2020年出生的学生，其中至少有2个学生的生日是同一天，为什么？
解析：
2020年共有366天，把它看成是366个抽屉，把370个人放入366个抽屉中，至少有一个抽屉里有两个人，因此其中至少有2个学生的生日是同一天的。
【对应练习2】
某校有30名学生是2月份出生的，能否至少有两个学生生日是在同一天？
解析：
2月份最多有29天，把它看作29个抽屉，把30名学生放入29个抽屉，至少有一个抽屉里有两个人，因此这30名学生中至少有两个学生的生日是在同一天。
【对应练习3】
15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？
解析：
一年有12个月，把12个月看作12个抽屉，把15个小朋友放入12个抽屉中，至少有一个抽屉里有两个小朋友，因此至少有2个小朋友是才同一个月出生。
