2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）必修第三册6.2.2排列数课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
6.2.2 排列数
前面给出了排列的定义，下面探究计算排列个数的公式.
排列数：
我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示.
排列的第一个字母
元素总数
取出元素数
m，n所满足的条件是：
(1) m∈N*，n∈N* ；
(2) m≤n .
例如，前面问题1是从3个不同元素中任取2个元素的排列为3×2＝6 ，
可记作：
问题2是从4个不同元素中任取3个元素的排列数为4×3×2＝24 ，
可记作：
符号 中的A是英文arrangement(排列)的第一个字母
探究 从n个不同元素中取出m个元素的排列数 (m≤n)是多少
我们先从特殊情况开始探究，思考从n个不同元素中任取2个元素的排列数 是多少？
排列数 可以按依次填2个空位得到：
同理，排列数 可以按依次填3个空位得到：
那么排列数 就可以按依次填m个空位得到：
···

例如：
排列数公式的特点：
1. 公式中是m个连续正整数的连乘积；
2. 连乘积中最大因数为n，后面依次减1，最小因数是(n－m＋1).
全排列数：
1. 全排列：从n个不同素中取出n个元素的一个排列称为n个不同 元素的一个全排列 .
全排列数为:
排列数公式：
2.阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为n的阶乘，用 表示, 即
解：
例3 计算：
解：
1. 计算：
课本P20
练习1
15
6
练习2
12
思考 由例3可以看到， 观察这两个结果，从中你发现它们的共性了吗？
证明：
排列数公式的阶乘形式：
排列数公式的应用：
连乘形式一般用于的计算，
阶乘形式用于化简或证明.
例题 证明：
证明：
2. 求证：
证明：
课本P20
例4 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数
解1：
由分步计数原理可得，所求的三位数的个数为
符合条件的三位数可以分三类：
由分类计数原理可得，所求的三位数的个数为
分两步完成：
(1) 从1到9这九个数中任选一个占据百位，有 种方法.
(2) 从余下的9个数(包括数字0)中任选2个占据十位, 个位，有 种方法.
解2：
(1) 每一位数字都不是0的三位数有 个；
(2) 个位数字是0的三位数有 个；
(3) 十位数字是0的三位数有 个.
解3：
变式1 用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是偶数
解：
0
0
变式2 用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是奇数
0
(1) 0在个位的有 个；
(2) 0在十位的有 个；
(3) 没有0的有 个.
∴共有
解：
(1) 0在十位的有 个；
(2) 没有0的有 个.
∴共有
3. 一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，共有多少种不同的停放方法
解：不同的停放方法有
课本P20
(1) 若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？
例题 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念.
(2) 若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法
(3) 若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？
(4) 若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种不同的排法？
(6) 若前排站三人，后排站四人，其中的A, B两小孩必须站前排且相邻，有多少种不同的排法？
(5) 若其中的A小孩必须站在B小孩的左边，有多少种不同的排法？
有条件的排列问题：
我们把这种方法称为：
捆绑法.
(1) 若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？
例题 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念.
(1) 将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有 种排法；
而三个女孩之间有 种排法.
∴ 不同的排法共有
解:
说明：
捆绑法一般适用于相邻问题的处理.
相邻问题用捆绑法
例题 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念.
(2) 若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法
解:
(2) 不同的排法有
这种方法称为：插空法
例题 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念.
(3) 若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？
解:
(3) 先把四个男孩排成一排有 种排法，这一排中有五个空档(包括两端)，再把三个女孩插入五个空档中有 种方法，
所以共有 种排法.
说明：
插空法一般适用于 问题的处理.
互不相邻
互不相邻问题用插空法
例题 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念.
(4) 若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种不同的排法？
解:
(4)不同的排法共有 种.
B
B
A
A
(5) A在B左边的一种排法必对应着A在B右边的一种排法，而在全排列中，A在B左边与A在B右边的排法数相等，因此不同的排法有
例题 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念.
(5) 若其中的A小孩必须站在B小孩的左边，有多少种不同的排法？
解1:
B
A
例题 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念.
(5) 若其中的A小孩必须站在B小孩的左边，有多少种不同的排法？
解2:
(5) 满足要求的不同排法有
A
B
例题 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念.
(6) 若前排站三人，后排站四人，其中的A, B两小孩必须站前排且相邻，有多少种不同的排法？
解2:
(6) A, B两小孩的站法有 种，其余人的站法有 种.
所以不同的排法共有
变式 5个人站成一排：
(l) 共有多少种不同的排法？
(2) 其中甲必须站在中间有多少种不同排法？
(3) 其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？
(4) 其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
(5) 其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法
(6) 其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？
解：(1)由于没有条件限制，5个人可作全排列，所以不同的排法共有
(2)由于甲的位置已确定，其余4人可任意排列，所以不同的排法有
解：
变式 5个人站成一排：
(l) 共有多少种不同的排法？
(2) 其中甲必须站在中间有多少种不同排法？
(3) 其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？
(4) 其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
(5) 其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法
(6) 其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？
(3) 共有 种排法.
(4) 共有 种排法 ；
(5) 共有 种排法．
(6)可将问题分为两类：
① 甲站在排尾，其余的人可全排列，
② 甲既不站在排尾也不站排头，乙不站排尾，其余的人可全排列，
∴不同的排法共有
解1：
变式 5个人站成一排：
(6) 其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？
解2：
甲站排头有 种排法，
乙站排尾有 种排法.
但两种情况都包含了 “甲站排头, 且乙站排尾” 的情况，有 种排法.
∴ 不同的排法有 种排法．
小结：
2. 全排列数:
1. 排列数公式：
3.阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为n的阶乘，用 表示, 即
排列数公式的阶乘形式：