2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）必修第三册6.3.2二项式系数的性质课件(共19张PPT)

(共19张PPT)
6.3.2 二项式系数的性质
1. 二项式定理：
复习巩固：
2. 通项公式：
3. 二项式系数：
探究 用计算工具计算(a＋b)n的展开式的二项式系数，并填入下表中.
n (a＋b)n的展开式的二项式系数 1
2
3
4
5
6
通过计算，填表，你发现了什么规律？
(a＋b)1
(a＋b)2
(a＋b)3
(a＋b)4
(a＋b)5
(a＋b)6
杨辉三角
上表中蕴含着许多规律：
(1) 同行中，两端都是1，与两端等距离的项的系数相等；
(2) 在相邻的两行中，除1以外，每一个数都等于它“肩上”两个数的和，事实上，设表中任一不为1的数为 ，那么它肩上的两个数分别为 和 ，即
对于 展开式的二项式系数
从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是
下面从函数角度分析二项式系数：
对于确定的n，我们还可以画出它的图象. 例如，当n=6时，函数 的图象是右图中的7个孤立点．
r
f(r)
O
1
2
3
5
10
15
20
4
5
6
1. 对称性
由此我们可得二项式系数有以下性质：
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
r
f(r)
O
1
2
3
5
10
15
20
4
5
6
事实上，这一性质可直接由公式 得到．
图象的对称轴为
2. 增减性与最大值
由此我们可得二项式系数有以下性质：
3. 各二项式系数的和
由此我们可得二项式系数有以下性质：
思考
即
这就是说，(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于
例3 求证：在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
证明：
即在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
思考
解：
课本34页
证明：
课本34页
课本34页
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
解：
课本34页
巩固训练1 在 的展开式中，第5、6、7三项系数成等差数列，求展开式中系数最大的项.
解：
由题意得
解得 n=7或14 .
①当 n=7 时，
展开式中系数最大的项是第4项与第5项,
即为
②当 n=14 时，
展开式中系数最大的项是第8项,
即为
巩固训练2 已知 的展开式中，第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
解：依题意
整理得
∴ 展开式中二项式系数最大的项为
设展开式中第r+1项的系数最大，则
得
∴展开式中系数最大的项为
(1)证明：
∴ 1110 －1 能被100整除.
巩固训练3
(1) 求证：1110 －1 能被100整除.
(2) 求7777－7 被19除所得的余数.
(2) 解:
∴ 7777－7被19除所得的余数是 19－6=13.
巩固训练3
(1) 求证：1110 －1 能被100整除.
(2) 求7777－7 被19除所得的余数.
变式 求 1090 除以 7 的余数 .
解：
展开式中除末项外，均能被 7 整除 ，
其末项为 ：
展开式中除末项外，均能被 7 整除 ，
故 1090 除以 7 的余数为 1 .
且末项为1，
解2：
∴展开式中除末项外，均能被 7 整除 ，
故 1090 除以 7 的余数为 1 .
而末项为1，
1. 对称性：
二项式系数有以下性质：
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式 得到．
小结：
2. 增减性与最大值
3. 各二项式系数的和