2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.1.2导数的概念及其几何意义课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
5.1.2 导数的概率及其意义
前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率. 这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式. 下面我们用上述思想方法研究更一般的问题.
1. 平均变化率
对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋ x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋ x). 这时，x的变化量为 x，y的变化量为
y＝f(x0＋ x)－f(x0).
我们把比值 ，即
叫做函数y＝f(x)从从x0到x0＋ x的平均变化率.
2. 导数的概念
如果当 x→0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 或 ，即
例如问题1中运动员在t=1时的瞬时速度为v(1)就是函数h(t)在t=1处的导数h′(1)，即
问题2中抛物线f(x)＝x2在点P0(1, 1)处的切线P0T的斜率k0就是函数f(x)＝x2在x＝1处的导数f′(1)，即
2. 导数的概念
如果当 x→0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 或 ，即
概念强化：
1. f′(x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同；
2. f′(x0)与 x的具体取值无关；
3. 瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称；
4. 导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率 .
例1
解：
√
解：
课本P66
解：在第2 h和6 h时，原油温度的瞬时变化率就是f′(2)和 f′(6).
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 已知在第x h时，原油的温度(单位: °C)为
. 计算第2 h与第6 h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3 ℃/h与5 ℃/h. 说明在第2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率下降；在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升.
一般地，f'(x0) (0≤x0≤8) 反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况.
1. 在例2中，计算第3 h与第5 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
解：
在第3 h附近，原油温度大约以1 ℃/h的速率下降；在第5 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率上升.
课本P66
解：在第2 s和6 s时，汽车的瞬时加速度就是v′(2)和 v′(6).
例3 一 辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度(单位: m/s) 为 ，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.
在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为2m/s2与－6m/s2. 说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加2m/s；在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少6m/s.
3. 一质点A沿直线运动，位移y(单位: m)与时间t(单位: s)之间的关系为y(t)=2t2+1，求质点A在t =2.7 s时的瞬时速度.
课本P66
4. 设函数f(x)=x2-1. 求:
(1) 当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率；
(2) 函数在x=1处的导数.
课本P66
问题 我们知道，导数f'(x0)表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，那么导数f'(x0)的几何意义是什么
x
y
x0
x0+ x
f(x0)
f(x0+ x)
y=f(x)
O
P

P0
T

f(x0+ x)-f(x0)
因此，函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即
这就是导数的几何意义.
例1 求曲线 f (x)=x2 +1在点P(1,2)处的切线方程．
√
变式：
课本P66
1. 求曲线在某点处的切线方程：
例2 已知曲线C：y＝f(x)＝x3＋x.
(1)求曲线C在点(1，2)处切线的方程；
(2)设曲线C上任意一点处切线的倾斜角为α，求α的取值范围．
求曲线在某点处的切线方程的步骤
求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程的步骤
(1)设切点为A(xA，f(xA))，求切线的斜率k＝f′(xA)，写出切线方程(含参数).
(2)把点P(x0，y0)的坐标代入切线方程，建立关于xA的方程，解得xA的值，进而求出切线方程．　
√
t1
h
t0
O


t2

t
例4 如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t +11的图象. 根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t=t0, t1, t2附近的变化情况.
l2
l1
l0
解: (1)当t=t0时, 曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴, h'(t0)=0. 这时, 在t=t0附近曲线比较平坦, 几乎没有升降.
(2)当t=t1时, 曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率h'(1)<0. 这时, 在t=t1附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t1附近单调递减.
(3)当t=t2时, 曲线h(t)在t=t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0. 这时,在t=t2附近曲线下降,即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.
从图中可以看出, 直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度, 这说明曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢.
例5 下图中是人体血管中药物浓度c=f(t) (单位: mg/mL)随时间t (单位:min)变化的函数图象. 根据图象，估计t=0.2, 0.4, 0.6, 0.8 min时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).
解：血管中某一时刻药物浓度
的瞬时变化率, 就是药物浓度
f(t)在此时刻的导数，从图象上
看, 它表示曲线f(t)在此点处的
切线的斜率. 如图示，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.
作t=0.8处的切线, 并在切线上取两点, 如(0.7, 0.91), (1.0, 0.48), 则该切线的斜率
3. 导函数的概念
从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f′(x0) 是一个唯一确定的数. 这样，当x变化时，y=f′(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(derived function) ( 简称导数). y=f(x)的导函数有时也记作y′，即
1. 根据图象，描述曲线h(t)在t=t3, t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况.
t4
h
t3
O


t

l3
l4
解: (1) 当t=t3时, 曲线h(t)在t=t3处的切线l3的斜率h′(3)>0. 这时, 曲线在t=t3附近上升, 即函数h(t)在t=t1附近单调递增.
(3)当t=t4时, 曲线h(t)在t=t4处的切线l4的斜率h′(t2)>0. 这时,在t=t2附近曲线上升,即函数h(t)在t=t2附近也单调递增.
从图中可以看出, 直线l3的倾斜程度大于直线l4的倾斜程度, 这说明曲线h(t)在t=t3附近比在t=t4附近递增快.
课本P69
x
y
1
2
O



3
2. 函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是( ).
(A) f'(1)>f'(2)>f'(3)>0
(B) f'(1)(C) 0(D) f'(1)>f'(2)>0>f'(3)
A
课本P70
4. 吹气球时，气球的半径r (单位: dm)与体积V (单位: L)之间的函数关系是
利用信息技术工具，画出0≤V≤5时函数的图象，并根据其图
象估计V=0.6, 1.2 L时，气球的瞬时膨胀率.
x
y
0.6
1.2
O


3
4
5
课本P70
巩固训练：
(1)已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是(　　)
A. 0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2)
B．0＜f′(2)＜f(3)－f(2)＜f′(3)
C．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)
D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3)
√
(2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)
√
3. 求切线方程的步骤：
小结：
1. 导数的几何意义：
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线 y=f(x)在P(x0 , f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0 , f(x0)) 处的切线的斜率是 .
2. 切线的斜率：