2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.3.2函数的极值与最大(小)值（1）课件(共29张PPT)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.3.2函数的极值与最大(小)值（1）课件(共29张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 808.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-11 10:33:29 | ||
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文档简介
(共29张PPT)
5.3.2 函数的极值与最大(小)值（1）
—函数的极值
单调性与导数的关系：
设函数y=f(x)在区间(a,b)内的导数为f′(x).
如果f′(x)>0，
如果f′(x)<0，
如果f′(x)=0，
复习:
如果f(x)在(a,b)内为增函数，
如果f(x)在(a,b)内为减函数，
则f(x)在(a,b)内为单调递增；
则f(x)在(a,b)内为单调递减；
则f(x)在(a,b)内为常数函数；
则f′(x)≥0在(a,b)内恒成立；
则f′(x)≤0在(a,b)内恒成立.
观察图(1), 我们发现, t=a时, 高台跳水运动员距水面的高度最大. 那么, 函数h(t)在此点的导数是多少呢 此点附近的图象有什么特点 相应地, 导数的符号有什么变化规律
思考1 在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减. 如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢
观察图象，探究新知：
x
y
O
a
b
(1)
放大t=a附近的图象, 如图(2)所示.
(2)
由图可以看出, h′(a)=0; 在t=a的附近,
当t0;
当t>a时，函数h(t)单调递减，h'(t)<0.
这就是说，在t=a附近，函数值先增后减，即当t在a的附近从小到大经过a时，h'(t)先正后负，且h'(t)连续变化，于是有h'(a)=0.
思考2 对于一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢
探究 如图示，函数y=f(x)在x=a, b, c, d, e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系 y=f(x)在这些点的导数值是多少 在这些点附近， y=f(x)的导数的正负性有什么规律
以x=a, b两点为例, 可以发现, 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小, f′(a)=0; 而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0, 右侧f′(x)>0. 类似地, 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大, f'(b)=0; 而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0, 右侧f'(x)<0.
我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值; b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.
x
y
O
a
b
c
d
e
1. 函数的极值
若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小, 且在点x=a附近的左侧f′(x)<0 (单减), 右侧f′(x)>0 (单增), f′(a)=0, 我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. 如图(1).
若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大, 且在点x=b附近的左侧f′(x)>0 (单增), 右侧f′(x)<0 (单减), f′(b)=0, 我们把b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 如图(2).
(1)
b
(2)
1.下图是导函数y=f′(x)的图象，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.
a
b
x
y
x1
O
x2
x3
x4
x5
x6
课本P92
例5
解：
x (－∞, －2) －2 (－2, 2) 2 (2, ＋∞)
f′(x)
f(x)
x
y
O
-2
2
不一定，例如函数y=x3在x=0处导数为0，但x=0不是函数的极值点.
注意：对于可导函数，若x0是极值点，则 f '(x0)=0;
反之，若f '(x0)=0，则x0不一定是极值点.
思考3 极大值一定大于极小值吗
O
a
x1
x2
x3
x4
b
x
y
y=f(x)
不一定，如图中在x1处的极大值就小于x4处的极小值.
思考4 导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
即是 f ′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的_______条件.
必要
(3) 极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.
注意：
(1) 极值是某一点附近的小区间而言的，是函数的局部性质，不是整体的最值；
(2) 函数的极值不一定唯一，在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；
即f ′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要条件.
(4) 对于可导函数，若x0是极值点，则 f '(x0)=0;
反之，若f '(x0)=0，则x0不一定是极值点.
O
a
x0
b
x
y
x x0左侧 x0 x0右侧
f′(x)
f(x)
O
a
x0
b
x
y
x x0左侧 x0 x0右侧
f′(x)
f(x)
增
f′(x) >0
f′(x) =0
f′(x) <0
极大值
减
f′(x) <0
f′(x) =0
增
减
极小值
f′(x) >0
判断f (x0)是极大值或是极小值的方法：
左正右负为极大，左负右正为极小
左增右减为极大，左减右增为极小
解：
x
f′(x)
f(x)
课本P92
解：
x (－∞, －3) －3 (－3, 3) 3 (3, ＋∞)
f′(x)
f(x)
课本P92
解：
x (－∞, －2) －2 (－2, 2) 2 (2, ＋∞)
f′(x)
f(x)
课本P92
解：
x (－∞, －1) －1 (－1, 1) 1 (1, ＋∞)
f′(x)
f(x)
课本P92
求可导函数f(x)极值的步骤：
(2) 求导数f ′(x)；
(3) 求方程f ′(x)=0的根；
(4) 把定义域划分为部分区间，并列成表格：
检查f ′(x)在方程根左右的符号：
如果左正右负（左增右减），
那么f(x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正（左减右增），
那么f(x)在这个根处取得极小值；
(1) 确定函数的定义域；
变式1 函数 在 处有极值10，则a，b的值为( )
A. 或 B. 或
C. D. 以上都不对
A
，
通过验证，都符合要求，故应选择A.
变式2 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1和x=3时有极值，求a, b的值．
利用函数极值求解函数零点问题：
例题 已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0).若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
解：∵f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，
∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，解得a＝1.
∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.
由f′(x)>0，可得x<－1或x>1；由f′(x)<0，可得－1由图象可知，当－3y＝f(x)的图象有三个不同的交点.
∴m的取值范围是(－3，1).
∴f(x)极大值＝f(－1)＝1， f(x)极小值＝ f(1)＝－3.
作出f(x)的大致图象及直线y＝m如图所示，
变式 已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝_____．
解：设f(x)＝x3－3x＋c，则f′(x)＝3x2－3，
令f′(x)＝0，得x＝±1，
易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．
∴ f(x)极大值＝f(－1)， f(x)极小值＝ f(1).
若函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，
则f(1)＝0，或f(－1)＝0，解得c＝2或c＝－2.
答案：－2或2
注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。
练习1. 判断下面4个命题，其中是真命题序号为 .
①可导函数必有极值；
②可导函数在极值点的导数一定等于零；
③函数的极小值一定小于极大值
（设极小值、极大值都存在）；
④函数的极小值（或极大值）不会多于一个.
②
练习2. (高考题)已知函数 在点 处取得极大值5，其导函数 的图像(如图)过点(1,0),(2,0), 求：
(1) 的值；(2) a,b,c的值.
.
解：(1)由图像可知
练习4. (高考题)函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f′(x)在(a,b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有（ ）个极小值点.
(A)1 (B)2 (C)3 (D) 4
练习3. 函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，又有极小值，则a的取值范围_______________.
练习5. 函数y=f(x)的导数y′与函数值和极值之间的关系为( )
A. 导数y′由负变正，则函数y由减变为增，且有极大值
B. 导数y′由负变正，则函数y由增变为减，且有极大值
C. 导数y′由正变负，则函数y由增变为减，且有极小值
D. 导数y′由正变负，则函数y由增变为减，且有极大值
D
练习6. 已知函数f(x)＝x3＋ax＋2在x＝1时取得极值．
(1) 求a的值；
(2) 求函数y＝f(x)在x＝2处的切线方程．
解：(1)由已知f′(x)＝3x2＋a，
由f′(1)＝0，得a＝－3.
(2)由(1)得f′(2)＝9，f(2)＝4，
∴切点坐标为(2,4)，切线斜率为9.
∴y＝f(x)在x＝2处的切线方程为9x－y－14＝0.
练习7. a为何值时，方程x3－3x2－a＝0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根，有没有可能无实根？
解：令f(x)＝x3－3x2，则f(x)的定义域为R，
由f′(x)＝3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2，
所以当x＜0或x＞2时，f′(x)＞0；
当0＜x＜2时，f′(x)＜0.
所以函数f(x)在x＝0处有极大值0，在x＝2处有极小值－4，
如图所示，故当a＞0或a＜－4时，原方程有一个根；
当a＝0或a＝－4时，原方程有两个不等实根；
当－4＜a＜0时，原方程有三个不等实根；
由图象可知，原方程不可能无实根．
练习8. (重庆高考)设 (x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为 ′(x)，若函数y＝ ′(x)的图象关于直线x＝－ 对称，且 ′(1)＝0.
(1)求实数a，b的值；(2)求函数 (x)的极值．
(2)求函数 (x)的极值．
小结：
求可导函数f(x)极值的步骤：
2. 求导数f ′(x)；
3. 求方程f ′(x)=0的根；
4. 把定义域划分为部分区间，并列成表格：
检查f ′(x)在方程根左右的符号：
如果左正右负（左增右减），
那么f(x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正（左减右增），
那么f(x)在这个根处取得极小值；
1. 确定函数的定义域；
5.3.2 函数的极值与最大(小)值（1）
—函数的极值
单调性与导数的关系：
设函数y=f(x)在区间(a,b)内的导数为f′(x).
如果f′(x)>0，
如果f′(x)<0，
如果f′(x)=0，
复习:
如果f(x)在(a,b)内为增函数，
如果f(x)在(a,b)内为减函数，
则f(x)在(a,b)内为单调递增；
则f(x)在(a,b)内为单调递减；
则f(x)在(a,b)内为常数函数；
则f′(x)≥0在(a,b)内恒成立；
则f′(x)≤0在(a,b)内恒成立.
观察图(1), 我们发现, t=a时, 高台跳水运动员距水面的高度最大. 那么, 函数h(t)在此点的导数是多少呢 此点附近的图象有什么特点 相应地, 导数的符号有什么变化规律
思考1 在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减. 如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢
观察图象，探究新知：
x
y
O
a
b
(1)
放大t=a附近的图象, 如图(2)所示.
(2)
由图可以看出, h′(a)=0; 在t=a的附近,
当t
当t>a时，函数h(t)单调递减，h'(t)<0.
这就是说，在t=a附近，函数值先增后减，即当t在a的附近从小到大经过a时，h'(t)先正后负，且h'(t)连续变化，于是有h'(a)=0.
思考2 对于一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢
探究 如图示，函数y=f(x)在x=a, b, c, d, e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系 y=f(x)在这些点的导数值是多少 在这些点附近， y=f(x)的导数的正负性有什么规律
以x=a, b两点为例, 可以发现, 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小, f′(a)=0; 而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0, 右侧f′(x)>0. 类似地, 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大, f'(b)=0; 而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0, 右侧f'(x)<0.
我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值; b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.
x
y
O
a
b
c
d
e
1. 函数的极值
若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小, 且在点x=a附近的左侧f′(x)<0 (单减), 右侧f′(x)>0 (单增), f′(a)=0, 我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. 如图(1).
若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大, 且在点x=b附近的左侧f′(x)>0 (单增), 右侧f′(x)<0 (单减), f′(b)=0, 我们把b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 如图(2).
(1)
b
(2)
1.下图是导函数y=f′(x)的图象，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.
a
b
x
y
x1
O
x2
x3
x4
x5
x6
课本P92
例5
解：
x (－∞, －2) －2 (－2, 2) 2 (2, ＋∞)
f′(x)
f(x)
x
y
O
-2
2
不一定，例如函数y=x3在x=0处导数为0，但x=0不是函数的极值点.
注意：对于可导函数，若x0是极值点，则 f '(x0)=0;
反之，若f '(x0)=0，则x0不一定是极值点.
思考3 极大值一定大于极小值吗
O
a
x1
x2
x3
x4
b
x
y
y=f(x)
不一定，如图中在x1处的极大值就小于x4处的极小值.
思考4 导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
即是 f ′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的_______条件.
必要
(3) 极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.
注意：
(1) 极值是某一点附近的小区间而言的，是函数的局部性质，不是整体的最值；
(2) 函数的极值不一定唯一，在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；
即f ′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要条件.
(4) 对于可导函数，若x0是极值点，则 f '(x0)=0;
反之，若f '(x0)=0，则x0不一定是极值点.
O
a
x0
b
x
y
x x0左侧 x0 x0右侧
f′(x)
f(x)
O
a
x0
b
x
y
x x0左侧 x0 x0右侧
f′(x)
f(x)
增
f′(x) >0
f′(x) =0
f′(x) <0
极大值
减
f′(x) <0
f′(x) =0
增
减
极小值
f′(x) >0
判断f (x0)是极大值或是极小值的方法：
左正右负为极大，左负右正为极小
左增右减为极大，左减右增为极小
解：
x
f′(x)
f(x)
课本P92
解：
x (－∞, －3) －3 (－3, 3) 3 (3, ＋∞)
f′(x)
f(x)
课本P92
解：
x (－∞, －2) －2 (－2, 2) 2 (2, ＋∞)
f′(x)
f(x)
课本P92
解：
x (－∞, －1) －1 (－1, 1) 1 (1, ＋∞)
f′(x)
f(x)
课本P92
求可导函数f(x)极值的步骤：
(2) 求导数f ′(x)；
(3) 求方程f ′(x)=0的根；
(4) 把定义域划分为部分区间，并列成表格：
检查f ′(x)在方程根左右的符号：
如果左正右负（左增右减），
那么f(x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正（左减右增），
那么f(x)在这个根处取得极小值；
(1) 确定函数的定义域；
变式1 函数 在 处有极值10，则a，b的值为( )
A. 或 B. 或
C. D. 以上都不对
A
，
通过验证，都符合要求，故应选择A.
变式2 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1和x=3时有极值，求a, b的值．
利用函数极值求解函数零点问题：
例题 已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0).若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
解：∵f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，
∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，解得a＝1.
∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.
由f′(x)>0，可得x<－1或x>1；由f′(x)<0，可得－1
∴m的取值范围是(－3，1).
∴f(x)极大值＝f(－1)＝1， f(x)极小值＝ f(1)＝－3.
作出f(x)的大致图象及直线y＝m如图所示，
变式 已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝_____．
解：设f(x)＝x3－3x＋c，则f′(x)＝3x2－3，
令f′(x)＝0，得x＝±1，
易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．
∴ f(x)极大值＝f(－1)， f(x)极小值＝ f(1).
若函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，
则f(1)＝0，或f(－1)＝0，解得c＝2或c＝－2.
答案：－2或2
注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。
练习1. 判断下面4个命题，其中是真命题序号为 .
①可导函数必有极值；
②可导函数在极值点的导数一定等于零；
③函数的极小值一定小于极大值
（设极小值、极大值都存在）；
④函数的极小值（或极大值）不会多于一个.
②
练习2. (高考题)已知函数 在点 处取得极大值5，其导函数 的图像(如图)过点(1,0),(2,0), 求：
(1) 的值；(2) a,b,c的值.
.
解：(1)由图像可知
练习4. (高考题)函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f′(x)在(a,b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有（ ）个极小值点.
(A)1 (B)2 (C)3 (D) 4
练习3. 函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，又有极小值，则a的取值范围_______________.
练习5. 函数y=f(x)的导数y′与函数值和极值之间的关系为( )
A. 导数y′由负变正，则函数y由减变为增，且有极大值
B. 导数y′由负变正，则函数y由增变为减，且有极大值
C. 导数y′由正变负，则函数y由增变为减，且有极小值
D. 导数y′由正变负，则函数y由增变为减，且有极大值
D
练习6. 已知函数f(x)＝x3＋ax＋2在x＝1时取得极值．
(1) 求a的值；
(2) 求函数y＝f(x)在x＝2处的切线方程．
解：(1)由已知f′(x)＝3x2＋a，
由f′(1)＝0，得a＝－3.
(2)由(1)得f′(2)＝9，f(2)＝4，
∴切点坐标为(2,4)，切线斜率为9.
∴y＝f(x)在x＝2处的切线方程为9x－y－14＝0.
练习7. a为何值时，方程x3－3x2－a＝0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根，有没有可能无实根？
解：令f(x)＝x3－3x2，则f(x)的定义域为R，
由f′(x)＝3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2，
所以当x＜0或x＞2时，f′(x)＞0；
当0＜x＜2时，f′(x)＜0.
所以函数f(x)在x＝0处有极大值0，在x＝2处有极小值－4，
如图所示，故当a＞0或a＜－4时，原方程有一个根；
当a＝0或a＝－4时，原方程有两个不等实根；
当－4＜a＜0时，原方程有三个不等实根；
由图象可知，原方程不可能无实根．
练习8. (重庆高考)设 (x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为 ′(x)，若函数y＝ ′(x)的图象关于直线x＝－ 对称，且 ′(1)＝0.
(1)求实数a，b的值；(2)求函数 (x)的极值．
(2)求函数 (x)的极值．
小结：
求可导函数f(x)极值的步骤：
2. 求导数f ′(x)；
3. 求方程f ′(x)=0的根；
4. 把定义域划分为部分区间，并列成表格：
检查f ′(x)在方程根左右的符号：
如果左正右负（左增右减），
那么f(x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正（左减右增），
那么f(x)在这个根处取得极小值；
1. 确定函数的定义域；