2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.3.2函数的极值与最大(小)值（2）课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
5.3.2 函数的极值与最大(小)值（2）
—函数的最大(小)值
1. 求可导函数f(x)极值的步骤：
(2) 求导数f ′(x)；
(3) 求方程f ′(x)=0的根；
(4) 把定义域划分为部分区间，并列成表格：
检查f ′(x)在方程根左右的符号：
如果左正右负(左增右减)，那么f(x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正(左减右增)，那么f(x)在这个根处取得极小值.
(1) 确定函数的定义域；
即f ′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要条件.
2. 对于可导函数，若x0是极值点，则 f '(x0)=0;
反之，若f '(x0)=0，则x0不一定是极值点.
我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质. 也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大(小)值点，那么在x= x0附近找不到比f(x0)更大(小)的值. 但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小. 如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大(小)值点，那么f(x0)不小(大)于函数y=f(x)在此区间上的所有函数值.
思考1 下图是函数y=f(x), x∈[a, b]的图象，你能找出它的极小(大)值吗 你能进一步找出函数在区间[a, b]上的最小(大)值吗？
x
y
O
a
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
思考2 在图(1)、图(2)中，观察[a, b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a, b]上有最大值、最小值吗 如果有，最大值和最小值分别是什么
x
y
O
a
b
(1)
(2)
x
y
O
a
b
x1
x2
x3
x4
x5
一般地，如果在区间[a, b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.由上述例子可知，只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.
说明：
在闭区间[a,b]上连续的函数必有最大值和最小值. 这里有两层意思：
（1）给定函数的区间必须是闭区间，f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值或最小值；
（2）在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点也不能保证f(x)有最大值和最小值.
（1）
（2）
例6
解：
x 0 (0, 2) 2 (2, 3) 3
f′(x)
f(x)
x
y
O
4
2
3
2. 如果函数 f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，那么求 f(x)在[a ,b]内的最大值与最小值的步骤为：
① 求函数f(x)在(a, b)内的极值；
② 求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a), f(b)；
③ 将函数f(x)在各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
注意区分函数的极值与最值：
函数的极值是函数的局部性质，函数的最值是函数在指定区间上的整体性质.
解：
课本P94
解：
课本P94
解：
课本P94
解：
课本P94
证明：
课本P94
1.利用导数解决与函数相关的问题：
例7
解：
例7
解：
x
y
O
1
-1
-2



例7
解：
x
y
O
1
-1
-2



由例7可见，函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质. 通常，可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象：
(1) 求出函数f(x)的定义域；
(2) 求导数f′(x)及函数f′(x)的零点；
(3) 用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值；
(4) 确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
(5) 画出f(x)的大致图象.
2.导数在解决实际问题中的应用
问题 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
(1) 你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些 你想从数学上知道它的道理吗
(2) 是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大
例8 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料. 瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位: cm)是瓶子的半径. 已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.
(1) 瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大
(2) 瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小
例8 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料. 瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位: cm)是瓶子的半径. 已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.
(1) 瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大
(2) 瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小
解：
证明：
x
y
O
1
π
课本P97
解：
2.如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为a m2.为使所用材料最省，圆的直径应为多少 .
课本P97
小结：
求 f(x)在[a ,b]内的最大值与最小值的步骤为：
1. 求函数f(x)在(a, b)内的极值；
2. 求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a), f(b)；
3. 将函数f(x)在各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．