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北师版数学七年级下5.3.3角的平分线性质教案
课题 5.3.3角的平分线性质 单元 5 学科 数学 年级 七
学习 目标 1.经历探索角的轴对称性的过程,进一步体验轴对称的特征. 2.会用尺规作角的平分线.
重点 掌握角平分线的性质,会用尺规作已知角的平分线
难点 角平分线的性质的应用.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗？ 学生思考回答问题。 通过生活中常见的图形，引出问题，为本课时研究角的性质做铺垫.
讲授新课 问题1 不利用工具,请你将这个角分成两个相等的角,你有什么办法 问题2 对折,再打开纸片,看看折痕与这个角有何关系 角是轴对称图形吗 【总结归纳】 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 【做一做】 请同学们按要求继续前面的折纸活动,并与同伴交流. 折纸要求: (1)在折痕(即角平分线)上任意找一点C; (2)过点C折OA边的垂线,得到新的折痕CD,其中,点D是折痕与OA的交点,即垂足; (3)将纸打开,新的折痕与OB边交点为E. 【思考】在上述的操作过程中，折痕CD与CE能重合吗？改变点C的位置，CD与CE还相等吗？你能解释其中的道理吗？ 已知:如图∠AOC=∠BOC,CD⊥OA,垂足为D,CE⊥OB,垂足为E,CD与CE相等吗 试说明理由. 解:因为CD⊥OA,CE⊥OB, 所以∠CDO=∠CEO=90°. 在△CDO和△CEO中, ∠CDO=∠CEO,∠COD=∠COE,OC=OC, 所以△CDO≌△CEO. 所以CD=CE. 【总结归纳】 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 符号语言: 因为OC平分∠AOB, CD⊥OA,CE⊥OB, 所以CD=CE. 【例】如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,CD=5 cm. 求:点D到AB的距离. 解:过点D作DE⊥AB,垂足为E, 因为AD平分∠BAC, ∠C=90°,DE⊥AB, 所以DE=DC=5 cm, 即点D到AB的距离是5 cm. 【思考】对这种可以折叠的角可以用折叠方法得到角平分线，对不能折叠的角怎样得到其角平分线呢 下面我们探究用尺规作角的平分线. 已知:∠AOB. 求作:射线OC，使∠AOC=∠BOC. 作法: (1)在∠AOB的两边OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE. (2)分别以D,E为圆心,以大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C. (3)作射线OC.则OC是∠AOB的平分线. 【思考】如图，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？ 相等 因为角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 学生实验:通过折纸的方法作角的平分线;教师与学生一起动手操作,展示学生作品.通过折纸及作图过程,由学生自己去发现结论. 学生动手折叠,教师在多媒体上演示折叠过程.学生分组讨论、交流,并用文字语言阐述得到的性质.教师要给学生充分思考的时间和空间.教师通过几何画板演示,让学生形象感受角平分线的性质. 教师引导学生学会分析问题,具体就是:已知条件和要求的线段或角,需要在图形中确定下来,没有的就需要添加辅助线,以便选择需要应用的性质解答. 教师口述作法步骤,学生根据教师的口述完成作图过程.不要求学生写作法,教师可以引导学生分析在作图的过程中哪些线段相等,学生可以通过交流讨论明确这样作的道理. 体验角平分线的简易作法,并为角平分线的性质定理的引出做铺垫.通过探究角的对称性,让学生亲自动手折叠一个角,能够调动学生的学习积极性,提高学生的学习兴趣,为整节课的学习奠定基础. 本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流,经历实践→猜想→证明→归纳的过程,符合学生的认知规律,尤其是对于结论的验证,通过几何画板的形象演示把学生的直观体验上升到理性思维. 注重符号语言转化性质的条件和结论,是为了让学生更好地理解和应用解答问题,尤其是对图形的分析,是学生学习的弱项,加强对图形的标注和构造,为今后图形性质的学习打下坚实的基础. 明确几何作图的基本思路和方法.在自己操作的过程中培养学生运用直尺和圆规作已知角的平分线的能力.
课堂练习 1．如图，∠AOB＝40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，则∠MAB的度数为( ) A．50° B．40° C．30° D．20° 2.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，DE＝3，则△BCE的面积等于( ) A．10 B．9 C．8 D．6 3．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为_____. 4.如图，AD∥BC，∠ABC 的平分线BP 与∠BAD 的平分线 AP 相交于点 P，过点 P 作 PE⊥AB 于点 E .若 PE = 2，则两平行线 AD 与 BC 间的距离为______. 5.如图，在△ABC中，∠C＝90°. (1)作∠BAC的平分线AD，交BC于D； (2)若AB＝10 cm，CD＝4 cm，求△ABD的面积． 6.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与 ∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离. 学生自主完成习题，老师订正 让学生巩固已学知识，加深对知识的理解与运用
课堂小结 1.知识回顾. 2.谈谈这节课你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 角是轴对称图形， 角平分线所在的直线是它的对称轴． 2.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
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北师大版 七年级下册
5.3.3角平分线的性质
情景导入
角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗？
探究新知
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？
A
O
B
C
再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
（对折）
通过操作得出结论：
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．
想一想
（1） 在一张纸上任意画 ∠AOB， 沿角的两边将角剪下， 将这个角对折， 使角的两边重合，折痕就是∠AOB的平分线.
新知讲解
（2） 在∠AOB的角平分线上任意取一点C，分别折出过点C且与∠AOB的两边垂直的直线，垂足分别为D，E，将∠AOB再次对折，线段CD与CE能重合吗？
重合
做一做
改变点C 的位置，CD 和CE 还相等吗？
你能说一说CD与CE 相等的理由吗？
解：∵OC平分∠AOB
∴∠COA=∠COB
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO=∠CEO=90°
在△CDO 和△CEO中，
∴△CDO ≌ △CEO
∴CD=CE.
归纳总结
性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
应用格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PD = PE
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
PD⊥OA,PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
练一练
如图，AM是∠BAC的角平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
练一练
在△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .
A
B
C
D
E
3
温馨提示：存在一条垂线段———构造性质应用
典例精析
例2、利用尺规，作 ∠AOB 的平分线．
已知：∠AOB.
求作： 射线 OC， 使 ∠AOC =∠BOC.
典例精析
A
B
M
N
C
O
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，
交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以点MN为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
你能说明这样作的道理吗
想一想
如图，在 Rt△ABC 中，BD 是∠ABC 平分线，DE⊥AB， 垂足为 E. DE与DC 相等吗？为什么？
DE = DC
理由：在 Rt△ABC 中，∠C =90°，所以 DC⊥BC.
因为 BD 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB,
所以 DE = DC（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
课堂练习
1．如图，∠AOB＝40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，则∠MAB的度数为( )
A．50° B．40° C．30° D．20°
2.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，DE＝3，则△BCE的面积等于( )
A．10 B．9 C．8 D．6
D
B
典例精析
3．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为_____.
4.如图，AD∥BC，∠ABC 的平分线BP 与∠BAD 的平分线 AP 相交于点 P，过点 P 作 PE⊥AB 于点 E .若 PE = 2，则两平行线 AD 与 BC 间的距离为______.
3
4
课堂练习
5.如图，在△ABC中，∠C＝90°.
(1)作∠BAC的平分线AD，交BC于D；
(2)若AB＝10 cm，CD＝4 cm，求△ABD的面积．
解：(1)如图所示，AD即为所求，
(2)如图，过D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∴DE＝CD＝4，
∴S△ABD＝AB×DE＝×10×4＝20(cm2)
课堂练习
6.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与 ∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.
解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.
∵ AD∥BC，
∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间
的距离.
∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB，
∴ PM= PE.
同理， PN= PE.
∴ PM= PN= PE=3.
∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6.
课堂总结
角平分线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
板书设计
1.角是轴对称图形， 角平分线所在的直线是它的对称轴．
2.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
作业布置
基础作业：
课本P127习题第1题
能力作业：
课本P127习题第2，3题
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