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北师大版实验教材八年级上册第七章第三节
龙岗中学 初二数学备课组
《孙子算经》（大约成书于1500年前）是唐初作为“算学”教科书的著名《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，下卷收集了一些算数难题。
其中下卷的31题“雉兔同笼”流传尤为广泛：“今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉、兔各几何？”
⑴《孙子算经》中记载的算法：（算术法）
金鸡独立，兔子站起
94÷2=47（只）
47－35=12（只）
脚数：
头数：
35－12=23（只）
兔
鸡
算术法：
计算容易，
分析较难。
一元一次方程法：
比算术法容易
理解。
二元一次方程组法：
容易理解，更能清晰、
直接地表示等量关系。
方法比较：
“雉兔同笼”飘洋过海流传广泛, 流传到日本后就演变为“龟鹤问题”、在俄罗斯演变为“人狗问题”。许多数学应用题都可以转化成这类问题来解决，或者用解决“鸡兔同笼”问题的解法来解决。
随堂练习1（答案）
（1）解：设龟x只、鹤y只 ,依题：
（2）解：设人x个、狗y只 ,依题：
你都做对了？
例1：以绳测井。若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺。绳长、井深各几何？
题目大意是：
用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，则每一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，则每一份绳长比井深多1尺。问绳长、井深各是多少尺？
列二元一次方程组解应
用题的步骤是什么？
（1）审题；
（2）设两个未知数，找两个等量关系；
（3）根据等量关系列方程，联立方程组；
（4）解方程组；
（5）检验并作答.
1． 通过前面几个题，你对列方程组解决实际问题的方法和步骤掌握的怎样？
2． 列二元一次方程组解决实际问题的主要步骤是什么？
3.这里面应该注意的是什么？关键是什么？
4．通过今天的学习，你能不能解决求两个量的问题？
课后延伸：
上网查看、读一读《孙子算经》，找出自己喜欢的问题，给老师出一道题。
1、有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食.树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子是整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、树下鸽子就一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
《一千零一夜》故事
2、有三块牧场，草长得一样快，面积分别为 公顷，10公顷和24公顷，第一块12头
牛可吃4星期，第二块21头可吃9星期,第三块可供多少头牛吃18个星期？
解：设牧场每公顷原有草x吨，每周新生草y吨，每头牛每周吃草a吨，第三块可供z头牛吃18个星期，根据题意得：
解得
x=10.8a,
y=0.9a.
答：第三块牧场可供36头牛吃18个星期.
∴24×10.8a+24×0.9a×18=18×za
z=36
{
{登陆21世纪教育 助您教考全无忧
八年级数学7.3《鸡兔同笼》教学设计
龙岗中学 李晓欣
一、教材分析：
《鸡兔同笼》是八年级数学上册第七章《二元一次方程组》的第三节。本节安排1个课时，是在学生学习了二元一次方程组的概念及其解法之后的一节。“鸡兔同笼”问题是我国古代数学著名趣题之一，是训练数学思维和解决实际问题能力的经典问题。借助"鸡兔同笼"这一中国古代名趣题，让学生进一步感受方程模型解决实际问题的思想。通过让学生经历列二元一次方程组解决一系列有趣的古代数学实际问题的过程，进行根据实际问题情境列二元一次方程组的训练，强化方程的模型思想，培养了学生列方程（组）解决实际问题的意识和应用能力，同时将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体。同时，这也为今后学习一般线性方程及平面解析几何等知识打下基础。
二、学情分析：
学生已经掌握了二元一次方程组的解法，也能熟练应用用算术法和一元一次方程来解决实际问题，能整体、系统地审清题意，找出等量关系，具备一定的分析问题能力，同时在教材安排的第七章第一节《谁的包裹多》的情境引入中，学生也初步能从具体问题中的数量关系列出二元一次方程组。但在解决实际问题时，学生有时会因思维定势把思维方向定在算术方法或一元一次方程方法上。
三、教学目标：
经历和体验列方程组解决实际问题的过程，进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，感受数学的应用价值。能在具体情境中抽象出数学模型、找出数量关系并能列出二元一次方程组，培养学生列方程组解决实际问题的意识，提高学生的分析问题、解决实际问题的能力，并增强学生的数学应用能力。
了解我国古代数学的光辉成就，增强民族自豪感；借助解决古代趣题、难题提高学生对数学的兴趣、好奇心和求知欲，增强学数学的自信心。通过四人学习小组合作学习的模式，提高学生探索和与人合作交流的能力。
教学重点：经历和体验列方程组解决实际问题的过程；增强学生的数学应用能力。
教学难点：在具体情境中抽象出数学模型、找出数量关系并能列出二元一次方程组。
突破点：借助分析表格引导学生根据题意寻求等量关系，再用未知量表示等量关系。
四、教学方式：
把整节课设计为一次穿越旅行，充分利用古代的趣题，尽可能增加教学过程的趣味性，利用多媒体课件和实物等资源，生动活泼地展示所学内容；强调学生的主动思考、探索和主动参与四人小组活动，以小组合作学习促自主探究。
五、教学过程：
（一）课前准备：
1、学生：每个学习小组一个纸巾筒、一条绳子。
2、教师：印发《讲学稿》、大的纸巾筒一个、绳子一条、课件
（二）教学过程设计：
本节课设计了五个教学环节：第一环节：古代趣题多解，点明主旨；第二环节：类似古题训练，加深体会；第三环节：小组合作探究典型例题；第四环节：师生小结，形成认知；第五环节：自主探索，分层递进；第六环节：自我反思、感悟和收获；第七环节：课后延伸与拓展。
第一环节：古代趣题多解，点明主旨
PPT演示《孙子算经》的历史背景，引出古代难题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”
提问：（1）题目大意是什么？（2）找出题中数量关系。（3）请尝试自己解决这个问题。
（以“鸡兔同笼”这个古代难题的解决来引起学生的好奇心、好胜心和学习的兴趣。提出问题后学生自己独立思考，尝试解决问题。找学生上黑板展示他的解题过程，同时四人学习小组讨论同小组同学的做法对不对，有没有不同的思路和观点；比较不同方法，说说各有什么优劣性。）
PPT演示《孙子算经》记载的“算术法”、黑板学生板书展示的“一元一次方程法”与“二元一次方程组法”，三种方法比较，各种解法解题的优劣性，总结出：对于这类两个未知量的实际问题用列二元一次方程组的方法去解决最为简单。
（通过比较算术方法、列一元一次方程方法、列二元一次方程组三种方法的优缺点，从而感受方程模型思想的必要性和优越性，并从列一元一次方程和列二元一次方程组的方法中，领会列二元一次方程组，思维方式的简洁明了性和在解一些等量关系较为复杂的应用题时体现的优越性）
第二环节：类似古题训练，加深体会：
随堂练习1：“雉兔同笼”飘洋过海流传广泛, 流传到日本后就演变为“龟鹤问题”、在俄罗斯演变为“人狗问题”。学生二选一解决其中一个问题（学生直接做在讲学稿上）。个人完成后四人小组讨论。直接投影答案给学生核对。
（通过类似问题的解决，进一步强化学生运用列二元一次方程组这一数学模型解决问题的意识，形成解决实际问题的一般性策略。通过四人小组的交流，帮助暂时跟不上的同学，从而加强学生的合作互助意识，也加强了学生的表达能力。）
第三环节：小组合作探究典型例题：
继续穿越，来到一个水井边，如果只有一条绳子和一把短尺，如何测量井深？看古人的测量，PPT展示：例1 以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？
提出问题让学生思考：（1）"将绳三折测之，绳多五尺"，什么意思？（2）"若将绳四折测之，绳多一尺"，又是什么意思？
让学生利用事先准备好的工具，四人小组合作动手尝试。并通过动手尝试度量、填写讲学稿上的表格，找出题中的数量关系。
为避免引起学生理解上的歧义，PPT展示题目大意。
一个四人学习小组上讲台展示。
完善学生学生的板书，点评。
（填写讲学稿上的表格再去找题中的等量关系，降低学生自己完成解决问题的难度。以现行教材为基本探究内容，提出探索方向，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会；学生在教师的的启发和诱导下，独立自主学习和合作讨论探索，通过个人、四人学习小组合作探究尝试解决实际问题等多种解难释疑尝试活动，将自己所学知识应用于解决实际问题的一种教学形式。学生上台演示，有助于学生更确切的理解问题大意，也活跃了课堂气氛。）
第四环节：师生小结，形成认知：
让学生结合例题1归纳出利用方程组解应用题基本步骤，形成解决实际问题的一般性策略。抽一个学生回答。并指出：列二元一次方程组解决实际问题的关键是找出等量关系列方程；强调：解完方程组后要注意双重检验，虽然解题过程中没有体现，但是要口头检验解出来的解是否是方程组的解、解出来的解是否符合实际题意。
（先让学生结合自己的解题过程自我归纳，再师生共同归纳，从而形成解决实际问题的一般性策略。对检验过程的强调，锻炼了学生学习数学的的严谨性。）
第五环节：自主探索，分层递进：
随堂练习2：学生独立完成《讲学稿》练习
（1） 古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人，在分赃，在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证：隔壁听到人分银，不知人数不知银.只知每人五两多六两，每人六两少五两，问你多少人数多少银？
（2） 《课本》P230 随堂练习1（《九章算术》卷八记载）“今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五，直金八两。牛、羊各直金几何？
（3） 一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几人？
（题目难度由难到易，让学生自主探索、分层递进，旨在使每个学生都能得到相应的提高，体现了因材施教的教学原则。并鼓励学生尝试用列分析表格这样的形式来分析题目，为下节课《增收节支》做好铺垫。）
四人小组合作讨论探讨：自己做的过程是否正确、有没有不同的思路和观点，相互帮助暂时跟不上的同学。
（小组活动不仅符合学生追求交往、自由表达的需要，使课堂气氛更加活跃，利于学生全员参与，而且可以延伸教师教学的辐射作用；可以使学生在课堂上交流，互相启发，分享经验；使学生在活动中学会交往与帮助，学会竞争与合作。在小组合作探究过程中，学生究竟接收哪些信息，不接收哪些信息，就有了一个选择的过程，这无疑又提高了他们的研究能力，学生在表述自己观点、倾听别人观点过程中不断提高自己的思维能力，语言表达能力。）
抽三个学生上台展示、解说自己的解题过程。
第六环节：自我反思、感悟和收获：
提出问题让学生反思：（1）通过前面几个题，你对列方程组解决实际问题的方法和步骤掌握得怎样？（2）列二元一次方程组解决实际问题的主要步骤是什么？（3）这里面应该注意的是什么？关键是什么？ （4）通过今天的学习，你能不能解决求两个量的问题？
（通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系。）
第七环节：课后延伸与拓展。
1上网或查看相关资料、读一读《孙子算经》、《九章算术》，了解我国古代辉煌的，找出自己喜欢的问题，给老师出一道题。
2、（《一千零一夜》故事）有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食.树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子是整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、树下鸽子就一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
3、有三块牧场，草长得一样快，面积分别为公顷，10公顷和24公顷，第一块12头牛可吃4星期，第二块21头可吃9星期,第三块可供多少头牛吃18个星期？
（安排学生根据已学知识去探究知识的应用，以给老师出题的形式，既考察了学生的理解能力，激发学生学习兴趣，也提高学生应用数学的意识。其中第三题是利用含有待定系数的二元一次方程组解决实际问题，给学有余力的学生合作探究，让每个学生都能得到相应的提高，体现了因材施教的教学原则。）
板书设计：
附随堂用《讲学稿》：
7.3鸡兔同笼（讲学稿）
一、情景引入：
“雉兔同笼”： 今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
你能读懂其大意吗？你能找出什么数量关系？你能解决这个古代难题吗？
小结：用二元一次方程组解答应用题优点：
随堂练习1：列方程组解应用题（两道题选做一道，只要求设和列方程组，其余步骤省略不写）：
1、“鸡兔同笼”传到日本后，演变为“龟鹤问题”：龟鹤共有100个头,350只脚.龟、鹤各多少只？
解：设
2、“鸡兔同笼”传到俄罗斯后演变为“人狗问题”：一队猎人一队狗，两队并成一队走。数头一共是十二，数脚一共四十二。人、狗各多少？
解：设
二、探究典型例题：
例1(井深问题)以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？
思考：（1）"将绳三折测之，绳多五尺"，什么意思？（2）"若将绳四折测之，绳多一尺"，又是什么意思？利用事先准备好的工具，四人小组合作动手尝试。请找出题中的数量关系。
绳长 井深
测量前
第一次测量
第二次测量
解：
小结：利用方程组解应用题基本步骤：
列二元一次方程组解决实际问题的关键是
随堂练习2：列方程组解应用题（第1题完整过程，第2、3题只要求列方程组）
1、古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人，在分赃，在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证：
隔壁听到人分银，不知人数不知银.
只知每人五两多六两，每人六两少五两，
问你多少人数多少银？
解：设
2、《课本》P230 随堂练习1（《九章算术》卷八记载）“今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五，直金八两。牛、羊各直金几何？
解：设
3、一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几人？
解：设
三、收获、感悟：（思考下列四个问题，你都掌握了吗）
1． 通过前面几个题，你对列方程组解决实际问题的方法和步骤掌握得怎样？
2． 列二元一次方程组解决实际问题的主要步骤是什么？
3．这里面应该注意的是什么？关键是什么？
4．通过今天的学习，你能不能解决求两个量的问题？
四、课后延伸：
上网查看、读一读《孙子算经》，找出自己喜欢的问题，给老师出一道题。
五、课后拓展：
1、（《一千零一夜》故事）有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食.树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子是整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、树下鸽子就一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
2、有三块牧场，草长得一样快，面积分别为公顷，10公顷和24公顷，第一块12头牛可吃4星期，第二块21头可吃9星期,第三块可供多少头牛吃18个星期？
其大意是：100个和尚去分100个馒头，大和尚每人分3个馒头，小和尚三个人分一个馒头，问大和尚、小和尚各有几个人？
其大意是： 5头牛和2只羊共值10两；2头牛和5只羊共值8两，问每头牛、每只羊各值多少两？
其大意是：分银子，每人分5两则多出6两；每人分6两则少5两，问人数和银子总数各为多少？
头 脚
人
狗
头 脚
龟
鹤
（临时性板书）
头 足
鸡
兔
（保留性板书）
7.3 鸡兔同笼
列二元一次方程组解应用题步骤： 例1（学生板书、教师完善）
审
设
找
列
解
检 解：设绳长为x尺，井深为y尺，依题：
答
解得：
答：绳长为48尺，井深为11尺
绳长 井深
测量前
第一次测量
第二次测量
绳长 井深
测量前
第一次测量
第二次测量
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