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第二章 二次函数
6.何时获得最大利润
广东省深圳市龙岗区龙岗中学 彭小梅
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和性质。
学生的活动经验基础：在前面对二次函数的研究中，学生研究了二次函数的图象和性质，掌握了研究二次函数常用的方法。
二、教学任务分析
“何时获得最大利润”似乎是商家才应该考虑的问题，但是这个问题的数学模型正是我们研究的二次函数的范畴。二次函数化为顶点式后，很容易求出最大或最小值。而何时获得最大利润就是当自变量取何值时，函数值取最大值的问题。因此本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践。即是否能把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释。具体地，本节课的教学目标是：
(一)知识与技能
1、经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。
2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力。
(二)过程与方法
经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力。
(三)情感态度与价值观
1、体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数学的信心。
2、认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
教学重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值
教学难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：复习回顾、创设问题情境讲授新课、巩固练习、实践应用、课堂小结、课后作业。
第一环节 复习回顾
活动内容：
以测验和练习形式复习二次函数y＝ax2+bx+c的相关性质：顶点坐标、对称轴、最值等。
活动目的：为后面新课作准备
第二环节 创设问题情境，引入新课
活动内容：（有关利润的问题）
探究1：某大型商场经营 T恤衫，已知成批购进时单价是20元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是35元时，销售量是600件，而单价每降低1元，就可以多销售200件．请问:销售单价是多少元时,可以获利最多 最大利润为多少
教法：1、学生独立思考；2、用朴克随机抽取2位同学板书所列关系式；3、学生点评；4、学生完整解题；5、老师提问：从这道题你学会了什么？6、小组交流，组内试讲，全班分享。6、老师精讲：（1）解此类题的思维导图；（2）易错点；（3）解题技巧：用交点式求解。
活动目的：
通过这个实际问题，让学生感受到二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。在这里帮助学生分析和表示实际问题中变量之间的关系，帮助学生领会有效的思考和解决问题的方法，学会思考、学会分析，是教学的一个重要内容。
第三环节 巩固练习
活动内容：解决例题的变式练习（1. 探究提升最大利润问题的一般方法；2.进一步分析）
某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？
实际教学效果：大多数学生可以利用二次函数的顶点式解决问题。
第四环节 实践应用
活动内容：
测验：（2010·青海中考）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克.
（1）现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？
活动目的：以测验形式提高课堂的学习氛围，增强竞争意识，培养解题能力。
第五环节 课堂小结
本节课经历了探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会了二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受了数学的应用价值。
学会了分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，提高解决问题的能力。
第六环节 课后作业
同步训练：4号组员：1-6题；3号：1-7题；1、2号：3-8题。
四、教学反思
本节课的最大亮点是1、在教学中，以小组合作互考的形式进入课前复习，活跃课堂、激活思维，较好地拉申了学生学习的参与面，满足了学生渴望合作交流的个性发展需求；2、以独立思考——生生合作——教师就关键问题进行精讲的方式推进探究学习的进程，使学生学习能抓住要点，提升方法，较好发展了学生的数学应用能力，取得了较好的教学效果。
不足这处：由于教学时间较紧，计算量大，可以考虑删除课前练习中的求最值问题，使学生更加集中解决本课的探究、计算问题。
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何时获得最大利润
龙岗中学 彭小梅
1. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 ，顶点坐标是 。
当x= 时，y的最 值是 。
2. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 ，顶点坐标是 。
当x= 时，函数有最 值，是 。
直线x=3
(3 ，5)
3
小
5
直线x=-4
(-4 ，-1)
-4
-1
小
一、测验：（每空1分，共10分）
求下列函数的最大值或最小值。
（1） y=-x2-2x （2）y=2x2-8x+9
二、练习：
探究1：某大型商场经营 T恤衫，已知成批购进时单价是20元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是35元时，销售量是600件，而单价每降低1元，就可以多销售200件．请问:销售单价是多少元时,可以获利最多 最大利润为多少
思考：设销售单价为x(x≤35)元，那么
（1）销售量可以表示为 ；
（2）每件的利润可以表示为 ；
（3）所获利润可以表示 ；
（4）当销售单价是 时，最大利润是 。
7600-200x
X-20
(7600-200x)(x-20)
探究：某大型商场经营 T恤衫，已知成批购进时单价是20元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是35元时，销售量是600件，而单价每降低1元，就可以多销售200件．请问:销售单价是多少元时,可以获利最多 最大利润为多少
解：设销售单价为x(x≤35)元，所获利润为y元。那么
Y=(7600-200x)(x-20)
= -200(x-29)2 +16200
=-200x2+11600x-152000
探究：某大型商场经营 T恤衫，已知成批购进时单价是20元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是35元时，销售量是600件，而单价每降低1元，就可以多销售200件．请问:销售单价是多少元时,可以获利最多 最大利润为多少
实际问题 二次函数 顶点式
最大值（或最小值）
转化
练习：某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？
测验：（2010·青海中考）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克.
（1）现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？
解析：（1）设每千克应涨价x元，列方程得：
(5+x)(200－10x)=1500
解得：x1=10 x2=5 因为顾客要得到实惠，5＜10
所以 x=5
答：每千克应涨价5元.
（2）设商场每天获得的利润为y元，则根据题意，得
y=( x +5)(200－10x)= －10x2+150x+1000
当x= 时,y有最大值.
因此，这种水果每千克涨价7.5元，能使商场获利最多.
归纳小结：
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤 :
求出函数解析式
配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
你今天学到了什么？
作业：同步训练第6课时
4号组员：1-6题；
3号：1-7题；
1、2号：3-8题。
