必修二第一章空间几何体单元测试四（附答案）
文档属性
| 名称 | 必修二第一章空间几何体单元测试四（附答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 459.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-02-10 17:22:30 | ||
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文档简介
必修二第一章空间几何体单元测试四（附答案）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体 ②棱长都相等的直四棱柱是正方体 ③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体 ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体，其中真命题的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设P是的二面角内一点，垂足，
则AB的长为（ ）
A. B. C. D.
3．两条异面直线在平面上的投影不可能是（ ）
（A）两个点 （B）两条平行直线
（C）一点和一条直线 （D）两条相交直线
4．半径为3的球的体积等于
A. B. C. D.
5．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm），其侧视图和主视图是全等的三角形，则该几何体的表面积为：
A、12cm2 B、15πcm2 C、24πcm2 D、36πcm2
6．一个圆台的正视图如图所示，则其体积等于( )
A． B． C． D．
7．如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为、、，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．正三棱柱的棱长都为2，为的中点，则与面GEF成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
10．将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示，则该几何体的侧视图为
二、填空题
11．一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积 .
12．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是 。
13．已知球的表面积为20，则该球的体积为 ___
14．如图，正方体的棱长为1，分别为线段上的点，则三棱锥的体积为____________.
15．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中主视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为 .
16．如图：底面直径为2的圆柱被与底面成二面角的平面所截，截面是一个椭圆， 则此椭圆的焦距为 .
三、解答题
17．如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，是的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.
(Ⅰ)求出该几何体的体积。
(Ⅱ)若是的中点，求证：平面；
(Ⅲ)求证：平面平面.
18．如图，矩形ABCD中，AB=CD=2，BC=AD=。现沿着其对角线AC将D点向上翻折，使得二面角D—AC—B为直二面角。
（Ⅰ）求二面角A—BD—C平面角的余弦值。
（Ⅱ）求四面体ABCD外接球的体积；
19．如图, 在直三棱柱中，,, ,点的中点，
（I）求证：
（II）求证：//平面；
（Ⅲ）求几何体的体积.
20．．（本小题满分13分）一个几何体的直观图及三视图如图所示，分别是的中点.
（Ⅰ）写出这个几何体的名称；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求多面体的体积.
21．(本小题满分12分)
如图，点为圆柱形木块底面的圆心，是底面圆的一条弦，优弧的长为底面圆的周长的.过和母线的平面将木块剖开，得到截面，已知四边形的周长为.
（Ⅰ）设，求⊙的半径（用表示）；
（Ⅱ）求这个圆柱形木块剩下部分(如图一)侧面积的最大值.
（剩下部分几何体的侧面积=圆柱侧面余下部分的面积+四
边形的面积）
22．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示，墩的上半部分是正四棱锥P—EFGH，下半部分是长方体ABCD—EFGH，图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。
（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；
（2）求该安全标识墩的体积；
（3）证明：直线BD⊥平面PEG
23．如图，一个几何体的三视图△是边长为的等边三角形，
(Ⅰ)画出直观图；
(Ⅱ)求这个几何体的体积
24．本题满分13分如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1
的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．
（I）求证：GF//底面ABC；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；
（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．
25．如图4，在一面南北方向的长方形墙ABHG上用AC=3m，BC=4m，AB=5m的角钢焊接成一个简易的遮阳棚（将AB放在墙上）。一般认为，从正西方向射出的太阳光线与地面成75°角时气温最高。要使此时遮阳棚的遮阴面积最大，应将遮阳棚ABC面与水平面成多大角度？
参考答案
1．A
2．C
3．A
4．C
5．C
6．C
7．A
8．B
9．A
10．D
11．30.
12．
13．
14.
15．36
16．
17．(Ⅰ)由题意可知：四棱锥中，
平面平面，
所以，平面 ………………………2分
又，
则四棱锥的体积为：…………4分
(Ⅱ)连接，则
又，所以四边形为平行四边形， …………6分
平面,平面,
所以，平面； ……………8分
(Ⅲ) ,是的中点,
又平面平面
平面 ……………………10分
由(Ⅱ)知：
平面
又平面
所以，平面平面.
18．如图，过点D、B分别向AC引垂线，垂足分别为E、F。易知AE=CF=1，EF=3，DE=BF=2。又DE⊥AC，AC=面ACD∩面ABC，二面角D—AC—B为直二面角，所以DE⊥平面ABC，又因为BF平面ABC，所以DE⊥BF。故DE、AC、BF两两垂直。如图以点F为坐标原点，FB为x轴，FC为y轴，平行于ED的方向为z轴，建立空间直角坐标系.
则各点的如下A（0,－4,0），B(2,0,0)，C(0,1,0)，D(0,－3,2). （3分）
(1) =(0,1,2)，=（2,4,0）,=(－2,1,0)，=(0,－4,2)
设平面ABD的法向量为=(x,y,1),则，
即=(4,－2,1)
设平面BCD的法向量为=(1,b,c),则
即=（1,2,4）
Cos<,>==. 21世纪教育网
由图形知二面角A—BD—C平面角的余弦值为－. （8分）
(2)设O为AC的中点，∵⊿ABC与⊿ADC都为直角三角形，∴OA=OB=OC=OD，∴Ｏ为四面体ＡＢＣＤ的外接球的球心．
∴四面体ＡＢＣＤ的体积
19．（1）
平面，
又平面，
；
（2）连接，则E点 为的中点又有D是AB的中点，
所以 //
//平面
（3）
20．解：（Ⅰ）这个几何体是底面是直角三角形的直三棱柱（写成直三棱柱也给分）…2分
（Ⅱ）解法一：（面面平行线面平行）
由三视图可知，
……………………………………………………………4分
取的中点连，
由、分别为、的中点可得
又，
∴，…………………………………6分
又
∴
而，∴………………………………8分
解法二：（线线平行线面平行）
连续，则，……………………………4分
∵，∴………………………………………………6分
又
∴…………………………………………………8分
（Ⅲ）取的中点.
∵，∴，在直三棱柱中
∴……………………………………………………9分
∴多面体是以为高，以矩形为底面的棱锥…………10分
在中，………………………………11分
∴棱锥的体积…………13分
21．解：（Ⅰ）∵优弧的长为底面周长为
∴∠AOD=90o
∴△AOD为等腰直角三角形
∴⊙的半径
（Ⅱ）依题意得，四边形为矩形
∵四边形的周长为40
∴AB=20-AD=20-x
∴所求几何体的侧面积
∴当时，
即这个圆柱形木块剩下部分(如图一)侧面积的最大值为.
22．
解：（1）侧视图同正视图，如下图所示。
（2）该安全标识墩的体积为：
=
（3）如图，连结EG，HF及BD，EG与HF相交于O，连结PO，
由正四棱锥的性质可知，PO⊥平面EFGH，∴PO⊥HF
又EG⊥HF ∴HF⊥平面PEG
又BD∥HF ∴BD⊥平面PEG
23．解：(Ⅰ)如图；
(Ⅱ)高，
底面面积，
体积.
24．解：（I）证法一：取BE的中点H，连结HF、GH，（如图1）
∵G、F分别是EC和BD的中点
∴HG//BC，HF//DE，……………… 2分
又∵ADEB为正方形 ∴DE//AB，从而HF//AB
∴HF//平面ABC，HG//平面ABC, HF∩HG=H,
∴平面HGF//平面ABC
∴GF//平面ABC………………4分
（Ⅱ）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，∴GF//平面AB………………5分
又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC ………………6分
∴BE⊥AC
又∵CA2+CB2=AB2
∴AC⊥BC,
∵BC∩BE=B,
∴AC⊥平面BCE ………………8分
（Ⅲ）连结CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB， ……………… 9分
又平面ABED⊥平面ABC，CN平面ABC，∴CN⊥平面ABED。……………… 10分
∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴， ………………11分
∵C—ABED是四棱锥,
∴VC—ABED= ………………13分
25．墙面ABHG在太阳光照射下的射影为 ，由题意可知光线与地面所成的角为750，设遮阳棚ABC面与地面所成的角为θ（00≤θ≤900），△ABC在地面上的射影为△，要使此时遮阳棚的遮阴面积最大，即△的面积最大，在上取一点D，使//AC，则易证明面ABC//面，且△ABC≌△，在平面内作DM⊥，垂足为M，连C/M，∵AB⊥CC/，∴⊥，∴C/M⊥，则平面与地面所成的二面角的大小为∠DMC/=θ,又由已知条件可得△为直角三角形，DM=m，在△DMC/中，由正弦定理得MC/= ，∴当=1，即θ=150时，MC/最大，∵为定值，所以此时△的面积最大。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体 ②棱长都相等的直四棱柱是正方体 ③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体 ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体，其中真命题的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设P是的二面角内一点，垂足，
则AB的长为（ ）
A. B. C. D.
3．两条异面直线在平面上的投影不可能是（ ）
（A）两个点 （B）两条平行直线
（C）一点和一条直线 （D）两条相交直线
4．半径为3的球的体积等于
A. B. C. D.
5．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm），其侧视图和主视图是全等的三角形，则该几何体的表面积为：
A、12cm2 B、15πcm2 C、24πcm2 D、36πcm2
6．一个圆台的正视图如图所示，则其体积等于( )
A． B． C． D．
7．如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为、、，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．正三棱柱的棱长都为2，为的中点，则与面GEF成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
10．将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示，则该几何体的侧视图为
二、填空题
11．一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积 .
12．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是 。
13．已知球的表面积为20，则该球的体积为 ___
14．如图，正方体的棱长为1，分别为线段上的点，则三棱锥的体积为____________.
15．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中主视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为 .
16．如图：底面直径为2的圆柱被与底面成二面角的平面所截，截面是一个椭圆， 则此椭圆的焦距为 .
三、解答题
17．如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，是的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.
(Ⅰ)求出该几何体的体积。
(Ⅱ)若是的中点，求证：平面；
(Ⅲ)求证：平面平面.
18．如图，矩形ABCD中，AB=CD=2，BC=AD=。现沿着其对角线AC将D点向上翻折，使得二面角D—AC—B为直二面角。
（Ⅰ）求二面角A—BD—C平面角的余弦值。
（Ⅱ）求四面体ABCD外接球的体积；
19．如图, 在直三棱柱中，,, ,点的中点，
（I）求证：
（II）求证：//平面；
（Ⅲ）求几何体的体积.
20．．（本小题满分13分）一个几何体的直观图及三视图如图所示，分别是的中点.
（Ⅰ）写出这个几何体的名称；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求多面体的体积.
21．(本小题满分12分)
如图，点为圆柱形木块底面的圆心，是底面圆的一条弦，优弧的长为底面圆的周长的.过和母线的平面将木块剖开，得到截面，已知四边形的周长为.
（Ⅰ）设，求⊙的半径（用表示）；
（Ⅱ）求这个圆柱形木块剩下部分(如图一)侧面积的最大值.
（剩下部分几何体的侧面积=圆柱侧面余下部分的面积+四
边形的面积）
22．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示，墩的上半部分是正四棱锥P—EFGH，下半部分是长方体ABCD—EFGH，图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。
（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；
（2）求该安全标识墩的体积；
（3）证明：直线BD⊥平面PEG
23．如图，一个几何体的三视图△是边长为的等边三角形，
(Ⅰ)画出直观图；
(Ⅱ)求这个几何体的体积
24．本题满分13分如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1
的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．
（I）求证：GF//底面ABC；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；
（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．
25．如图4，在一面南北方向的长方形墙ABHG上用AC=3m，BC=4m，AB=5m的角钢焊接成一个简易的遮阳棚（将AB放在墙上）。一般认为，从正西方向射出的太阳光线与地面成75°角时气温最高。要使此时遮阳棚的遮阴面积最大，应将遮阳棚ABC面与水平面成多大角度？
参考答案
1．A
2．C
3．A
4．C
5．C
6．C
7．A
8．B
9．A
10．D
11．30.
12．
13．
14.
15．36
16．
17．(Ⅰ)由题意可知：四棱锥中，
平面平面，
所以，平面 ………………………2分
又，
则四棱锥的体积为：…………4分
(Ⅱ)连接，则
又，所以四边形为平行四边形， …………6分
平面,平面,
所以，平面； ……………8分
(Ⅲ) ,是的中点,
又平面平面
平面 ……………………10分
由(Ⅱ)知：
平面
又平面
所以，平面平面.
18．如图，过点D、B分别向AC引垂线，垂足分别为E、F。易知AE=CF=1，EF=3，DE=BF=2。又DE⊥AC，AC=面ACD∩面ABC，二面角D—AC—B为直二面角，所以DE⊥平面ABC，又因为BF平面ABC，所以DE⊥BF。故DE、AC、BF两两垂直。如图以点F为坐标原点，FB为x轴，FC为y轴，平行于ED的方向为z轴，建立空间直角坐标系.
则各点的如下A（0,－4,0），B(2,0,0)，C(0,1,0)，D(0,－3,2). （3分）
(1) =(0,1,2)，=（2,4,0）,=(－2,1,0)，=(0,－4,2)
设平面ABD的法向量为=(x,y,1),则，
即=(4,－2,1)
设平面BCD的法向量为=(1,b,c),则
即=（1,2,4）
Cos<,>==. 21世纪教育网
由图形知二面角A—BD—C平面角的余弦值为－. （8分）
(2)设O为AC的中点，∵⊿ABC与⊿ADC都为直角三角形，∴OA=OB=OC=OD，∴Ｏ为四面体ＡＢＣＤ的外接球的球心．
∴四面体ＡＢＣＤ的体积
19．（1）
平面，
又平面，
；
（2）连接，则E点 为的中点又有D是AB的中点，
所以 //
//平面
（3）
20．解：（Ⅰ）这个几何体是底面是直角三角形的直三棱柱（写成直三棱柱也给分）…2分
（Ⅱ）解法一：（面面平行线面平行）
由三视图可知，
……………………………………………………………4分
取的中点连，
由、分别为、的中点可得
又，
∴，…………………………………6分
又
∴
而，∴………………………………8分
解法二：（线线平行线面平行）
连续，则，……………………………4分
∵，∴………………………………………………6分
又
∴…………………………………………………8分
（Ⅲ）取的中点.
∵，∴，在直三棱柱中
∴……………………………………………………9分
∴多面体是以为高，以矩形为底面的棱锥…………10分
在中，………………………………11分
∴棱锥的体积…………13分
21．解：（Ⅰ）∵优弧的长为底面周长为
∴∠AOD=90o
∴△AOD为等腰直角三角形
∴⊙的半径
（Ⅱ）依题意得，四边形为矩形
∵四边形的周长为40
∴AB=20-AD=20-x
∴所求几何体的侧面积
∴当时，
即这个圆柱形木块剩下部分(如图一)侧面积的最大值为.
22．
解：（1）侧视图同正视图，如下图所示。
（2）该安全标识墩的体积为：
=
（3）如图，连结EG，HF及BD，EG与HF相交于O，连结PO，
由正四棱锥的性质可知，PO⊥平面EFGH，∴PO⊥HF
又EG⊥HF ∴HF⊥平面PEG
又BD∥HF ∴BD⊥平面PEG
23．解：(Ⅰ)如图；
(Ⅱ)高，
底面面积，
体积.
24．解：（I）证法一：取BE的中点H，连结HF、GH，（如图1）
∵G、F分别是EC和BD的中点
∴HG//BC，HF//DE，……………… 2分
又∵ADEB为正方形 ∴DE//AB，从而HF//AB
∴HF//平面ABC，HG//平面ABC, HF∩HG=H,
∴平面HGF//平面ABC
∴GF//平面ABC………………4分
（Ⅱ）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，∴GF//平面AB………………5分
又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC ………………6分
∴BE⊥AC
又∵CA2+CB2=AB2
∴AC⊥BC,
∵BC∩BE=B,
∴AC⊥平面BCE ………………8分
（Ⅲ）连结CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB， ……………… 9分
又平面ABED⊥平面ABC，CN平面ABC，∴CN⊥平面ABED。……………… 10分
∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴， ………………11分
∵C—ABED是四棱锥,
∴VC—ABED= ………………13分
25．墙面ABHG在太阳光照射下的射影为 ，由题意可知光线与地面所成的角为750，设遮阳棚ABC面与地面所成的角为θ（00≤θ≤900），△ABC在地面上的射影为△，要使此时遮阳棚的遮阴面积最大，即△的面积最大，在上取一点D，使//AC，则易证明面ABC//面，且△ABC≌△，在平面内作DM⊥，垂足为M，连C/M，∵AB⊥CC/，∴⊥，∴C/M⊥，则平面与地面所成的二面角的大小为∠DMC/=θ,又由已知条件可得△为直角三角形，DM=m，在△DMC/中，由正弦定理得MC/= ，∴当=1，即θ=150时，MC/最大，∵为定值，所以此时△的面积最大。