课件26张PPT。第一讲 不等式和绝对值不等式一 不等式
1．不等式的基本性质
第一课时 课堂互动讲练知能优化训练第一课时学习目标课前自主学案学习目标
1.理解并掌握不等式的性质，会用不等式表示不等关系；
2．会用作差法比较实数或式子的大小，判断不等关系．课前自主学案1．实数的性质
(1)实数与数轴上的点__________
(2)对于任意两个实数，a－b>0?_____.
a－b＝0?_____，a－b<0?_____.
2．两个实数比较大小的步骤
较两个实数a与b的大小，其步骤为：
(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)结论．一一对应．a>ba＝ba
什么情况下适合用作商比较法？
提示：作商法比较数式的大小，一般适用于比较两个幂或指数式或乘积式这是因为：幂式或指数式作商后便于运算；乘积式在作商后易于因式分解、约分、化简．课堂互动讲练 用不等式表示下列不等关系：
(1)任意一个实数的平方都是非负数．
(2)某篮球队队员的身高都在180 cm以上．
(3)某制药厂生产的糖盐水溶液中含糖量x必须在10%～15%之间，含盐量y必须在5%～10%之间．【思路点拨】 首先找出题意中的各个量，再找其中的不等关系．【名师点评】 用不等式表示不等关系，应设出不等关系中的各个变量，再根据条件列出不等式或不等式组．变式训练1 咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯用奶粉、咖啡、糖分别为9 g、4 g、3 g，乙种饮料每杯用奶粉、咖啡、糖分别为4 g、5 g、5 g，已知每天使用原料为奶粉3600 g、咖啡2000 g、糖3000 g．试写出满足上述所有不等关系的不等式组． 设a，b∈R.试比较a2＋b2－ab＋1与a＋b的大小．
【思路点拨】 从最高次数为二次考虑，可比较两边差的正负，故可考虑二次三项的配方．故a2＋b2－ab＋1－(a＋b)≥0，
∴a2＋b2－ab＋1≥a＋b.
法二：a2＋b2－ab＋1－a－b＝a2＋(－b－1)a＋b2－b＋1，
令f(a)＝a2＋(－b－1)a＋b2－b＋1
Δ＝(－b－1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0.
∴f(a)≥0恒成立，即a2＋b2－ab＋1≥a＋b.【名师点评】 比较法的关键在于变形，变形的常用方法是因式分解和配方，变形的目的是有利于判断符号．而法二则是从二次三项式的符号与二次函数关系出发，构造二次函数，用函数处理不等式问题，思路新颖灵活．变式训练2 已知x≠0，求证：(x2＋1)2>x4＋x2＋1.
证明：(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)
＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1＝x2，
∵x≠0，∴x2>0.
∴(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)>0.
∴(x2＋1)2>x4＋x2＋1.【名师点评】 在利用不等式性质判断命题真假时，关键是依据题设条件，正确恰当地选择使用不等式的性质，而否定一个结论只需举一个反例．同向不等式相减致误．1．不等式的性质是解不等式和证明不等式的依据，主要涉及以下两个问题：(1)理解不等式基本性质的条件和结论，注意条件的加强或减弱与结论的关系．(2)正确运用不等式的性质，注意结论成立的条件．2．比较实数大小，常用作差或作商法．作差法中差式最后的形式可以有多种，如常数、平方数(式)、因式相乘等．这些结果形式在某些条件下是非常容易判断差式符号的，但在作差变形中，也存在一定的变化技巧，如平方相减、配方等．课件29张PPT。第二课时 课前自主学案课堂互动讲练知能优化训练第二课时学习目标学习目标
1.掌握不等式的基本性质，并会判断命题结论的真假；
2．运用不等式的性质进行简单的不等式的证明，求代数式的取值范围．课前自主学案不等式的基本性质
用不等号“>”或“<”填空：
(1)a>b，b>c?a__c；
(2)a>b?a＋c__b＋c；
(3)a>b，c>0?ac__bc；
(4)a>b，c<0?ac__bc；>>><(5)a>b，c>d?a＋c__b＋d；
(6)a>b>0，c>d>0?ac__bd；>>>>思考感悟
在研究不等式时，需要特别注意什么问题？
提示：“符号问题”，即在进行乘(除)运算时，乘(除)的数或式的符号会影响不等式的方向．课堂互动讲练 判断下列命题的真假，并简述理由．
(1)若a>b，c>d，则ac>bd；【解】 (1)取a＝3，b＝2，c＝－2，d＝－3，
即3>2，－2>－3，此时ac＝bd＝－6.
因此(1)为假命题．【名师点评】 判断命题的真假，要注意一些特殊方法的应用，如：图象法、特值法等．在判断中，若要运用不等式的性质，一定要强调不等式性质中条件的作用．变式训练1 a、b为实数，下面命题中正确的个数是( )
①若a>b则a2>b2；②若|a|>b，则a2>b2；
③若a>|b|，则a2>b2；④若a2>b2，则a>b；
⑤若|a|≠b，则a2≠b2.
A．0 B．1
C．2 D．3解析：选B.若a＝0，b＝－1，易得①②错误；
若a＝－2，b＝1得④错误；
若a＝2，b＝－2，得⑤错误；
因a>|b|≥0，所以a2>b2，得③正确，故选B.【名师点评】 进行简单不等式的证明时，如果不能直接应用不等式性质得到，我们可以先分析需要证明的不等式的结构特点，利用不等式性质进行逆推，寻找其成立的充分条件． 已知－3求证：－16<(a－b)c2<0.
【思路点拨】 要求(a－b)c2的范围，应先确定a－b及c2的范围与符号．【证明】 ∵－3∴－1<－b<3，－3∴－4又a∴－4又－2∴0<(b－a)c2<16，
∴－16<(a－b)c2<0.【名师点评】 应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣基本不等式成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．忽视等号成立的条件致误．
已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)满足1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．1．不等式性质成立的条件
使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用．例如：
(1)a>b，c>d?a＋c>b＋d，已知的两个不等式必须是同向不等式；
(2)a>b>0且c>d>0?ac>bd，已知的两个不等式不仅要求同向，而且不等式两边必须为正值；2．不等式性质的“单向性”和“双向性”
不等式的性质中有些是可逆推的，而有些性质不具有可逆性，只有“a>b?bb?a＋c>b＋c；a>b，c>0?ac>bc(c>0)”是可逆推的，其他都是不可逆推的．3．等号传递问题
在利用不等式的传递性时，如果两个不等式有一个不带等号，那么等号就不会传递过去，如a≥b，b>c?a>c；a>b，b≥c?a>c.课件28张PPT。2．基本不等式
?第一课时 课前自主学案课堂互动讲练知能优化训练第一课时学习目标学习目标
1.理解并掌握基本不等式的结构和成立的条件，及它的几种变形形式和公式的逆运用；
2．利用基本不等式比较大小，证明不等式．课前自主学案1．对于任意实数a都有a2__0；当且仅当a＝__时等号成立；
2．对于任意实数a，b都有a2＋b2__2ab，当且仅当____时等号成立；≥0≥a＝b≥a＝ba＝b≤a＋b＝课堂互动讲练【思路点拨】 运用算术平均数与几何平均数定理来求．又∵0∴a(a－1)<0，b(b－1)<0，
∴a2＋b2－(a＋b)<0，
即a2＋b2∴a＋b最大，选D.
【答案】 D【证明】 (1)a4＋b4≥2a2b2，
同理a4＋c4≥2a2c2，b4＋c4≥2b2c2，
将以上三个不等式相加得：
a4＋b4＋a4＋c4＋b4＋c4≥2a2b2＋2a2c2＋2b2c2，
即：a4＋b4＋c4≥a2b2＋a2c2＋b2c2.【名师点评】 基本不等式具有将“和式”和“积式”相互转化的放缩功能，常常用于证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．变式训练2 已知：a、b、c、d都是正数，求证：(ab＋cd)·(ac＋bd)≥4abcd.【思路点拨】 利用均值不等式x2＋y2≥2xy(x，y∈R)进行证明．【名师点评】 为了达到证明的目的，经常把基本不等式先变形再应用． 已知a，b，c是不全相等的正数，试证明：
(a2b＋b2a)(a2c＋c2a)(b2c＋c2b)>8a3b3c3.【错因】 审题出错，a，b，c不全相等与a，b，c各不相等混淆．三式相乘的条件不充分．1．创设应用基本不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立且使“和”或“积”为定值．课件33张PPT。第二课时 课前自主学案课堂互动讲练知能优化训练第二课时学习目标学习目标
1.利用基本不等式求最值，要掌握成立的条件并会灵活运用；
2．会用基本不等式解决实际问题．课前自主学案不小于x＝yx＝y3．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足
(1)x，y必须是_____
(2)求积的最大值时，和必须为____；求和的最小值时，积必须为_____
(3)重要不等式中的等号必须成立，且等号成立的条件是____.正数．定值定值．x＝y提示：“一正、二定、三相等”，即(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的．课堂互动讲练【名师点评】 在形如(2)的函数中，分子和分母都含有变量，此时想法凑出含有分母的代数式进行化简，然后再运用重要不等式求最值．【名师点评】 求xy的最大值时，是把2x＋3y当作整体应用，所以xy转化出现2x与3y的形式是必要的．问：全年订购多少次，才能使订购费用与保管费用之和最少？(为简便计算，不必讨论订购次数是否为整数)变式训练3 某小区欲建一面积为640平方米的矩形绿地，四周有小路，绿地长边外小路宽5米，短边外小路宽8米，如图所示，求怎样设计绿地的长、宽才能使绿地和小路总占地面积最小？忽略基本不等式成立的条件．1．利用两个重要不等式求函数最值
(1)特殊条件的灵活运用
在给定条件下，利用重要不等式求最值时，关键是条件的灵活运用，如条件x＋y＝1，可进行整体代换，或用y＝1－x代换，或考虑用三角代换，如可设x＝cos2α，y＝sin2α等．特别提醒：多次利用重要不等式时，必须满足每个不等式都能同时取到“＝”，否则取不到最值．3．运用重要不等式解实际应用问题，一是建模问题，通过建立目标函数，把应用问题转化为单纯的数学问题，二是建模后的求解问题，充分利用重要不等式求最值，但要注意实际问题中函数的定义域．课件23张PPT。3．三个正数的算术-几何平均不等式 课前自主学案课堂互动讲练知能优化训练3．三个正数的算术-几何平均不等式学习目标学习目标
1.掌握理解三个正数的算术-几何平均不等式定理，并掌握等式成立的条件；
2．会利用公式求函数的最值，证明不等式．课前自主学案≥≥≥思考感悟
使用平均不等式求最值应注意什么？
提示：(1)各项均为正数；(2)积与和中有一者为定值；(3)等号能够取到．课堂互动讲练【名师点评】 为了用三个正数的公式，要构造适合公式的形式．【思路点拨】 对于x2(1－5x)，若视为x2与1－5x两项，其和不是定值．应把x2改写为x·x，再配齐系数，使和为定值．【名师点评】 拆项、配系数其目的使三项之和(积)为定值，以便于用公式．变式训练2 若θ为锐角，求y＝sinθcos2θ的最大值．【名师点评】 “拆分”要求做到“平分”．2．利用上述公式求最值时要注意三点：
(1)函数式中各项(必要时还要考虑常数项)必须都是正数，若不是正数，必须变为正数．
(2)函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，才能利用“定理”求出最值．
(3)必须取到“＝”号，若取不到等号，必须经过适当的变形，使之取到等号．课件28张PPT。二 绝对值不等式
?
1．绝对值三角不等式 课前自主学案课堂互动讲练知能优化训练1．绝对值三角不等式学习目标学习目标
1.理解绝对值三角不等式定理并会应用；
2．会进行含绝对值三角不等式的证明．课前自主学案1．定理1：____________________________
______________________________
推论1：______________________________
____________.
推论2：__________________________
________________.2．_______________________________________________________________________________________________定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.思考感悟
如何理解|a|－|b|<|a±b|<|a|＋|b|的几何意义？
提示：三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于第三边．课堂互动讲练 (1)设xy<0，x，y∈R，那么正确的是
( )
A．|x＋y|>|x－y|
B．|x－y|<|x|＋|y|
C．|x＋y|<|x－y|
D．|x－y|<||x|－|y||【思路点拨】 (1)由于xy<0，x，y异号，利用|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|判定．
(2)题易判定m，n与1的大小关系．【解析】 (1)法一：特殊值法：取x＝1，y＝－2，则满足xy＝－2<0，
这样有|x＋y|＝|1－2|＝1，
|x－y|＝|1－(－2)|＝3，
|x|＋|y|＝3，||x|－|y||＝1，
∴选项C成立，A，B，D不成立．
法二：由xy<0得x，y异号，
易知|x＋y|<|x－y|，|x－y|＝|x|＋|y|，
|x－y|>||x|－|y||，
∴选项C成立，A、B、D不成立．【答案】 (1)C (2)m≤n【名师点评】 绝对值不等式性质的重要作用在于放缩，放缩的思路主要有两种：分子不变，分母变小，则分数值变大；分子变大，分母不变，则分数值也变大，注意放缩后等号是否还能成立．变式训练1 0A．|log(1＋a)(1－a)|＋|log(1－a)(1＋a)|>2
B．|log(1＋a)(1－a)|<|log(1－a)(1＋a)|
C．|log(1＋a)(1－a)＋log(1－a)(1＋a)|<|log(1＋a)(1－a)|＋|log(1－a)(1＋a)|
D．|log(1＋a)(1－a)－log(1－a)(1＋a)|>|log(1＋a)(1－a)|－|log(1－a)(1＋a)|【思路点拨】 根据所证结论，对“xy－ab”进行凑配，凑出已知的“x－a，y－b”来．【名师点评】 含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法，换元法去掉绝对值号转化为常见的不等式证明题，或利用不等式的性质|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|证明不等式，常要对绝对值内的式子进行分析组合、添项减项，使待证式与已知之间联系起来，最后通过绝对值的运算完成证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值不等式，这时，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程根的分布方法来证明． 已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1.
(1)证明：|c|≤1；
(2)证明：当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2.
【思路点拨】 对于(1)用一般到特殊的思想，即c＝f(0)．
对于(2)分a>0，a＝0，a<0根据函数的单调性讨论．【证明】 (1)由条件当－1≤x≤1时，
|f(x)|≤1，取x＝0，得|c|＝|f(0)|≤1，
即|c|≤1.
(2)当a>0时，g(x)＝ax＋b在[－1,1]上是增函数，
∴g(－1)≤g(x)≤g(1)．
∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)，|c|≤1，
∴g(1)＝a＋b＝f(1)－c≤|f(1)|＋|c|≤2，
g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c
≥－(|f(－1)|＋|c|)≥－2，由此得|g(x)|≤2；
当a<0时，g(x)＝ax＋b在[－1,1]上是减函数，
∴g(－1)≥g(x)≥g(1)．
∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)，|c|≤1，
∴g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c≤|f(－1)|＋|c|≤2，
g(1)＝a＋b＝f(1)－c≥－(|f(1)|＋|c|)≥－2，
由此得|g(x)|≤2；
当a＝0时，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c.∵－1≤x≤1，
∴|g(x)|＝|f(1)－c|≤|f(1)|＋|c|≤2.
综上，得|g(x)|≤2.
【名师点评】 本题利用函数的单调性，结合最值或值域，求绝对值的取值．变式训练3 设f(x)＝x2－x＋13，实数a满足|x－a|<1.
求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．
证明：|f(x)－f(a)|＝|(x－a)(x＋a－1)|
＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|
＝|(x－a)＋2a－1|
≤|x－a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋1
＝2(|a|＋1)．
∴|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．【错因】 本题错误在于不能保证1＋|a＋b|≥1＋|a|,1＋|a＋b|≥1＋|b|成立．对|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|的诠释课件23张PPT。2．绝对值不等式的解法
?第一课时 课前自主学案课堂互动讲练知能优化训练第一课时学习目标学习目标
1.根据不等式的性质，利用绝对值不等式的几何意义求解单向或双向的绝对质不等式；
2．在进行含有参数的不等式的求解问题时，要学会分类讨论．课前自主学案1．若a>0，且|x|>a，则____________；若a>0，且|x|2．|ax＋b|>c(c>0)型不等式的解法：
(1)换元法：令t＝ax＋b，则|t|>c，故____________ ，即________或__________，然后再求x，得原不等式的解集．x>a或x<－a－ac或t<－cax＋b>cax＋b<－c课堂互动讲练 解下列不等式．
(1)|2x＋5|<7.
(2)|2x＋5|>7＋x.
(3)|x2－3x＋1|<5.【思路点拨】 仿照|x|>a，|x|【解】 (1)原不等式等价为
－7<2x＋5<7.
∴－12<2x<2，
∴－6∴原不等式解集为{x|－6(2)由不等式|2x＋5|>7＋x，
可得2x＋5>7＋x或2x＋5<－(7＋x)，
∴x>2或x<－4.
∴原不等式解集为{x|x>2或x<－4}．【名师点评】 解不等式要根据不等式的性质进行等价变形．变式训练1 解不等式|2x－1|<2－3x. 解不等式1<|2－x|≤7.
【思路点拨】 利用|x|>a与|x|－7≤2－x<－1或1<2－x≤7，
∴3∴原不等式解集为{x|－5≤x<1或3【名师点评】 本例题是不等式的一种常见题，第二种解法要比第一种解法更为简单．也可根据绝对值的意义解题．变式训练2 解不等式1<|x－2|≤3. 已知集合A＝{x||2－x|<5}，B＝{x||x＋a|≥3}，且A∪B＝R，求a的取值范围．
【思路点拨】 化简两个集合，求出解集形式，通过两解集区间端点的关系求a.【解】 ∵A＝{x||2－x|<5}＝{x||x－2|<5}＝{x|－5B＝{x||x＋a|≥3}＝{x|x＋a≥3，或x＋a≤－3}＝{x|x≥3－a，或x≤－a－3}，
又A∪B＝R，借助数轴如图所示．【名师点评】 解此类题，常借助数轴考虑，把不变的集合固定好，让含参数的集合移动，使它满足已知条件即可．解析：选D.A＝{x|－1B＝{x|－a＋b当a＝1时，B＝{x|b－1若A∩B＝?，则b－1≥1或b＋1≤－1，
即b≥2或b≤－2.
若A∩B≠?，则－2x－2.【错因】 本题的错误在于因平方而产生增根，只有不等式两边均为非负数时才能用平方法．2．解含绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后其解法就与一般不等式或不等式组相同．
3．关于|f(x)|<|g(x)|的解法可利用|x|0)?x2掌握常见不等式|x－c|＋|x－b|≥a的解法．并会运用分段讨论法、图象法和几何法来求解．课前自主学案1．一般地说，解含绝对值不等式的基本思想是______________，就是采用正确的方法，化去绝对值符号，方法有公式法(同解原理法：如|f(x)|2．运用分段讨论法解绝对值符号里是一次式的不等式(特别是含两个或两个以上绝对值符号的)，其一般步骤是：去掉绝对值符号(1)令每个绝对值里的代数式______，并求出相应的根(又叫零点)；
(2)把这些根按____________________，把不等式的存在域(未知数的取值范围)分成若干段；
(3)在每一段上去掉______符号组成若干个不等式(组)，解这些不等式(组)，求出交集；值为0由小到大排列在数轴上绝对值(4)取这些不等式(组)的解集的____就是原不等式的解集．
在变形的过程中要特别注意保证同解，还要注意步骤的简捷与表达的明晰．区别“并”还是“交”的关键是“或”还是“且”，同时还要分清端点是否包括．并集3．解|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c型不等式，除分段讨论法外，还可用________________ (课本上叫做图象法、几何法)．函数法或几何意义思考感悟
|x|以及|x－a|±|x－b|表示的几何意义是什么？
提示：|x|表示数轴上的点x到原点0的距离；|x－a|±|x－b|表示数轴上的点x到点a、b的距离之和(差)．课堂互动讲练 解不等式|x－1|＋|x－2|>2.
【思路点拨】 可用零点分段讨论，可用图象法，也可用绝对值几何意义求解．其图象如图．【名师点评】 法一关键是找零点，法二关键是正确作出图象．变式训练1 解不等式：|x＋2|－|x－1|<2x. 解不等式|x－1|＋|2－x|>3＋x.【解】 原不等式变为|x－1|＋|x－2|>3＋x，
当x≥2时，原不等式变为x－1＋x－2>3＋x，
即x>6，∴x>6；
当1≤x<2时，原不等式变为x－1－(x－2)>3＋x，
即x<－2，
∴x∈?；当x<1时，原不等式变为－(x－1)－(x－2)>3＋x，即x<0，∴x<0.
综上可知，原不等式解集为{x|x<0或x>6}．
【名师点评】 以上例题用的解法叫零点分段讨论法，含绝对值两个或两个以上的不等式常用此法．首先找到使每个绝对值等于零的点，然后分段讨论，再求各段结果的并集．一般地，n个零点把数轴分成n＋1段．变式训练2 解不等式：|x－1|＋|3x＋5|≤4x＋4.当x≥1时，有
x－1＋3x＋5≤4x＋4.
∴4≤4成立，
∴原不等式解集为{x|x≥1}． (1)对任意x∈R，若|x－3|＋|x＋2|>a恒成立，求实数a的取值范围．
(2)关于x的不等式a>|x－3|＋|x＋2|的解集非空，求实数a的取值范围．
(3)关于x的不等式a>|x－3|＋|x＋2|在R上无解，求实数a的取值范围．【思路点拨】 对(1)来说，a对(2)(3)来说，问题的关键是如何转化，是求函数f(x)＝|x－3|＋|x＋2|的最大值还是最小值．【解】 (1)∵f(x)＝|x－3|＋|x＋2|≥|(x－3)－(x＋2)|＝5，
即f(x)min＝5，∴a<5.
(2)问题可转化为a>f(x)的某些值，由题意a>f(x)min，同上得a>5.
(3)问题可转化为对一切x∈R恒有
a≤f(x)?a≤f(x)min，可知a≤5.【名师点评】 解关于恒成立问题时注意等价转化思想的应用．
f(x)f(x)>a恒成立?f(x)min>a.变式训练3 若不等式|x＋3|－|x－5|解析：|x＋3|－|x－5|≤|x＋3－x＋5|＝8，
∴|x＋3|－|x＋5|的最大值为8，
∴m>8.
答案：(8，＋∞) 求使不等式|x－4|＋|x－3|【错解】 ∵|x－4|＋|x－3|≥|x－4＋3－x|＝1.
∴|x－4|＋|x－3|有最小值为1.
∴a<1时原不等式有解．
【错因】 “|x－4|＋|x－3|上述解法是无解的情况．法二：设数x、3、4在数轴上对应的点分别为P、A、B，由绝对值的几何意义，知|PA|＋|PB|∴数轴上的点到A、B的距离之和大于等于1，
即|x－4|＋|x－3|≥1.
∴当a>1时，不等式有解．1．解含两个或两个以上绝对值的不等式的常见解法有：(1)分段讨论法；(2)图象法；(3)几何法，有时还可采用两边平方法．
2．几何解法的关键是对绝对值几何意义的理解．例如|x－a|＋|x－b|0)的解集为到A(a)，B(b)距离之和小于c的全体．
3．因为|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|，所以当c<|a－b|时，不等式|x－a|＋|x－b|c时，不等式|x－a|＋|x－b|>c的解集为R.课件18张PPT。本讲优化总结 专题探究精讲讲末综合检测本讲优化总结知识体系网络知识体系网络专题探究精讲本专题主要考查利用不等式性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值(或代数式)大小的比较，有时考查分类讨论思想，常与函数、数列等知识综合进行考查，考查形式多以选择题出现．【思路点拨】 结合不等式性质和函数性质(单调性)来比较大小或用特值法判断．【答案】 D不等式的应用主要体现在两大方面：一是不等式作为一种重要工具在研究解答数学学科本身有关问题及其他学科有关问题方面的应用；二是解决现实生活、生产及科学技术领域中的实际问题．不等式应用主要是：利用不等式求函数的定义域、值域；利用不等式求函数最大值、最小值；利用不等式讨论方程根及有关性质；利用不等式解应用题．
1．利用不等式求函数的定义域、值域
求函数定义域，首先要判断好函数类型，依各种不同函数的要求写出含有x的不等式．如由几部分经加、减、乘、除等构成的函数，需求不等式组的解． 已知函数y＝f(2x)的定义域是[1,2]，则函数y＝f(log2x)的定义域是( )
A．[2,4] B．[4,16]
C．[0,1] D．[1,2]
【思路点拨】 本题是两个方面的问题：①已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域；②已知f(x)的定义域，求f[φ(x)]的定义域．【解析】 ∵y＝f(2x)的定义域是[1,2]，
∴1≤x≤2.
∴2≤2x≤4，即y＝f(x)的定义域是[2,4]．
∵2≤log2x≤4,4≤x≤16.
∴函数y＝f(log2x)的定义域是{x|4≤x≤16}．
【答案】 B
【名师点评】 求定义域一般是根据条件列出不等式组求之，但求复合函数的定义域要切实把握好内外函数的定义域与值域的关系．2．利用不等式求函数最大值、最小值
求函数最大值、最小值主要方法有公式法(利用重要不等式和算术平均数与几何平均数定理)、配方法、判别式法、换元法等．求函数的最大值、最小值一定要注意函数定义域．【名师点评】 本题是复合函数求值域问题，利用换元法求得函数值域，一定要注意换元后变量范围的变化．3．恒成立问题中求字母范围的问题
在给定区间上不等式恒成立，一般地有类似下面常用的结论：(1)f(x)a恒成立?f(x)min>a.
已知函数f(x)在定义域(－∞，1]上是减函数，问是否存在实数k，使得f(k－sinx)≥f(k2－sin2x)对一切x∈R恒成立，并说明理由．【思路点拨】 首先应根据函数单调性去掉函数符号，转化为关于sinx的不等式恒成立问题．
【解】 ∵f(x)在(－∞，1]上是减函数，
∴k－sinx≤k2－sin2x≤1.
假设存在实数k符合题设．
∵k2－sin2x≤1即k2－1≤sin2x对一切x∈R恒成立，且sin2x≥0，
∴k2－1≤0，－1≤k≤1.①【名师点评】 该类题目形式上是探索性问题，实际上与封闭型题很接近，直接从条件出发，采用求函数最值的方法可探求出结论．课件2张PPT。课标领航
知识综览
1.现实中，人们常用长与短、多与少、高与矮、轻与重……来描述客观事物在数量上存在的不等关系．数学中，人们常用不等式表示这样的不等关系，不等式是数学研究的重要内容．
2.利用不等式性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值(或代数式)大小的比较或解不等式．
3.基本不等式是求最值的重要方法之一，同时利用基本不等式还可以比较大小，证明不等式等，在利用均值不等式时应注意“一正、二定、三相等”的三个条件．
4.当所要解的不等式中的含有绝对值符号时，将其转化为不含绝对值的不等式，关键是理解绝对值的概念，掌握绝对值运算性质和含绝对值不等式的同解性.第一讲 不等式和绝对值不等式学法指导
1.在利用不等式性质证明不等式或解不等式时，要搞清性质定理的条件与所研究的结论的条件、题设条件，要熟练掌握、准确使用不等式的性质．
2.在使用基本不等式进行问题证明或求最值时，要将条件与结论结合起来，寻找出变形的思路，构造出基本不等式的形式．
3.要熟练掌握含绝对值不等式的解题方法，关键是掌握去掉绝对值的方法.课件21张PPT。第三讲 柯西不等式与排序不等式一 二维形式的柯西不等式 课堂互动讲练知能优化训练一
二维形式的柯西不等式课前自主学案学习目标学习目标
1.认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义；
2．会证明二维柯西不等式及向量形式．课前自主学案1．柯西不等式有__________、 __________和__________三种形式．
2．柯西不等式的代数形式：设a1、a2、b1、b2均为实数，则(a＋a)(b＋b)≥ ___________ ，当且仅当___________ 等号成立．代数形式向量形式三角形式(a1b1＋a2b2)2a1b2＝a2b1|α·β|x1y2＝x2y1提示：不可以．当b·d＝0时上述式子不成立．课堂互动讲练 已知3x2＋2y2≤6，求w＝2x＋y的最大值．【名师点评】 要证的不等式是利用了
(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)的形式．【名师点评】 运用柯西不等式证明不等式的关键在于构造两组数，并依照柯西不等式的形式进行探索．法一用重要不等式求解．【名师点评】 利用柯西不等式时关键问题是找出相应的两组数，当这两组数不太容易找时，需分析、增补(特别对数字1的增补：a＝1·a)变形等． 已知3x＋2y＝1，求x2＋y2的最小值．【错因】 柯西不等式的构造形式出错不符合定理形式．柯西不等式的两个主要应用是证明不等式和求最值,利用柯西不等式证明不等式，先使用拆项、重组、添项等方法构造符合柯西不等式的形式及条件，再处理，利用柯西不等式求最值一定要注意检验等号成立的条件．课件24张PPT。三 排序不等式 三
排序不等式课堂互动讲练知能优化训练课前自主学案学习目标学习目标
1.了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题；
2．体会运用经典不等式的一般思想方法．课前自主学案1．设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…cn为b1，b2，…，bn的任一排列，称_________________________为顺序和,____________ ____________________为反序和，________________ ___________为乱序和．
2．排序原理可简记为：_______________________．a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn反序和≤乱序和≤顺序和思考感悟
排序不等式除教材上的证明方法外，还有其他证明方法吗？
提示：排序不等式的证明方法比较灵活，还有其他证明方法．课堂互动讲练【错因】 不理解ci∈{a1，a2，…，an}的含义，错误地认为ai＝ci即a1＝c1，a2＝c2，…，an＝cn，而实际ci即c1，c2，…，cn是a1，a2，…，an的任一排列．1．使用排序不等式，必须出现有大小顺序的两列数(或者代数式)来探求对应项的乘积的和的大小关系．
2．本质含义：两列数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一序列为常数序列．课件22张PPT。二 一般形式的柯西不等式 二
一般形式的柯西不等式课堂互动讲练知能优化训练课前自主学案学习目标学习目标
1.熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明；
2．会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式等一些问题．课前自主学案1．一般的三维形式的柯西不等式是
________________________________________.
2．一般形式的柯西不等式是_______________ _______________________________________，当且仅当_________________________________ ____________________________时等号成立．bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)思考感悟
在一般形式的柯西不等式的右侧中，等号成立的条件记为ai＝kbi＝kbi(i＝1,2,3，…n)，可以吗？
提示：不可以，ai·bi的顺序要与左侧ai，bi的顺序一致．课堂互动讲练【名师点评】 实际把原不等式转化为：
b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)，再构造柯西不等式的特征，也可以用重要不等式证明．【名师点评】 通过寻找整体a＋b＋c＋d＝s与部分a＋b＋c，b＋c＋d，c＋d＋a，d＋a＋b的关系．先进行等价转化，使要证明的不等式简单化，易于构造柯西不等式形式． 设a，b，c，d∈R＋，a＋b＋c＋d＝1，求
a2＋b2＋c2＋d2的最小值．【名师点评】 求最值就是寻找定值，故考虑a＋b＋c＋d作为整体，出现常数．主要问题是不等式不符合柯西不等式的结构形式而盲目硬套．
已知x＋2y＋3z＝1，求x2＋y2＋z2的最小值．
【错解】 ∵x＋2y＋3z＝1，∴(x2＋y2＋z2)(1＋2＋3)≥(x＋2y＋3z)2＝1，
当且仅当x＝2y＝3z时，取“＝”．【错因】 (x2＋y2＋z2)(1＋2＋3)想构造出(x＋2y＋3z)时，就不符号柯西不等式的结构特征，而盲目构造x＋2y＋3z的形式，况且此时“＝”成立的条件也不对．一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．课件11张PPT。本讲优化总结 专题探究精讲本讲优化总结知识体系网络讲末综合检测知识体系网络专题探究精讲 已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5.
求a的最大值和最小值．∵f(x)≥0恒成立，
∴Δ＝4(b＋c＋d)2－4(2b2＋3c2＋6d2)≤0，
∴2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2，
又由已知可得
2b2＋3c2＋6d2＝5－a2，b＋c＋d＝3－a，
∴(5－a2)≥(3－a)2，
∴a2－3a＋2≤0，
∴1≤a≤2，
∴amax＝2，amin＝1.设向量a＝(a1，a2，…，an)，b＝(b1，b2，…，bn)，
约定ai≠0，(i＝1,2，…，n)．
∵a·b＝|a||b|cosθ，
∴|a·b|≤|a|·|b|，
∴|a·b|2≤|a|2·|b|2，课件4张PPT。课标领航知识总览
1.数学研究中，发现了一些不仅形式优美而且具有重要应用价值的不等式．人们称为经典不等式．柯西不等式与排序不等式就属于这样的不等式．通过本讲的学习，我们可以领略这些不等式的数学意义、几何背景、证明方法及其应用．感受数学的美妙，提高数学素养．第三讲 柯西不等式与排序不等式2.对于许多不等式问题，用柯西不等式解往往是简单明了的．正确理解柯西不等式，掌握它的结构特点，就能更灵活地应用它．使用柯西不等式时，既要注意它的数学意义，又要注意它的外在形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致的形式时，就可以考虑利用柯西不等式对这个式子进行缩小或放大．3.排序不等式也是基本而重要的不等式．它的思想，简单明了，便于记忆和使用．许多重要不等式可以借助排序不等式得到证明.学法指导
1.学习柯西不等式要循序渐近，逐步掌握，数学意义→几何背景→证明方法→应用，特殊→一般．
2.通过证明不等式体会柯西不等式与排序不等式的应用.课件26张PPT。第二讲 证明不等式的基本方法一 比较法 课前自主学案课堂互动讲练知能优化训练一 比较法学习目标学习目标
1.掌握证明不等式的比较证明法、作差比较法、作商比较法；
2．会运用比较法解决不等式的实际问题．课前自主学案比较法证明不等式可分为差值比较法和商值比较法
(1)要证明a>b，只要证明_______；要证明a0a－b<0思考感悟
作差比较法的主要类型是什么？
提示：作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明．课堂互动讲练 比较a4－b4与4a3(a－b)的大小．
【思路点拨】 不等式的两边都是整式，可用作差法比较不等式的大小．∴a4－b4≤4a3(a－b)．
【名师点评】 作差法比较大小的关键是变形环节，通常采用因式分解法和配方法，特别是对两个多项式的大小比较．变式训练1 若a，b∈R，试比较a2＋b2与2(a－b－1)的大小．
解：a2＋b2－2(a－b－1)＝a2－2a＋1＋b2＋2b＋1
＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)．【思路点拨】 因两端为正数，且带有根号，故从题目特点出发，先比较其平方的大小，再利用不等式性质得出结论．【名师点评】 证明含有根号的不等式时，为了避免根号的干扰，可选择将不等式两边都平方，但要注意不等式两边必须是非负数．【思路点拨】 不等式两端都是指数式，它们的值均为正数，可考虑用商值法．【名师点评】 当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数不等式时，常采用商值比较法．变式训练3 设直角三角形的斜边长为c，两直角边长分别为a，b，试比较c3与a3＋b3的大小． 若a>b>0，c2．当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般用作差法．当被证不等式(或变形后)的两端都是正数且为乘积形式或幂指数形式时，一般用作商法．课件26张PPT。三 反证法与放缩法 三
反证法与放缩法课堂互动讲练知能优化训练课前自主学案学习目标学习目标
1.理解并掌握反证法、换元法与放缩法；
2．会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式．课前自主学案1．将所证的不等式的字母作适当的代换，以达到简化证题过程的目的，这种方法称为________．换元法2．证明不等式时，首先假设要证的命题________,以此为出发点，结合__________，应用_____、_____、_____、_____等，进行正确的推理，得到和____________或______________、_____、________________等矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立．我们把它称之为________．
3．在证明不等式时，通过把不等式的某些部分的值_____________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．不成立已知条件公理定义定理性质命题的条件已证明的定理性质明显成立的事实反证法放大或缩小思考感悟
运用放缩法证明不等式的关键是什么？
提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式．课堂互动讲练 设0“至少有一个”的反面是“一个也没有”．【名师点评】 当题目结论为否定性命题时，常采用反证法来证明，对结论的否定要全面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾． 已知a>0，b>0，c>0，且a2＋b2＝c2.
求证：当n≥3时，an＋bn要证不等式M>N，先假设M≤N，由题设及其他性质推出矛盾，从而肯定M>N成立．凡涉及到的证明不等式为否定性命题,唯一性命题,或是含“至多”、“至少”等字句时，可考虑使用反证法．2．常用的换元法——三角换元
对于条件不等式的证明，当所给的条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示时，可考虑三角换元,将两个变量都用一个参数表示，此法如果运用得当,可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题，如问题中已知x2＋y2＝a2，a∈(0，＋∞)，可设x＝acosθ，y＝asinθ；若已知x2＋y2≤1，可设x＝rcosθ，y＝rsinθ(|r|≤1)等．课件35张PPT。二 综合法与分析法 课前自主学案课堂互动讲练知能优化训练二 综合法与分析法学习目标学习目标
1.根据不等式性质，掌握运用综合法与分析法证明不等式的方法；
2．要学会分析综合的综合应用．课前自主学案1．一般地，从________出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的____、____而得出____成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫________或___________已知条件推理论证命题顺推证法由因导果法．2．证明命题时，从__________出发，逐步寻求使它成立的____条件，直到所需条件为____条件或一个________的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出__________成立，这种证明方法叫做分析法．这是一种________的思考和证明方法．要证的结论充分已知明显成立要证的命题执果索因思考感悟
如何理解分析法寻找的是充分条件？
提示：用分析法证明题时，语气总是假定的，常用“欲证A只需证B”表示，说明只要B成立，就一定有A成立，所以B必须是A的充分条件才行，当然B是A成立充要条件也可．课堂互动讲练【思路点拨】 此不等式结构复杂，用“比较法”“综合法”都不好“切入”解决，可尝试分析法．【名师点评】 分析法证明不等式，就是“执果索因”，从要证的不等式出发，不断用充分条件代替前面的不等式，直至使不等式成立的条件已具备，就可判定原不等式成立．当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法获得解决，这种方法对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效．即证b2－ac<3a2，也就是证：
(a＋c)2－ac<3a2，
即证(a－c)(2a＋c)>0，
∵a－c>0,2a＋c＝(a＋c)＋a＝－b＋a>0，
∴(a－c)(2a＋c)>0成立．
故原不等式成立． 已知a＋b＋c＝0，求证：ab＋bc＋ca≤0.
【思路点拨】 本题既可用分析法又可用综合法，可尝试用两种方法求解．【名师点评】 通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之，亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析法与综合法，两面夹击，相辅相成，达到解决欲证不等式的目的．变式训练3 若a，b，c是不全相等的正数．1．综合法证明不等式
(1)思维方法
综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知条件及不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后导出所需证明的不等式成立．2．分析法证明不等式
(1)思维方向
分析法证明不等式的思维方向是“逆求”(但决不是逆推)，即由待证的不等式出发，逐步逆求它要成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．(2)注意的问题
用分析法证题，是寻找不等式成立的充分条件，不是必要条件．因此，各步的寻求用“?”，有些步骤可用“?”，但不能用“?”，因为是寻求充分条件，不必每步都是“?”，证完之后也不能说每步都可逆，只有证明充要条件时，才可以说以上每步都可逆．3．综合法与分析法比较特别提醒：分析法证题的论述较为繁琐，要特别注意证题格式要规范，用分析法证明：“A?B”的推证过程，简写如下形式，B?B1?B2?…?Bn?A.
其书写格式为：要证明B为真，
只需证明B1为真．
从而又只需证明…这只需证明A为真，而已知A为真，故B为真．课件16张PPT。本讲优化总结 专题探究精讲本讲优化总结知识体系网络讲末综合检测知识体系网络专题探究精讲证明不等式的常用方法主要指比较法、综合法、分析法等．证明不等式时可首先考虑这些方法．
已知a，b，c∈R＋，n∈N＋.
求证：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．
【思路点拨】 不等式的两端是多项式形式，考虑用比较法证明．【证明】 (a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)
＝an＋1＋abn＋anb＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1
＝abn＋anb－an＋1－bn＋1
＝a(bn－an)＋b(an－bn)
＝(a－b)(bn－an)．
当a>b>0时，bn－an<0，a－b>0，
此时(a－b)(bn－an)<0；
当b>a>0时，bn－an>0，a－b<0，
此时(a－b)(bn－an)<0；当a＝b>0时，bn－an＝0，a－b＝0，
此时(a－b)(bn－an)＝0.
综上所述：
(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)≤0.
即：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．
【名师点评】 两端作差后，为判断差的符号，用到了分解因式的手段，但必须讨论a，b的取值才能确定an－bn的符号．【思路点拨】 本题若用比较法，则不易变形；若直接用综合法，则不易发现与已知不等式的关系．因而可试用分析法．【名师点评】 该例用分析法将一个较为复杂的不等式转化为简单的不等式，从而找到使它成立的条件．当然，该例也适用分析法与综合法相结合的方法．主要针对从正面不易直接证明的问题，特别是含有“至少”、“至多”以及含有否定意义的命题．
已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.
(1)若a＋b≥0，求证：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；
(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立．并证明你的结论．【思路点拨】 ①利用函数的单调性，并结合不等式性质推证．
②写出逆命题后，看一看能不能直接证．可考虑反证法．
【证明】 (1)∵a＋b≥0，
∴a≥－b.
由已知f(x)的单调性得：f(a)≥f(－b)．
又a＋b≥0?b≥－a?f(b)≥f(－a)．
两式相加即得：
f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．【名师点评】 问题(2)是反证法的范例．反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题．涉及“都是…”、“都不是…”、“至少…”、“至多…”等形式的命题，也常用反证法．如果不用反证法，则改为证明原命题的否命题正确，从而判定逆命题正确也可．放缩法常穿插在其它证明方法过程中，是为了达到证明的目的，有意的放大或缩小，是一种变形的技巧．【思路点拨】 考虑放缩．课件3张PPT。课标领航
知识综览
1.前面已经学习了一些证明不等式的方法，我们知道，关于数的大小的基本事实，不等式的基本性质，基本不等式以及绝对值不等式|x|≤a或|x|≥a的解集的规律等，都可作为证明不等式的出发点，本讲进一步学习证明不等式的基本方法．
2.比较法是证明不等式的基本方法，在证明过程中除了把不等式两边相减，通过比较差与0的大小来证明不等式外，有时也通过把不等式两边相除转化为证明所得的商与1的大小关系．第二讲 证明不等式的基本方法3.在思考数学命题时，执果索因和由因导果总是不断交替地出现在思维过程中，有些问题一时难以看出综合推理的出发点，我们可以从要证的结论入手，去逐步推求使之成立所需的条件，这就是用分析法证明的理由．但必须注意推演过程中的每一步都是寻求相应结论成立的充分条件．这时又需以综合推理来考虑如何得到这一步成立的条件，这样反复推理直到找出起始条件，就完成了证明的思考过程．
4.当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用．以分析寻找证明的思路，而用综合法叙述，表达整个证明过程.学法指导
1.证明不等式从基本方法入手来学习，锻炼有理有据的推理书写过程，不可盲目猜想．
2.证明不等式综合法和分析法结合使用，直接法和间接法结合使用，要多想：“能否推出下一步”．
3.要熟练掌握不等式的性质，注意性质成立的条件.课件30张PPT。第四讲 数学归纳法证明不等式一 数学归纳法学习目标
1.理解并掌握数学归纳法的概念，运用数学归纳法证明等式问题；
2．学会运用数学归纳法证明几何问题、证明整除性等问题． 课堂互动讲练知能优化训练一
数学归纳法课前自主学案学习目标课前自主学案1．数学归纳法适用于证明一个与_______________有关的命题．
2．数学归纳法的步骤是：
(1)(归纳奠基)_________________________________ _________________；
(2)(归纳递推)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，_________________________．
(3)结论：由(1)(2)可知，命题对一切n≥n0的自然数都成立．无限多个正整数推导n＝k＋1时命题也成立思考感悟
在数学归纳法中的n0是什么样的数？
提示：n0是适合命题的正整数中的最小值，有时是n0＝1或n0＝2，有时n0值也比较大，不一定是从1开始取值．课堂互动讲练【名师点评】 运用数学归纳法证明时，两个步骤缺一不可，步骤(1)是证明的归纳基础，步骤(2)是证明的主体，它反映了无限递推关系．变式训练1 求证：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N＋)．
证明：(1)当n＝1时，等式左边＝2，
等式右边＝2×1＝2，
∴等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋)等式成立，
即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)
＝2k·1·3·5…·(2k－1)成立．那么n＝k＋1时，
(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)·[2(k＋1)－1]．
即n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)可知对任何n∈N＋等式均成立． 平面上有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成了f(n)＝n2－n＋2部分．
【思路点拨】 用数学归纳法证明几何问题，主要是搞清楚当n＝k＋1时比n＝k时分点增加了多少，区域增加了几块，本题中第k＋1个圆被原来的k个圆分成2k条弧，而每一条弧把它所在部分分成了两部分，此时共增加了2k个部分，问题就得到了解决．【证明】 (1)当n＝1时，一个圆把平面分成两部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，因此，n＝1时命题成立．
(2)假设n＝k(k≥1)时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2部分．如果增加一个满足条件的任一个圆，则这个圆必与前k个圆交于2k个点．这2k个点把这个圆分成2k段弧，每段弧把它所在的原有平面分成为两部分．因此，这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2k部分，即有f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.
即当n＝k＋1时，f(n)＝n2－n＋2也成立．
根据(1)、(2)，可知n个圆把平面分成了f(n)＝n2－n＋2部分．
【名师点评】 有关诸如此类问题的论证，关键在于分析清楚n＝k与n＝k＋1时二者的差异，这时常常借助于图形的直观性，然后用数学式子予以描述，建立起f(k)与f(k＋1)之间的递推关系．则当n＝k＋1时，即增加一条直线l，因为任何两条直线不平行，所以l与k条直线都相交,有k个交点；又因为任何三条直线不共点，所以这k个交点不同于k条直线的交点，且k个交点也互不相同，如此k个交点把直线l分成k＋1段，每一段把它所在的平面区域分为两部分，故新增加了k＋1个平面部分． 用数学归纳法证明(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1(n∈N＋)能被x2＋3x＋3整除．
【思路点拨】 证明多项式的整除问题，关键是在(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1中凑出x2＋3x＋3.【证明】 (1)当n＝1时，
(x＋1)1＋1＋(x＋2)2×1－1＝x2＋3x＋3能被x2＋3x＋3整除，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时，(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1能被x2＋3x＋3整除，那么
(x＋1)(k＋1)＋1＋(x＋2)2(k＋1)－1
＝(x＋1)(x＋1)k＋1＋(x＋2)2·(x＋2)2k－1
＝(x＋1)(x＋1)k＋1＋(x＋1)(x＋2)2k－1－(x＋1)·(x＋2)2k－1＋(x＋2)2(x＋2)2k－1＝(x＋1)[(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1]＋(x2＋3x＋3)·(x＋2)2k－1.
因为(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1和x2＋3x＋3都能被x2＋3x＋3整除，所以上面的式子也能被x2＋3x＋3整除．
这就是说，当n＝k＋1时，
(x＋1)(k＋1)＋1＋(x＋2)2(k＋1)－1也能被x2＋3x＋3整除．
根据(1)(2)可知，命题对任何n∈N＋都成立．【名师点评】 用数学归纳法证明数或式的整除性问题时，常采取加项、减项的配凑法，而配凑的方法很多，关键是凑成n＝k时假设的形式．变式训练3 求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除(n∈N＋)．
证明：(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，
则当n＝k＋1时，
ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1
＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1
＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1，
由归纳假设，以上两项均能被a2＋a＋1整除，故当n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)、(2)可知，对n∈N＋命题都成立．1．数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步中验证n的初始值至关重要，它是递推的基础，但n的初始值不一定是1，而是n的取值范围内的最小值．
2．第二步证明的关键是运用归纳假设．在使用归纳假设时，应分析p(k)与p(k＋1)的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发,从p(k＋1)中分离出p(k)再进行局部调整．
3．在研究探索性问题时，由特例归纳猜想的结论不一定是真命题，这时需要使用数学归纳法证明，其一般解题步骤是：归纳—猜想—证明．课件36张PPT。二 用数学归纳法证明不等式 课堂互动讲练知能优化训练二
用数学归纳法证明不等式课前自主学案学习目标学习目标
1.理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明的基本步骤；
2．会运用数学归纳法证明不等式．课前自主学案1．对于关于自然数的不等式，也可以用数学归纳法证明：第一步是______________________________ ______________________；第二步是_____________ ___________________________________________．2．贝努利(Bernoulli)不等式：设x∈R，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有______________.
3．贝努利不等式的一般形式．
(1)当α是实数，并且满足α>1或α<0时有_________________.(x>－1)
(2)当α是实数，并且满足0<α<1时有_________________.(x>－1)(1＋x)n>1＋nx(1＋x)α≥1＋αx(1＋x)α≤1＋αx课堂互动讲练【名师点评】 ①证明第一步时，对n＝2一定要弄清左边是多少项．②在从k到k＋1时，一定要搞清添了多少项，少了哪些项，想方设法补成n＝k时的形式，用上n＝k证明n＝k＋1.【思路点拨】 本题由递推公式先计算前几项，然后再进行猜想，最后用数学归纳法进行证明；对于(2)中的第①题，要利用数学归纳法进行证明；②利用放缩法证明．【名师点评】 (1)数列中的归纳、猜想、证明是对学生观察、分析、归纳、论证能力的综合考查,先以具体的特殊的情况入手，进行细致分析合理归纳，再慎重、准确地猜想,最后再严密地推理、论证；
(2)本题中学生易犯的错误是：第(1)小题不加证明而是直接猜出an＝n＋1，an＋1＝n＋2后，代入左边和右边、不加任何说明就直接得结论成立．【思路点拨】 欲比较f(n)与g(2n)的大小，需求出f(n)与g(2n)的关于n的表达式，以便于特殊探路——从n＝1,2,3，…寻找、归纳一般性结论，再用数学归纳法证明．下面用数学归纳法证明．
①当n＝3时，由上述计算过程知结论成立；
②假设n＝k时，推测成立，即f(k)>g(2k)(k≥3)，
即(a＋b)k－ak－bk>4k－2k＋1，
那么f(k＋1)＝(a＋b)k＋1－ak＋1－bk＋1
＝(a＋b)·(a＋b)k－a·ak－b·bk
＝(a＋b)[(a＋b)k－ak－bk]＋akb＋abk.【名师点评】 当设n＝1,2时，得出f(n)＝g(2n)之后，不要急于去证明，应再试验一下，n＝3,4时,确定所下结论的准确性，以免走弯路．变式训练3 比较2n与n2的大小(n∈N＋)．
解：当n＝1时，21>12，
当n＝2时，22＝22，
当n＝3时，23<32，
当n＝4时，24＝42，
当n＝5时，25>52，
猜想：当n≥5时，2n>n2.
下面用数学归纳法证明：对不等式证明的第二步中，不用假设结论，而直接推证．【错因】 错误出在(2)中，从n＝k成立，证明n＝k＋1成立时没有进行推证，而是直接写出结论,这样是不符合数学归纳法要求的．1．用数学归纳法证明与正整数n有关的一些不等式命题，关键在于弄清不等式两边的构成规律，由n＝k到n＝k＋1时，不等式两边会增加多少项，增加怎样的项，然后确定需添加或乘上的项．
2．数列中的不少问题都可用数学归纳法予以证明，既可以是恒等式也可以是不等式，有一定的综合性,其中用不完全归纳法给出结论，用数学归纳法给出证明是常见题型．
3．应用归纳假设后的结论向n＝k＋1时欲证结论推导时，常采用放缩法、分析法、综合法、比较法等．课件12张PPT。本讲优化总结 专题探究精讲本讲优化总结知识体系网络讲末综合检测知识体系网络专题探究精讲【思路点拨】 分别令n＝2,3,4代入求值，由此猜想an.数学归纳法是一种重要数学证明方法，它帮助我们认识客观事物，从特殊到一般，由有限到无限，实现质的飞跃．
数学归纳法不是完全归纳法，而是变形的演绎法，它根据的是最小数原理．
任何非空的正整数集必有一个最小数．
数学归纳法是用以解决与无限个正整数有关的命题，其步骤是严格，第一步验证基础数成立，是递推的基础，第二步由n＝k的命题成立，推证k的后继数也成立，是递推的依据，二者缺一不可．【思路点拨】 先令n＝1,2,3代入，相比较猜出a的最大值，再证明．课件3张PPT。课标领航知识总览
1.在数学归纳法的两个步骤中，第一步是奠基，第二步是假设与递推．这两步都非常重要，缺一不可．第一步确定了n＝n0时命题成立，n＝n0成为后面递推的出发点，没有它递推就成为无源之水；第二步确认一种递推关系，借助它，命题成立的范围就能从正整数n0开始，向后一个数一个数地无限传递到n0以后的每一个正整数，从而完成证明．因此,递推是实现从有限到无限的飞跃的关键，没有它我们就只能停留在对有限情况的把握上．以上就是数学归纳法的基本原理．第四讲 数学归纳法证明不等式2.数学归纳法适用于证明什么样的命题呢？对于一些与无限多个正整数相关的命题，如果不易用以前学习过的方法证明，用数学归纳法可能会收到较好的效果.学法指导
1.数学归纳法是研究有关自然数的命题，所以对于命题要清楚自然数的变化会影响命题什么样的变化．?
2.用数学归纳法证明问题，要严格按照数学归纳法的步骤要求，特别是对于第二步的证明，要检查是否用了“归纳假设”.