北师大版八年级数学下册 1.4 三角形的内角平分线 第2课时 课件(共15张PPT)

(共15张PPT)
1.4 角平分线
第一章 三角形的证明
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第2课时 三角形的内角平分线
知识要点
1.三角形的三条内角平分线相交于一点
2.角平分线的性质和判定的实际应用
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
新知导入
画一画：分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
三角形的三个内角的平分线相交于一点.
课程讲授
1
三角形的三条内角平分线相交于一点
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
问题：分别过角平分线的交点画三角形三边的垂线，你发现了什么？
归纳：三角形的三个内角的平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
课程讲授
1
三角形的三条内角平分线相交于一点
已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F.
求证：∠Ａ的平分线经过点P，且PD=PE=PF.
A
B
C
P
N
M
D
E
F
例 求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到角两边的距离相等.
课程讲授
1
三角形的三条内角平分线相交于一点
A
B
C
P
N
M
D
E
F
证明：∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，且PD⊥ABPE⊥BC，
垂足分别为D，E，
∴PD=PE.（角平分线上的点到这
个角的两边的距离相等）.
同理，PE=PF.
∴PD=PE=PF.
∴点P在∠A的平分线上（在一个角
的内部，到角的两边距离相等的点
在这个角的角平分线上），即∠A
的平分线经过点P.
课程讲授
1
三角形的三条内角平分线相交于一点
三角形的平分线：
三角形的三条角平分线_________，并且这点到三边的距离______.
即PD=____=_____.
交于一点
相等
A
B
C
P
N
M
D
E
F
PE
PF
课程讲授
1
三角形的三条内角平分线相交于一点
练一练：如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，下面结论中正确的是（ ）
A.∠1>∠2
B.∠1=∠2
C.∠1<∠2
D.不能确定
B
课程讲授
2
角平分线的性质和判定的实际应用
例 如图,在△ABC中,AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)已知CD=4cm,AC的长;
E
D
A
B
C
（1）解：∵AD是△ABC的角平分线,
DE⊥AB,垂足为E，
∴DE=CD=4cm.
∵AC=BC,∴∠B=∠BAC.
∵∠C=90°,∴∠B=45°. ∴BE=DE.
在等腰直角三角形BDE中，
课程讲授
2
角平分线的性质和判定的实际应用
例 如图,在△ABC中,AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(2)求证:AB=AC+CD.
E
D
A
B
C
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL).
∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）.
∵BE=DE=CD,
∴AB=AE+BE=AC+CD.
课程讲授
2
角平分线的性质和判定的实际应用
练一练：如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置.
M
(∠AOB的角平分线与AB的交点)
随堂练习
1.如图，△ABC的三边AB,BC,AC的长分别为4,6,8，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB：S△OBC：S△OAC=（ ）
A.1∶1∶1
B.6∶4∶3
C.2∶3∶4
D.4∶3∶2
C
随堂练习
2.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　)
A．110° B．120° C．130° D．140°
A
随堂练习
3.如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置.
A
B
C
D
课堂小结
三角形的内角平分线
性质
三角形的三条内角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等
应用
判断一个点是否在角的平分线上；
解决实际问题