课件32张PPT。§1 数 列
1．1 数列的概念学习目标
1．理解数列及有关概念，了解数列的表示和分类，了解数列通项公式的意义．
2．能够根据数列的通项公式写出数列的任一项，对于简单的数列，能由前几项归纳出数列的通项公式． 课堂互动讲练知能优化训练1.1
数
列
的
概
念课前自主学案课前自主学案1．前5个正整数的倒数排成一列：____________.
2．集合的基本表示法有_______、 _______和Venn图法．
3．集合的列举法的一般形式为{a，b，c，d，…};
集合的元素具有_______ 、 _______、 _______．列举法描述法确定性互异性无序性1．数列的概念次序每一个数{an}通项有穷数列无穷数列有限无限2.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与n之间的_____关系可以用一个式子 _______来表示，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式．函数an＝f(n)1．{an}与an表示的意义相同吗？
提示：{an}与an表示的意义不同．{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式；而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系．2．已知数列的前几项，如何求数列的通项公式？
提示：有些数列只给出有限项，并没有给定它的构成规律，那么仅由其前几项归纳出的数列通项公式不唯一．因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，应多观察分析，真正找到内在的规律，由数列的前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循．(1)求数列的通项公式，关键是找序号n与项an的关系式；
(2)符号用(－1)n或(－1)n＋1来调节；
(3)分式的分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系．课堂互动讲练理解数列的概念应注意以下几个方面：
(1)数列中项与项之间用“，”隔开．
(2)数列中的项通常用an表示，其中右下角标表示项的位置序号，即an为第n项．(3)“顺序”的重要性：顺序对于数列来讲是十分重要的，几个不同的数，它们按照不同的顺序排列所得到的数列是不同的，这是数列与集合的不同之处．
(4)“项”与序号n是不同的：数列的项是这个数列中某一个确定的数，它实质上是序号n的函数值f(n)；而序号则是指该项在这个数列中的位置． 下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？
(1){1,3,5,7,9}；
(2)1,3,5,7,9；
(3)所有无理数；
(4)－1,1，－1,1，…；
(5)6,6,6，….
【思路点拨】 紧扣数列的概念和数列的分类标准解答．【解】 (1)是集合，不是数列；
(3)不是数列，因为无法把所有无理数按一定次序排列起来；
(2)，(4)，(5)是数列，其中(2)是有穷数列；(4),
(5)是无穷数列．
【名师点评】 数列的主要特征是有序性，解决此类问题的方法是根据这一性质及所含项数的多少和项的变化情况确定．根据数列的前几项写出它的一个通项公式，关键在于观察、分析数列的前几项的特征，找到数列的构成规律．为了发现数列的构成规律，可把序号1,2,3，…标在相应的项上，这样便于突出第n项an与项数n的关系，即突出an如何用n表示．【思路点拨】 根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等办法，转化为一些常见的数列来求．
【解】 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．【点评】 根据数列的前几项写通项公式，体现了由特殊到一般的认识事物的规律．解决这类问题一定要注意观察项与项数的关系和相邻项间的关系．
具体地可参考以下几个思路：
(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等.
(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的变化规律与对应序号间的函数关系式，如本例(3)中可分子、分母分别处理．(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)k处理符号，如本例(1)．
(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．判断某数值是否为该数列的项，需先假定它是数列中的项去列方程．若方程解为正整数，则是该数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．【思路点拨】 由通项公式求第n项，只需把n的值代入即可；判断一个数是不是数列的项,代入通项公式，解得n的值，看是否n∈N＋.【名师点评】 判断某数值是否为该数列的项就是解方程，判定方程的解是否为正整数.互动探究 若本例条件不变，则
(1)求该数列中的整数项；
(2)当n为何值时，an有最大值？并求出这个最大值．1．已知数列的通项公式求指定的项，只要把项的序数代入通项公式计算即可，要判断一个数是否为数列的项，只要把这个数代入通项公式中，然后求出n值，若n为自然数，则该数为数列中的一项，否则就不是数列的项．
2．根据所给数列的前几项写其通项公式时，常用的方法包括观察分析法、待定系数法、特殊数列法、归纳递推法等．
3．通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，通过通项公式就可以求出该项的值an.
4．不是所有的数列都能写出它的通项公式，对于同一个数列的通项公式的表达形式不一定是唯一的．课件33张PPT。1．2 数列的函数特性学习目标
1．理解数列的函数特性．
2．掌握三种特殊数列． 课堂互动讲练知能优化训练1.2
数列的函数特性课前自主学案课前自主学案1．函数的基本表示方法有_______、列表法和_______ ．
2．数列{an}的前4项为0,2,4,6，则其一个通项公式为___________ ．解析法图像法an＝2(n－1)1．数列与函数
数列可以看作是一个定义域为______________
____________________________的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．
2．数列的单调性大于小于相等1．数列与函数有什么关系？
提示：数列可以看作是定义域为正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数．数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数的解析式．数列是一种特殊的函数，可以用图像直观地表示，其图像是无限个或有限个孤立的点．由于函数有三种表示法，所以数列也有三种表示法：列表法、图像法和通项公式法．通常用通项公式法表示数列．
由于函数存在最值问题，则数列的项也存在最值问题，其讨论方法是转化为函数问题．2．如何判定数列的单调性？
提示：(1)作差比较法
①若an＋1－an>0恒成立，则数列{an}是递增数列.
②若an＋1－an<0恒成立，则数列{an}是递减数列.
③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列.
(2)作商比较法
①若an>0，则课堂互动讲练数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图像．因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})，所以其图像是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的． 已知数列{an}中，an＝n2－8n，
(1)画出{an}的图像；
(2)根据图像写出数列{an}的增减性．
【思路点拨】 (1)当n∈N＋时，分别在平面直角坐标系中描出点(n，an)即可．(2)图像的上升或下降显示数列的增减性．【解】 (1)列表
描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图像：
(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8,0)，(9,9)，…图像如图所示．
(2)数列{an}的图像既不是上升的，也不是下降的，则{an}既不是递增的，也不是递减的．【误区警示】 画数列的图像的方法仅有描点法，其步骤是：①列表；②描点．要注意描点后不能连线，这是由于数列的定义域是N＋.自我挑战1 画出下列数列的图像，并判断数列的增减性．
(1)2,4,6,8,10，…；(2)an＝－2n＋5.解：(1)数列2,4,6,8,10，…的图像如图(1)所示.由图像知它是递增数列．(2)由通项公式an＝－2n＋5，写出数列的前5项3,1，－1，－3，－5，描点可得数列{an}的图像如图(2)所示．由图像知它是递减数列．判断数列的单调性，一般地，根据数列的通项公式比较an＋1与an的大小，比较an＋1与an的大小常用作差法，此外还可用作商法、函数法．【思路点拨】 利用数列的性质，或利用函数知识求解．【规律小结】 判断一个数列的增减性，常常用作差的方法，通过判断差的符号来确定．对n∈N＋，当an＋1－an>0时，{an}为递增数列；当an＋1－an<0时，{an}为递减数列；当an＋1－an＝0时，{an}为常数列；当an＋1－an的符号不确定时，{an}既不是递增的，也不是递减的，也不是常数列．一个数列是递增数列其首项是这列数的最小值；一个数列是递减数列其首项是这列数的最大值．此外，数列的单调性有时与函数的性质结合起来．此时应注意数列函数的定义域．【名师点评】 数列问题转化为函数问题，体现了化归转化的思想、函数的思想．函数单调性的运用为数列问题的解决增添了新的途径．自我挑战2 设数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn(n∈N＋)，若数列{an}是单调递增数列，求实数k的取值范围．解：因为数列{an}是单调递增数列，所以an＋1
>an(n∈N＋)恒成立．
又an＝n2＋kn(n∈N＋)，所以(n＋1)2＋k(n＋1)－(n2＋kn)>0恒成立，
即2n＋1＋k>0，
所以k>－(2n＋1)(n∈N＋)恒成立．
当n＝1时，－(2n＋1)的最大值为－3，
所以k>－3即为所求范围．1．明确数列的分类：按项数可分为有穷数列和无穷数列；而按相邻项的大小又可分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数数列等．
2．在判定数列的增减性时有两种常用方法：一是作差(或作商)比较an与an＋1的大小；二是利用数列的图像或相应函数的单调性．课件24张PPT。§2 等差数列
2.1 等差数列
2.1.1 等差数列的概念学习目标
1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单问题．
2．熟悉等差数列通项公式的推导过程，掌握等差数列的通项公式的推导方法． 课堂互动讲练知能优化训练2.1.1
等
差
数
列
的
概
念课前自主学案课前自主学案1．如果数列{an}的________与______之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列{an}的通项公式．
2．从函数的观点看，数列的表示方法有_______ ， _______， ___________．第n项an序号n列表法图像法通项公式法1．等差数列的概念
如果一个数列从_______起，每一项与它的前一项的差等于___________，那么这个数列就叫做等差数列，这个_____叫做等差数列的公差，通常用字母___表示．
2．等差数列的通项公式
若{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，则{an}的通项公式为_________________.第二项同一个常数常数dan＝a1＋(n－1)d1．等差数列的定义中为什么要强调“从第2项起”和“差是同一个常数”这两点？
提示：通过列举反例来分析．我们知道一个数列的第1项没有前一项，所以强调“从第2项起”；“差是常数”和“差是同一个常数”的意义不一样，如数列1,5,3,7中，a2－a1＝5－1＝4＝常数，a3－a2＝3－5＝－2＝常数，a4－a3＝7－3＝4＝常数，差都是常数，但是很明显该数列不是等差数列，所以强调“差是同一个常数”，这是等差数列定义的核心．2．求等差数列的通项公式除课本的归纳法外,你还知道哪些方法？
提示：除课本上用归纳法得到通项公式外，还有以下几种方法推出等差数列的通项公式，这些方法是解决问题的一些重要的常规方法，要注意体会并逐步应用．
①累加法
因为{an}为等差数列，则有
an－an－1＝d，
an－1－an－2＝d，an－2－an－3＝d，
…
a2－a1＝d.
将以上各等式相加，得an－a1＝(n－1)d.
所以，an＝a1＋(n－1)d.
②迭代法
∵{an}是等差数列，则有an＝an－1＋d＝an－2＋d＋d＝an－2＋2d＝an－3＋d＋2d＝an－3＋3d＝…＝a1＋(n－1)d，
∴an＝a1＋(n－1)d.课堂互动讲练等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个变数，即a1，d，n，an.如果知道了其中任意三个数，就可以求出第四个数，这种可行性与求出未知数的过程可称为“知三求一”．有时是用两种方式(或条件)给出了两个同类变数的值，也可以求出这个等差数列其它未知数的值． (2009年高考安徽卷)已知{an}为等差数列, a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( )
A．－1 B．1
C．3 D．7
【思路点拨】 先列方程组求出等差数列的基本量a1和d，再求a20.【答案】 B
【名师点评】 在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素．有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系式列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．互动探究 在本例中，若条件改为“已知a5＝11，an＝1，d＝－2”，如何求n?判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义利用an＋1－an＝d(d为常数，n≥1)或an－an－1＝d(d为常数，n≥2)． 判断下列数列是否为等差数列．
(1)an＝3n＋2；(2)an＝n2＋n.
【思路点拨】 利用等差数列的定义，即判断an＋1－an(n∈N＋)是否为同一个常数．【解】 (1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N＋)由n的任意性知，这个数列为等差数列．(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是同一个常数，所以这个数列不是等差数列．
【名师点评】 利用定义法判断时，关键的是用an＋1－an得到的结论看是否是一个与n无关的常数，如果是，即为等差数列，若不是，则不是等差数列．在应用等差数列的通项公式时要注意方程思想的应用，其最终结果一般写成n的一次函数形式；另外，等差数列的变形为am＝an＋(m－n)d(m，n∈N＋)，应注意掌握． 在数列{an}中，a1＝3，a10＝21，且通项公式是项数的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式，并求a2011；
(2)若bn＝a2n，求数列{bn}的通项公式．
【思路点拨】 设出通项公式的一般形式，求出待定系数即可．【误区警示】 本题易出现不经证明而直接利用{an}是等差数列由已知条件求出公差d，进而求通项公式的错误，出错的原因在于曲解了题意．自我挑战 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d且a5＝10，a12＝31，求数列的通项公式.1．关于等差数列的通项公式的理解
等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，要理解公式中an，a1，n，d的含义并掌握以下几点:
(1)确定a1和d是确定通项的一般方法．
(2)由方程思想，根据an，a1，n，d中任何三个量可求解第四个量，即知三求一．
(3)等差数列与一次函数的异同点2.等差数列的判定
(1)判定一个数列为等差数列的常用方法有：
①定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N＋)?{an}为等差数列．
②通项法：an为n的一次函数?{an}为等差数列.
(2)判定一个数列不是等差数列只须证明2a2≠a1＋a3..课件32张PPT。2.1.2 等差数列的性质学习目标
1．进一步巩固等差数列的概念和通项公式，掌握等差数列的性质和等差中项．
2．理解等差数列的公差与一次函数斜率的关系． 课堂互动讲练知能优化训练2.1.2
等
差
数
列
的
性
质课前自主学案课前自主学案1．数列{an}为等差数列?_________________
________
2．等差数列的通项公式_________________
________．1．等差数列的项与序号的关系am＋an(n－m)d等差数列前一项后一项3．等差数列的性质
(1)若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列：
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为__的等差数列;
②{c·an}(c为任一常数)是公差为___的等差数列;
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为___ 的等差数列；
④数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为___的等差数列；cdd2dλd⑤下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为___的等差数列．
(2)若{an}、{bn}分别是公差为d1、d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p、q是常数)是公差为_________的等差数列；
(3)若{an}是有穷等差数列，则与首、末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an＋1－i＝…;mdpd1＋qd22．能否利用等差中项说明一个数列是等差数列？
提示：可以.2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)?{an}是等差数列．课堂互动讲练等差中项是等差数列中的一个重要概念，利用它不仅可以得到等差数列的一些重要性质，还可以判定一个数列是否是等差数列． 已知a，b，c成等差数列，那么a2(b＋c),
b2(a＋c)，c2(a＋b)是否构成等差数列．
【思路点拨】 从a，b，c成等差数列入手，在2b＝a＋c的作用下，是否有结果a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(a＋c)．等差数列的性质在数列问题的研究中经常用到,而且它具有很强的灵活性，常用的等差数列的性质如下：
(1)等差数列{an}中，若公差d>0，则数列为递增数列；若d<0，则数列为递减数列；若d＝0,则数列为常数列．
(2)等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.特例：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap. 在等差数列{an}中，
(1)(2010年高考全国卷Ⅱ改编)已知a3＋a4＋a5＝12，求a1＋a2＋…＋a7的值．
(2)(2010年高考重庆卷改编)已知a1＋a9＝10，求a5.
【思路点拨】 利用等差数列的性质求解．【解】 (1)由等差数列的性质知，a3＋a4＋a5＝3a4＝12?a4＝4，
∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4
＝7a4＝28.
(2)依题意a1＋a9＝2a5＝10，∴a5＝5.【误区警示】 在利用性质am＋an＝ap＋aq (m，n，p，q∈N＋)时，应注意等式两边项数相同，例如a7＋a3＝a10是不正确的．自我挑战1 在等差数列{an}中，
(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.
解：法一：(1)直接化成a1和d的方程如下：
(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48,
即4(a1＋12d)＝48，
∴4a13＝48，
∴a13＝12.利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数n为偶数时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量． (1)若三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；
(2)若四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首、末两数的积为－8，求这四个数．
【思路点拨】 本题可以利用三个数和四个数成等差数列设项技巧，也可以设出等差数列的首项与公差，建立基本量的方程组求解.【解】 (1)法一：设等差数列的等差中项为a,公差为d，则这三个数依次为a－d，a，a＋d.
依题意，3a＝6，且a(a－d)(a＋d)＝－24，
所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，
化简得d2＝16，于是d＝±4.
故所求的三个数依次为－2,2,6或6,2，－2.
法二：设首项为a，公差为d，
则这三个数分别为a，a＋d，a＋2d.
依题意，3a＋3d＝6，且a(a＋d)(a＋2d)＝－24,所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，
即d2＝16，于是d＝±4.
故所求的三个数依次为－2,2,6或6,2，－2.
(2)法一：设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.【规律小结】 三个数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d，公差为d；四个数成等差数列,常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d；五个数成等差数列，常设成a－2d，a－d, a，a＋d，a＋2d，公差为d.自我挑战2 若成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40，求这四个数.2．等差数列的性质
熟练掌握并灵活应用等差数列的性质解决问题，能起到事半功倍的效果，常用的性质有：
(1)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m,
n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an；
(2)下标构成等差数列的项，按照原来的顺序也构成等差数列，即若{an}为等差数列，下标为等差数列且公差为m的项：ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为md的等差数列.课件35张PPT。2.2 等差数列的前n项和?
2.2.1 等差数列的前n项和公式学习目标
1.掌握等差数列前n项和公式的推导方法，能应用公式解决基本的数列求和问题．
2．熟练掌握等差数列的五个基本量a1，d，n，an，Sn之间的关系，能够由其中的三个求另外两个，掌握前n项和公式的推证方法——倒序相加法． 课堂互动讲练知能优化训练2.2.1
等差数列的
前n项和公式课前自主学案课前自主学案1．等差数列的判定
(1)判定一个数列为等差数列的常用方法有：
①定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N＋)?{an}为等差数列．
②递推法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)?{an}为等差数列．③通项法：an为n的一次函数?{an}为等差数列.
(2)判定一个数列不是等差数列只须证明2a2≠a1＋a3.
2．等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N＋)．a1＋a2＋a3＋…＋an2．等差数列的前n项和公式课堂互动讲练将等差数列问题利用化归思想转化为基本量的关系，再利用方程的思想来解决，是通性通法.
一般地，等差数列的五个基本量a1，an，d，n,
Sn，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”问题，若能巧妙地利用等差数列(或前n项和)的性质会使计算更简便．【思路点拨】 充分利用等差数列的通项公式和前n项和公式，列方程(组)进行求解．【名师点评】 等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是由通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．自我挑战1 等差数列{an}中，a6＝10，S5＝5,求a8和S8.求等差数列的前n项和通常是求出首项a1和公差d，因此，需要列出关于a1和d的方程组，然后代入公式求Sn. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝35，S22＝473，求Sn.
【思路点拨】 由于等差数列的前n项和是关于n的二次函数，故可用待定系数法求解；也可列方程组求出a1和d再求Sn.(2)当A＝0，B＝0时，Sn＝0是关于n的常数函数an＝0(此时a1＝0，d＝0)；
当A＝0，B≠0时，Sn＝Bn是关于n的正比例函数an＝a1(此时a1≠0，d＝0)；
当A≠0时，Sn＝An2＋Bn是关于n的二次函数(此时d≠0)．解等差数列的前n项和的最值，基本思想是利用前n项和公式与函数的关系来解决问题，即:
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意的是：n∈N＋.
(2)图像法：利用二次函数图像的对称性来确定n的值，使Sn取最值． 等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，问数列前多少项之和最大，并求出最大值．【误区警示】 求解数列前n项和的最值，无论是利用Sn还是利用an，都要注意n的取值的限制，因为数列中可能出现零项，所以在利用不等式(组)求解时，不能漏掉不等式(组)中的等号，避免造成无解或漏解的失误．自我挑战2 数列{an}是等差数列，a1＝50，d＝－0.6，
(1)从第几项开始有an<0；
(2)求此数列的前n项和的最大值．3．等差数列{an}中，当a1<0，d>0时，数列{an}为递增数列，Sn有最小值；当a1>0，d<0时，数列{an}为递减数列，Sn有最大值；当d＝0时,
{an}为常数列．求Sn的最值时，常用通项法或转化为与二次函数有关的问题．课件34张PPT。2.2.2 等差数列前n项和的性质及应用学习目标
1．理解等差数列前n项和的一些性质，并能应用性质解决一些问题．
2．能应用等差数列解决一些实际问题． 课堂互动讲练知能优化训练2.2.2
等差数列前n项和的性质及应用课前自主学案课前自主学案k2dndan课堂互动讲练 等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28.
【思路点拨】 利用通项公式法求首项和公差是一种方法，但计算量大．可考虑用等差数列有关的性质，构造新的等差数列，由新等差数列便可较快地解决这类问题．【名师点评】 首项a1和公差d是等差数列的基本元素，其余的量均可与它们联系，故当条件与结论的联系不明显时，可先依据题目条件，列方程组，先求出a1和d，再解决其他问题，这是求Sn的基本方法．
同时{Sn}本身也可看成一个数列，有着它自身的特点，故也可从其自身规律寻找突破方法.自我挑战1 在等差数列{an}中，
(1)若{an}的前n项和为377，项数n为奇数，且前n项和中奇数项与偶数项和之比为7∶6，求中间项；
(2)若前4项和为25，后四项和为63，前n项和为286，求项数n；
(3)若a2＋a7＋a12＝24，求S13.首先由Sn－Sn－1＝an(n≥2)求得通项公式an，再利用an－an－1为常数判定数列为等差数列，在求an时，应要验证n＝1是否满足条件．【误区警示】 (1)用Sn求an时，一定要注意对n＝1时的讨论，这是这类问题的易漏点．
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn＋C(A，B，C为常数)，当C＝0时，数列{an}一定是等差数列；当C≠0时，数列{an}不是等差数列，但对于n≥2，即从第2项起所组成的数列是等差数列．在绝对值数列{|an|}的问题中，常常针对其前n项和命题，一般有已知数列{an}，求数列{|an|}的前n项和Sn.对于这类数列的求和问题有两个思考方向：一是要弄清哪些项为非负，哪些项为负，即分类讨论；二是要将不熟悉的问题转化为等差数列的问题．应特别注意要用分段函数的形式表示结果．【解】 (1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，
又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1满足an＝34－2n.
故{an}的通项公式为an＝34－2n.
所以an＋1－an＝34－2(n＋1)－(34－2n)＝－2.
故数列{an}是以32为首项，－2为公差的等差数列．【名师点评】 解题的关键是确定数列{an}的前16项是正的，其次是当n≥18时，用Sn－S17表示从a18到an这些数的和．本题是此类问题的一个典型例子，类似问题可以这样处理．求解等差数列的有关问题，除了注重函数思想，方程思想，及整体消元的方法外，还需特别注意解题中要有“目标意识”，以便能够做到“需要什么，就求什么”．课件34张PPT。§3 等比数列?
3.1 等比数列?
3.1.1 等比数列的概念及通项公式学习目标
1．掌握等比数列的概念．
2．掌握等比数列的通项公式及推导过程．
3．能应用等比数列的定义及通项公式解决问题． 课堂互动讲练知能优化训练3.1.1
等比数列的概念及通项公式课前自主学案课前自主学案1．等差数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列．
2．等差数列的通项公式
an＝a1＋(n－1)d＝ak＋(n－k)d(n，k∈N＋)．1．等比数列的定义
如果一个数列从_______起，每一项与它的前一项的比都等于___________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_____，公比通常用字母q(q≠0)表示．
2．等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则{an}的通项公式为an＝ _______.第二项同一个常数公比a1qn－11．等比数列的定义中为什么要强调“从第2项起”和“比是同一个常数”这两点？2．等比数列的通项公式有哪些常见的推导方法？
提示：等比数列的通项公式常见的推导方法有：
(1)迭代法
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由等比数列的定义得，
an＝an－1·q＝an－2·q2＝…＝a2·qn－2＝a1·qn－1.课堂互动讲练(1)在已知a1和q的前提下，利用公式an＝a1qn－1，可求出等比数列中的任意一项．
(2)在通项公式中知道a1、q、n、an四个量中的任意三个，可求得另一个量． 在等比数列{an}中，
(1)若a4＝27，q＝－3，求a7；
(2)若a2＝18，a4＝8，求a1和q；
(3)若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.【名师点评】 a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，一是运用通项公式及方程思想建立方程组求a1和q；二是要注意分类讨论思想的运用． 判断下列数列是否为等比数列．
(1)1,3,32,33，…，3n－1，…；
(2)－1,1,2,4,8，…；
(3)(t＋1)，(t＋1)3，(t＋1)5，…，(t＋1)2n－1，….(2)证明数列是等比数列，有时还需利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求得an；(3)题设中给出的递推式不是我们熟悉的数列时，一般应该变形，寻找与等比数列相联系的形式以便利用．自我挑战1 已知数列{an}前n项和为Sn，且对任意的n∈N＋有an＋Sn＝n.
(1)设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列；
(2)设c1＝a1且cn＝an－an－1(n≥2)，求{cn}的通项公式．等差数列和等比数列是两类特殊而重要的数列,是高考的重点，二者的区别和联系如下： (2010年高考陕西卷改编)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．
(1)求数列{an}的通项；
(2)求证：数列{2an}是等比数列．
【思路点拨】 (1)列方程组求得an和d，可求通项公式．
(2)求出2an后利用定义证明．【名师点评】 这类问题综合考查等差数列和等比数列的通项公式及其性质，要弄清等差数列中的某些项与等比数列中的某些项之间的关系，然后利用两种数列的性质，列出方程(组)进行求解，在求解过程中要注意到兼顾两种数列，有时需要进行必要的讨论和说明.4．涉及等差、等比数列的综合问题时，要紧扣各自的定义抓住问题的关键，灵活地应用化归与转化、方程等思想方法解决问题．课件35张PPT。3.1.2 等比数列的性质学习目标
1．进一步巩固等比数列的定义和通项公式，理解等比中项的概念．
2．掌握等比数列的性质，会用性质灵活解决问题． 课堂互动讲练知能优化训练3.1.2
等比数列的
性质课前自主学案课前自主学案等差数列的常用性质1．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，______________ ________，那么G叫作a与b的等比中项．使a、G、b成等比数列2．等比数列的单调性递减数列递增数列递增数列递减数列3.等比数列的常用性质qn－mam·an1．若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？
提示：不一定．因为若G＝0，且a，b中至少有一个为0，则G2＝ab，而根据等比数列的定义，a，G，b不成等比数列；当a，G，b全不为零时，若G2＝ab，则a，G，b成等比数列．2．等比数列与指数函数有何关系？课堂互动讲练等比数列性质的应用是高考常考内容．对于这类题目，根据通法通解，设出首项和公比列出方程组可以解决，但有时用上等比数列的性质，能加快解题速度、提高解题效率，得到事半功倍的效果． (2009年高考广东卷)已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝( )
A．n(2n－1) B．(n＋1)2
C．n2 D．(n－1)2
【思路点拨】从整体上利用等比数列的性质求解．【答案】 C【名师点评】 在等比数列有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算．若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质，进行整体变换，会起到化繁为简的效果．自我挑战1 已知各项都为正数的等比数列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求此数列的通项公式．像等差数列一样，等比数列的设项方法主要有两种，即“通项法”和“对称设项法”．所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.自我挑战2 若本例条件改为：已知四个数，前3个数成等差数列，后三个数成等比数列，中间两个数之积为16，首、末两数之积为－128，则如何求这四个数？将③代入得：q2－2q－8＝0，
∴q＝4或q＝－2.又a2＝16q，∴q>0，
∴q＝4，∴a＝±8.
当a＝8时，所求四个数分别为：－4,2,8,32.
当a＝－8时，所求四个数分别为：
4，－2，－8，－32.
故所求四个数分别为－4,2,8,32
或4，－2，－8，－32.(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．
(3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2＝ab”(a，b均不为0)，可以用它来判断或证明三数成等比数列．课件33张PPT。3.2 等比数列的前n项和学习目标
1．理解“错位相减法”求等比数列的前n项和公式，掌握等比数列求和公式，并能应用公式解决有关问题．
2．灵活运用等比数列前n项和的性质，进一步理解等比数列的性质． 课堂互动讲练知能优化训练3.2
等比数列的
前n项和课前自主学案课前自主学案1．等比数列的前n项和公式2.等比数列前n项和的性质
(1)连续m项的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)仍组成等比数列．(注意：这连续m项的和必须非零才能成立．)
(2){an}为公比不为1的等比数列?Sn＝Aqn＋B(A＋B＝0)．
(3)Sn＋m＝Sm＋qmSn(q为公比)．1．如何从函数的观点看等比数列前n项和与n之间的函数关系？提示：在计算等比数列的前n项和时，总是忘记公比q＝1的情形．其突破方法是明确等比数列的前n项和公式的推导过程，再就是注意经验的积累．
在推导等比数列{an}的前n项和公式过程中，
Sn＝a1＋a1q＋…＋a1qn－1，当等式两边同乘以q后，得
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn.
当q＝1时，qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn与Sn＝a1＋a1q＋…＋a1qn－1是同一个等式，
它们相减后得到0＝0，没有什么意义，
因此当q≠1时，它们相减后得到的等式(1－q)Sn＝a1－a1qn才具有意义．当q＝1时，等比数列{an}是常数列，则Sn＝na1.
因此等比数列的前n项和公式要分类讨论．
根据解题经验，在计算等比数列的前n项和时，首先考虑公比等于1的情形，否则易出错．课堂互动讲练【答案】 C
【误区警示】 运用等比数列的前n项和公式时，必须注意公比q是否为1，并且常用到等式两边约分或两式相除的办法进行化简或消元．在解等比数列问题时，要注意合理应用等比数列的性质，与等比数列前n项和有关的性质有：①项数相同，对应项的下标差相等，则这些项的和成等比数列；②连续m项和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)仍组成等比数列(注意此连续m项的和必须非零才成立)；③{an}为等比数列，且q≠1?Sn＝Aqn－A(A≠0)． 已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且S10＝5，S20＝15.
(1)求S30；
(2)S10，S20－S10，S30－S20是否是等比数列？
(3)求证：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n是等比数列．
【思路点拨】 灵活应用等比数列的前n项和公式，紧扣定义解答．(2)∵S10＝5，S20－S10＝10，S30－S20＝20.
且(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)．
∴S10，S20－S10，S30－S20是等比数列．
(3)证明：∵Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1
＝a1(1＋q＋…＋qn－1)，
S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋1q＋a2n＋1q2＋…＋a2n＋1qn－1
＝a2n＋1(1＋q＋…＋qn－1)，
S2n－Sn＝an＋1＋an＋1q＋an＋1q2＋…＋an＋1qn－1
＝an＋1(1＋q＋…＋qn－1)，而a1，an＋1，a2n＋1是等比数列，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n是等比数列．
【名师点评】 在解题时，选择适当方法可以提高解题速度，减少解题时间，本题结论很重要，是等比数列较常用的性质之一．互动探究 若将本例条件变为：各项均为正数的等比数列{an}中，S10＝10，S30＝70，求S40.所谓错位相减法是指在求和式子的左右两边同乘等比数列的公比，然后错位相减，使其转化为等比数列求和问题．此种方法一般应用于形如数列{anbn}的求和，其中数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列． (2010年高考四川卷)已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Sn.
【思路点拨】 由题意列方程组可求出an；将an代入bn可知数列{bn}的各项由两部分组成，一部分是等差数列，另一部分成等比数列，故考虑用错位相减法求和．(2)由(1)的解答可得，bn＝n·qn－1，于是
Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1.
若q≠1，将上式两边同乘以q，有qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn.【名师点评】一般地，若数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列且公比为q(q≠1)，求{an·bn}的前n项和时，常用“乘公比，错位减”的方法求和．在写出“Sn”与“q·Sn”时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便进一步地写出“Sn－qSn”的表达式，最后求和．特别注意公比是否为1，若不确定，必须对q＝1和q≠1加以讨论．这种求和的方法在高考中经常考查，且要求较高．1．在等比数列前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分q＝1和q≠1讨论，采用不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．2．等比数列的通项公式和前n项和公式共涉及五个量：a1，q，n，an，Sn，其中a1和q为基本量，且五个量“知三可求二”；在解决等比数列问题中，要学会用函数与方程、整体代换的思想方法分析问题，养成良好的思维习惯．
3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且公比q≠1，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用“乘公比，错位相减法”求和．课件35张PPT。§4 数列在日常经济生活中的应用学习目标
1．正确理解储蓄及利息的计算方法．
2．了解并掌握购房贷款中的相关知识．
3．明确现行银行的还款方式． 课堂互动讲练知能优化训练§4
数列在日常经济生活中的应用课前自主学案课前自主学案an＋1－an＝d(n∈N＋)an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－11．有关增长率、利率等的计算
(1)增长率＝____________；
(2)优惠率＝______________________；
(3)存款利率＝_________.2．数列应用题常见模型
(1)复利公式
按复利计算的一种储蓄，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝__________.
(2)产值模型
原来产值的基础数N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y＝_________.
(3)单利公式
利息按单利计算，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和为S＝_________．P(1＋r)nN(1＋p)xP(1＋nr)1．什么情况下建立数列模型？2．单利和复利分别与等差数列和等比数列中的哪一种数列对应？
提示：单利和复利分别以等差数列和等比数列为模型，即单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列．课堂互动讲练按单利分期付款的数学模型是等差数列，解决该类问题的关键是弄清楚：
(1)规定多少时间内付清全部款额；
(2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同；
(3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内利息的计算公式． 用分期付款购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止．商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？
【思路点拨】 先将实际问题转化为数学问题，这是一个等差数列问题，用等差数列来解决．【规律小结】 单利的计算仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为利息＝本金×利率×存期．以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金和利息和(以下简称本利和)，则有S＝P(1＋nr)．自我挑战1 李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”．从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，存期三年．
(1)已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.问到期时，李先生一次可支取本息多少元？
(2)已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是1.725‰.问李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元？(注：零存整取要收20%的利息税)复利问题的数列模型为等比数列，可利用等比数列的有关知识灵活求解．注：①分期付款，各期所付的款以及最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余额的现价及这个房款现价到最后一次付款时所生的利息之和．
②每年按复利计算，即本年利息计入次年的本金生息．
③必要时参考下列数据.1.0759≈1.971,1.07510≈2.061，1.07511≈2.216.【思路点拨】 按复利分期付款，各期所付的款以及最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余额的现价及这个款现价到最后一次付款时所生的利息之和．【解】 设每年应付款x元，那么到最后一次付
款时(即购房十年后)，第一年付款及所生利息
之和为x×1.0759元，第二年付款及所生利息之和为x×1.0758元，…，第九年付款及其所生利
息之和为x×1.075元，第十年付款为x元，而所
购房余款的现价及其利息之和为[1000×92－(28800＋14400)] ×1.07510＝48800×1.07510(元).【名师点评】 复利分期付款中的有关计算方法既是重点，也是难点，突破难点的关键在于：(1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额的增值．(注：最后一次付款没有利息)(2)明确各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可顺利建立等量关系．自我挑战2 某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2010年起，每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2020年年初将所有存款和利息全部取出，共取回多少元？
解：从2010年年初到2011年年初有存款b1＝a(1＋p)元，设第n年年初本息有bn元，第n＋1年年初有bn＋1元，则有bn＋1＝(bn＋a)(1＋p).将之变形为解答等差、等比数列综合应用问题的关系是通过审题，将实际问题转化为数列模型，运用等差数列和等比数列的知识解决问题，因此在做题过程中必须明确建立的是等差数列模型还是等比数列模型，明确是求n，还是求an，或是求Sn. 假设某市2010年新建住房400万m2，其中有250万m2是中、低价房．预计在今后的若干年后，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%.另外，每年新建住房中，中、低价房的面积均比上一年增加50万m2.那么，到哪一年底，
(1)该市历年所建中、低价房的累计面积(以2010年为累计的第一年)将首次不少于4750万m2?
(2)当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?【思路点拨】 第(1)问是等差数列求和问题；第(2)问由等比数列通项公式求出bn表达式，解不等式an>0.85bn，求得n的最小正整数解．令25n2＋225n≥4750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，∴n≥10.
∴到2019年底，该市历年所建中、低价房的累计面积将首次不少于4750万m2.
(2)设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，
其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400·(1.08)n－1，
由题意可知an>0.85bn，有250＋(n－1)50> 400· (1.08)n－1·0.85.由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n＝6,
∴到2015年底，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
【名师点评】 解决本题要明确是求和还是求通项，是等差模型还是等比模型．1．等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格的升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题，解决方法是建立数列模型，应用数列知识解决问题．
2．将实际问题转化为数列问题时应注意：(1)分清是等差数列还是等比数列；(2)分清是求an还是求Sn，特别要准确确定项数n；(3)递推关系的发现是数列建模的重要方式．3．明确各种银行存款所对应的数列模型：
(1)零存整取，在计算利息时，每次存入的钱不计复利，它就是等差数列模型；
(2)定期自动转存型，在计算利息时，以复利计算，是等比数列模型；
(3)分期付款是一种新的付款方式，每月按利息的复利计算，分期所付的款连同到最后一次付款时所产生的利息之和，等于商品售价与从购物到最后一次付款时的利息之和．4．数列是一类特殊函数，要注意函数思想、方程思想、转化思想等方法的使用，注重思维角度与解题途径的选择．知能优化训练本部分内容讲解结束点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用课件34张PPT。本章优化总结 专题探究精讲本章优化总结知识体系网络知识体系网络专题探究精讲数列的通项公式是数列的重要内容之一，只要存在数列的通项公式，许多问题就可迎刃而解.对于等差数列和等比数列的通项公式的求解可直接使用通项公式求解，而对于非等差、等比数列的通项公式的求解可通过适当的变形、构造等，使之成为等差或等比数列求解．因此数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的关键，现根据数列的结构特征把常见求解方法和技巧总结如下：
1．观察法
就是根据数列的前几项的变化规律，观察归纳出数列的通项公式的方法． 设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1，求数列{an}和{bn}的通项公式．【解】 ①当n＝1时，a1＝S1＝2；
②当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，当n＝1也适用．
故{an}的通项公式为an＝4n－2，
即{an}是a1＝2，公差d＝4的等差数列．3．累加法
求形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)为等差或等比数列或其他可求和的数列)的数列通项，可用累加法求通项，即令n＝1,2,3，…，n－1得到n－1个式子累加求得通项．累加法是反复利用递推关系得到n－1个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求{f(n)} 的前n项的和，要注意求和的技巧． 已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1－an＝3n－n，求数列{an}的通项公式．【解】 由an＋1－an＝3n－n，
得an－an－1＝3n－1－(n－1)，
an－1－an－2＝3n－2－(n－2)，
…
a3－a2＝32－2，
a2－a1＝3－1.【规律小结】 对于由形如an＋1－an＝f(n)型的递推公式求通项公式，
(1)当f(n)＝d为常数时，为等差数列，则an＝a1＋(n－1)d；
(2)当f(n)为n的函数时，用累加法．
方法如下：由an＋1－an＝f(n)得
当n≥2时，an－an－1＝f(n－1)，
an－1－an－2＝f(n－2)，
…(3)已知a1＝a，an＋1－an＝f(n)，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项an.
①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和；
③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和．4．累乘法
若数列{an}能写成an＝an－1f(n－1)(n≥2)的形式,则可由an＝an－1f(n－1)，an－1＝an－2f(n－2)，an－2＝an－3f(n－3)，…，a2＝a1f(1)连乘求得通项公式．累乘法是反复利用递推关系得到n－1个式子累乘求出通项，这种方法最终转化为求{f(n)}的前n－1项的积，要注意求积的技巧． 已知数列{an}满足an＋1＝2nan，且a1＝1,求an.数列的求和是数列运算中的重要内容，对于等差数列和等比数列可直接利用公式计算，对于有具体特征的非等差、等比数列可转化为等差数列或等比数列的形式，再求其前n项和．常用的求和方法有公式法、分组法、裂项相消法、倒序相加法、错位相减法等，解题时要认真研究数列通项的特点，从而确定恰当的求和方法.1．裂项相消法
对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．常见的拆项公式有：2．分组法
如果一个数列的每一项都是由几个独立的项组合而成，并且各独立项可组成等差或等比数列，则可利用其求和公式分别求和，从而得到原数列的和．3．倒序相加法
若所给数列{an}中与首、末项等距的两项之和相等，则把所给数列按下标从小到大的顺序书写和的等式，再按下标从大到小的顺序书写和的等式，再把这两个等式左右两边相加即得数列的前n项和．此种方法通称为倒序相加法.例如：等差数列前n项和公式的推导方法.【思路点拨】 本题是求函数值的和，通过对其解析式的研究，寻找它们的规律然后解题.【名师点评】 倒序相加法是等差数列前n项和公式的推导方法，即将Sn倒写后再与Sn相加，从而达到(化多为少)求和的目的．常用于组合数列求和．课件4张PPT。课标领航
本章概述在日常生活中，人们经常遇到像存款利息、购房贷款等实际问题，都需要用有关数列的知识来解决，因此，对数列的研究源于现实生产、生活的需要．数列是中学数学中的一项重要内容，并且是进行计算、推理等基本训练的重要素材，它与高等数学有着较为密切的联系，是进一步学习的基础，也是高考的热点和重点之一．第1章 数列本章首先通过实例说明数列的意义及数列的项、通项公式等有关概念．接着讲了两种特殊的数列——等差数列和等比数列，介绍了它们的定义、通项公式、前n项和公式等．
本章的学习要求是：
(1)通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法，了解数列是一种特殊的函数．
(2)通过实例理解等差数列、等比数列的概念，探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式，能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题，体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系.在学习本章内容时，要注意以下几个方面：
1.多结合实例，通过实例去理解数列的有关概念．数列与函数密切相关，多角度比较两者之间的异同，加深对两方面内容的理解．在解题时，应灵活地运用函数的思想方法去思考和解决数列问题，特别是等差和等比数列的问.运用函数思想方法以及它所得到的结论，不仅可以深化对数列知识的理解，而且可使这类问题的解答更为简便、合理.
2.善于对比学习．学习等差数列后，再学等比数列时，可以等差数列为模型，从等差数列研究过的问题入手，再探求出等比数列的相应问题，两相对照，可以发现在这两种学法指导数列的定义、通项公式、中项及性质中，用了一些相类似的语句和公式形式，但内容却不相同，之所以有这样的区别，原因在于“差”与“比”不同，通过对比学习,加深对两种特殊数列本质的理解，会起到事半功倍的效果．
3.在数列的研究中，要重视从已知的数据出发，观察、分析、推测这些数据的变化，进而得到我们需要的结论,领悟从特殊到一般，再由一般到特殊的客观规律．
4.要重视数学思想方法的指导作用．本章蕴含丰富的数学观点、数学思想和方法，在学习的过程中要逐步去领会、感悟.课件31张PPT。§1 正弦定理与余弦定理?
1．1 正弦定理学习目标
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形问题. 课堂互动讲练知能优化训练1.1
正
弦
定
理课前自主学案课前自主学案|a|·|b|cosθ它所对角的正弦1．能否利用向量的方法证明正弦定理？2．画△ABC，使a＝14，b＝16，A＝45°，你能画出几个？课堂互动讲练如果已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另两边． 在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.
【思路点拨】 已知两角和一边，可由内角和求第三个角A，再由正弦定理求b，c.【名师点评】 如果已知两角及一边则说明三角形是确定的，三角形确定了，则说明只有一解.已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，由正弦值求角时，需对角的情况加以讨论．
已知a、b、A解三角形时我们也可以从图形角度加以讨论：【思路点拨】 先利用正弦定理求另一边对角的正弦值，再由正弦定理求其他边和角．【名师点评】 已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，由正弦值求角时，需对角的情况加以讨论：是否有解，如有解，是一解还是两解，以防止漏解或增解．【名师点评】 在三角形中，当已知两个内角的大小或是已知两个内角的三角函数值时，一定能根据三角形内角和定理与两角和的正弦公式求出第三个内角的大小或其三角函数值.1．正弦定理表达了三角形的边和角的关系，其作用是解三角形，而且正弦定理有若干变形形式，应用正弦定理可以实现三角形中的边角关系的互相转换．通过应用还应发现它与三角函数、平面向量知识在解三角形中有密切的联系．2．应用正弦定理，要明确角化边或边化角的方向，正确判断解的个数，特别注意对已知两边及一边对角时三角形解的个数的讨论，防止出现漏解或增解．
3．涉及求三角形的边、面积等的最值时，应注意使用正弦定理、面积公式等建立函数关系式，通过求三角函数的最值来解决问题．课件30张PPT。1．2 余弦定理学习目标
1．理解用向量的数量积证明余弦定理的方法.
2．掌握并熟记余弦定理．
3．能运用余弦定理及其推论解三角形． 课堂互动讲练知能优化训练1.2
余弦定理课前自主学案课前自主学案余弦定理b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC余弦定理和勾股定理有何关系？
提示：余弦定理可以看作勾股定理的推广．
在△ABC中，设A为最大角，①若a2
b2＋c2，则180°> A>90°，即三角形为钝角三角形，反之，若A为钝角，则a2>b2＋c2.课堂互动讲练已知三角形的两边与一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以应用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边)．【思路点拨】 可先由正弦定理求出角C，然后再求其他的边和角，也可以由余弦定理列出关于边长a的方程，求出边长a，再由正弦定理求角A、角C.【名师点评】 法一利用余弦定理列出关于a的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出a边的长，这样可免去判断取舍的麻烦．法二直接运用正弦定理，先求角再求边．可比较两种方法，从中体会各自的优点，从而摸索出适合自己思维的解题规律和方法．已知三边或三边的比例关系，可直接利用余弦定理的变形公式解三角形的三个内角． (2009年高考宁夏、海南卷)如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量．
已知AB＝50 m，BC＝120
m，于A处测得水深AD＝80
m，于B处测得水深BE＝
200 m，于C处测得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值．【思路点拨】 构造直角三角形，在直角三角形中利用勾股定理求出DF、DE、EF的长度，再由余弦定理求∠DEF的余弦值．【名师点评】 已知三角形的三边求角可用余弦定理求解．利用余弦定理求角时，角是唯一确定的．自我挑战1 在△ABC中，已知sinA∶sinB∶
sinC＝3∶5∶7，试求最大角的度数．当问题需要边角互化时，通常将正弦定理和余弦定理相结合使用．【名师点评】 本题容易忽视已知条件中的△ABC为锐角三角形，得出角C有两个解，导致解题复杂化和解题错误．所以在解题时要仔细审题，把明显的、隐含的已知条件弄清楚，防止出现上面所说的情况．自我挑战2 在△ABC中，A最大，C最小，且A＝2C，a＋c＝2b，求此三角形三边之比．1．利用余弦定理解三角形时，要注意根据题意恰当地选取公式．一般地，求边长时，使用余弦定理；求角时，使用其推论．
2．要重视正弦定理、余弦定理在解三角形中的综合应用，特别是两者在实现边角转化中的作用不可忽视．3．解三角形问题的类型
解三角形的问题可以分为以下四类：
(1)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形．
此种情况的基本解法是：先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边(注意判断解的个数)．
(2)已知三角形的两角和任一边，解三角形．此种情况的基本解法是：若所给边是已知角的对边时，可先由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边；若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．
(3)已知两边和它们的夹角，解三角形．
此种情况的基本解法是：先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三个角．(4)已知三角形的三边，解三角形．
此种情况的基本解法是：先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一个角,最后用三角形内角和定理求出第三个角.
要解三角形，必须已知三角形一边的长．若已知条件中一条边长也不给出，则三角形可以有无数个，因此无法求解．课件35张PPT。§2 三角形中的几何计算学习目标
1．会利用正弦定理、余弦定理的变式解题．
2．记住三角形的各种面积计算公式．
3．能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的一些简单的综合问题． 课堂互动讲练知能优化训练§2
三角形中的几何计算课前自主学案课前自主学案的两倍，即a2＝_______________，b2＝_____
__________，c2＝_______________.
3．三角形的面积公式
S＝_____＝________＝____.b2＋c2－2bccosAa2＋b2－2abcosC2RsinA2RsinB2RsinC＝＝钝角三角形直角三角形锐角三角形如何判断三角形的形状？
提示：怎样判断三角形的形状呢？三角形形状的确定是解三角形中的一种常见题型，其基本方法是将条件中的边角关系全部转化为边的关系或角的关系，而“转化”的工具就是正弦定理和余弦定理等知识．(1)确定三角形形状的两条途径．
①化边为角；
②化角为边．
(2)判断三角形形状的具体方法．
①通过正弦定理实施边角转换；
②通过余弦定理实施边角转换；
③通过三角变换找出角之间的关系；
④通过三角函数值的符号进行判断．(3)若化角为边，则希望得到以下结果：a2＋b2＝c2(直角三角形)；a2＋b2＞c2且b2＋c2＞a2且c2＋a2＞b2(锐角三角形)；a2＋b2＜c2(钝角三角形)；a＝b(等腰三角形)；a＝b＝c(等边三角形).
若化边为角，则希望得到以下结果：sin(A－B)＝0或sinA＝sinB(等腰三角形)；sinC＝1或cosC＝0(直角三角形)(cos C<0钝角三角形)．课堂互动讲练有关线段的长度问题往往归结为求解三角形的边长，求三角形边长的问题一般会涉及正、余弦定理．熟练应用正弦或余弦定理是解这类问题的关键．【思路点拨】 对于(1)，已知△ABC两角及一角对边要求另一角的对边，显然需用到正弦定理求解．
对于(2)，由于D为AB中点，而BC已求，BD又可求，B已知，运用余弦定理．【名师点评】 恰当地选择正弦或余弦定理可以起到简化计算的目的．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：
(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边相等或满足勾股定理，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解. 在△ABC中，已知b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosB·cosC，试判断三角形的形状．
【思路点拨】 解决本题，可分别利用正弦定理或余弦定理，把问题转化成角或边的关系求解．自我挑战 在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，且满足(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab, 2cosAsinB＝sinC，试判断△ABC的形状．由于正弦定理、余弦定理阐述了三角形的边角之间的关系，因此对于三角形中的综合问题可以运用正弦定理、余弦定理以及三角变换公式、面积公式等知识解决．互动探究 本例中的条件不变，若sinC＋sin (B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．1．正弦定理、余弦定理研究的是任意三角形中边与角之间的关系，应用它们可以解以下四种斜三角形：
(1)已知两边和夹角，运用余弦定理求第三边；(2)已知三边，运用余弦定理的第二种形式求角; (3)已知两角和其中一角的对边，运用正弦定理求另外一角的对边；(4)已知两边和其中一边的对角，运用正弦定理求另一边的对角.在以上四种类型的三角形中，前三种可能是一解或者无解，第四类的三角形可能无解、一解或两解．
2．对于平面图形的计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决，构造三角形时，要注意尽量含有多个已知量，这样可以简化运算．3．在判断三角形的形状时，要根据题目本身的特点，决定是将边转化成角还是将角转化成边，此时要特别注意正弦定理、余弦定理及三角公式的灵活应用．课件39张PPT。§3 解三角形的实际应用举例学习目标
1．运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
2．通过对实际问题的探索，会利用数学建模思想把实际问题转化为数学问题，增强解决实际问题的能力，培养数学应用意识． 课堂互动讲练知能优化训练§3
解三角形的实际应用举例课前自主学案课前自主学案2Rb2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC上方下方2．方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图1所示)．
3．方位角的其他表示——方向角
(1)正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上．依此可类推正北方向、正东方向和正西方向．怎样将实际问题抽象成解三角形问题？
提示：将距离问题抽象成三角形中的边长问题,将方向等含有角度的问题抽象成三角形中的角的问题．例如，测量某条河宽时，把河宽看成一条线段，通过构造三角形，把这条线段看成某三角形的一边，通过解三角形来解决；再比如，测量山或建筑物等的高度，把它们的高度看成一条线段长，通过构造直角三角形，把这条线段看成直角三角形的直角边或斜边，通过解直角三角形来解决．要注意：(1)如果所解的三角形中，已知三边或已知两边及一角或两角及一边时，直接利用正弦定理或余弦定理求解，如果条件不满足，那么将缺少的元素即边或角放到其他三角形中，再通过解三角形得到．(2)解三角形应用题时，由于具体问题中给出的数据通常为有效近似值，故运算过程一般较为复杂，可以借助于计算器计算，当然还应达到算法简练、算式工整、计算准确等要求． (3)如果将正弦定理、余弦定理看成是几个“方程”，那么解三角形应用题的实质就是把未知量按方程的思想进行处理，解题时应根据已知量与未知量，合理选择一个比较容易解的方程，从而使解题过程简洁．(4)准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语，这是解决问题的前提和基础．课堂互动讲练测量不可到达的两点的距离时，若其中一点可以到达，利用一个三角形即可解决，一般用正弦定理；若两点均不可到达，则需要用两个三角形才能解决，一般正、余弦定理都要用到． (2009年高考辽宁卷)如
图所示，A、B、C、D都在同
一个与水平面垂直的平面内，
B、D为两岛上的两座灯塔的
塔顶．测量船于水面A处测
得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°， AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点【思路点拨】 根据图中的已知条件求出一些点与点之间的距离，结合图形和计算出的距离作出判断，然后把B、D间距离的计算转化为找到的与B、D间距离相等的另外两点之间的距离．【名师点评】 要计算距离就必须把这个距离归结到一个三角形中，通过正弦定理或余弦定理进行计算，但无论是正弦定理还是余弦定理都得至少知道三角形的一个边长，即在解决问题时，必须把我们已知道长度的那个边和需要计算的那个边纳入到同一个三角形中，或是通过间接的途径纳入到同一个三角形中，这是我们分析这类问题的一个基本出发点．答：救援船到达D点需要1小时．测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题． 甲、乙两楼相距200 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是多少？
【思路点拨】 先根据题意，画出图形，然后利用解三角形知识求解．【名师点评】 解决此类问题应注意：
(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角．
(2)准确理解题意，分清已知与所求，画出示意图．
(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．要测量角的大小，可利用测角仪或测距离的钢卷尺等工具，但对于不能直接测得的角的大小问题还要结合正弦定理、余弦定理解三角形．在解决角度测量问题的有关题目时，要搞清方位角、俯角与仰角等的含义，合理构造三角形求解，即把实际问题数学化． (2010年高考福建卷)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
【思路点拨】 正确画出示意图，将距离用速度和时间表示出来，将实际问题转化为解三角形问题，利用正弦定理求解．【名师点评】 首先应明确方位角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.1．解斜三角形应用题的一般步骤是：
①准确理解题意，分清已知与所求；
②依题意画出示意图；
③分析与问题有关的三角形；
④运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案；⑤注意方程思想的运用；
⑥要把立体几何知识与平面几何知识综合运用.
2．在选择关系式时，一是要力求简便；二是尽可能使用题中原有的已知数据，尽量减少计算中误差的积累，实际应用题的结果若是近似值要按照题目的具体要求或常规要求计算与保留，并注明单位．3．注意专业术语的含义，如：仰角、俯角、方位角、倾斜角、铅垂平面等．
4．解应用题关键是将文字语言翻译成数学语言，常借助画图法抽象成数学问题，并注意解模后的验证．课件28张PPT。本章优化总结 专题探究精讲本章优化总结知识体系网络知识体系网络专题探究精讲判断三角形的形状，一般有以下两种途径：
(1)将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；
(2)将已知条件统一化成角的关系，用三角方法求解．
在解三角形时的常用结论有：(1)在解三角形时，常常将正弦定理与余弦定理结合使用，要注意恰当地选择定理，简化运算过程，提高解题速度，同时，要注意与平面几何中的有关性质、定理结合起来，挖掘题目中的隐含条件．(2)利用正弦、余弦定理证明有关三角形的三角函数恒等式和判定三角形的类型，主要是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系．一般地，利用公式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC可将边的关系转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数恒等式进行化简，其中往往用到三角形内角和定【名师点评】 易误点：(1)中考生盲目地利用余弦定理把角的三角函数转化为边，导致计算量加大；(2)中不能利用(1)中所求的值寻找等式关系．【思路点拨】 由已知可把角A算出来，再求tanA，并求出sinA，直接代入面积公式即可.(1)三角形中的边角关系是最基本的数量关系，而正、余弦定理又是反映三角形这种数量关系最重要的两个定理，它们在天文测量、航海和地理测量等问题中有着广泛的应用．
(2)解决实际问题时，先将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用已学过的几何图形的性质，作必要的辅助线，将已知元素、未知元素集中到同一个三角形中，正确地选择正弦定理、余弦定理，使解题过程简洁，按照题目中已有的精确度进行计算，并注明单位． 如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点,另两个监测点B、C分别在A的正东方向20 km处和54 km处，某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8 s后监测点A、20 s后监测点C相继收到这一信号，在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A到P的距离为x km，用x表示B、C到P的距离，并求x的值；
(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离．(结果精确到0.01 km)【思路点拨】 (1)PA、PB、PC长度之间的关系可以通过收到信号的先后时间建立起来；
(2)作PD⊥a，垂足为D，要求PD的长，只需要求出PA的长和cos∠APD，即cos∠PAB的值．由题意，PA－PB，PC－PB都是定值，因此，只需要分别在△PAB和△PAC中，求出cos∠PAB，cos∠PAC的表达式，建立方程即可.课件5张PPT。课标领航
本章概述本章内容与已学过的关于三角形的定性研究的结论相联系，与平面几何中的三角知识以及三角函数的知识相联系，同时也体现了向量及其运算的应用．高考中以正、余弦定理为框架，以三角形为主要依托，来考查三角形的边角转化、三角形形状的判定、三角形内的三角函数求值及三角恒等式的证明、立体几何中的空间角及解析几何中有关角等问题．要特别关注利用正弦定理、余弦定理来解实际问题．因为本章知识在现实生活中有广泛的应用，通过本章的学习，能提高学生的数学建模能力.第2章 解三角形本章的中心内容是解三角形．主要包括正弦定理和余弦定理、应用举例与实习作业三部分内容，教材以直角三角形为例引出正弦定理，然后利用向量方法证明了正弦定理、余弦定理，余弦定理揭示了任意三角形边、角之间的客观规律，是解三角形的重要工具．
本章学习要求是：(1)在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角之间的数量关系,并可以运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
(2)掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
(3)从处理解三角形的实际应用问题中，获得综合运用解三角形的知识和方法，解决实际问题的经验，发展创新意识.在学习本章内容时，要注意以下几个方面：
1.重视数学思想方法的运用．解三角形作为几何度量问题,要突出几何背景，注意数形结合思想的运用，具体解题时,要注意函数与方程思想的运用．
2.加强新旧知识的联系．本章知识与初中学习的三角形的边、角关系有密切联系．同时，要注意与三角函数、平面向量等知识的联系，将新知识融入已有的知识体系，从而提高综合运用知识的能力．学法指导3.提高数学建模能力．利用解三角形解决相关的实际问题，关键是读懂题意，找出量与量之间的关系，根据题意作出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型．
4.通过本章学习，使学生掌握正弦定理、余弦定理，并能够运用正弦定理和余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.课件25张PPT。1 不等关系
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1．1 不等关系与大小比较学习目标1.掌握实数运算的性质与大小顺序之间的关系．
2．会用作差法比较两实数的大小． 课堂互动讲练知能优化训练1.1 不等关系与大小比较课前自主学案课前自主学案1．以前我们学过什么是不等式：在客观世界中，量与量之间不等关系是普遍存在的，用数学符号“>”或“<”或“≤”或“≥”或“≠”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些________的式子叫做不等式．
2．若f(x)在区间D上是增函数，则对任意x1，x2∈D且x1(1)a>b或a(2)不等式“a≥b”读作“______________”．其含义是指“__________________”，等价于“a不小于b”，即a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．
(3)不等式“a≤b”读作“_______________”．其含义是指“___________________”，等价于“________”，即ab，或者a＝ba小于或等于b或者aa－b>0?_______；
a－b＝0?________；
a－b<0?_______.
等价符号的左边反映的是________________，右边反映的是_________________，它是不等式这一章内容的理论基础，是不等式性质的证明，也是解(或证)不等式的重要依据．a>ba＝ba提示：在数轴上，不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大．2．不等关系与不等式有什么区别？
提示：不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用符号“＞”、“＜”、“≠”、“≥”或“≤”表示；而不等式则是用来表示不等关系的，可用“a＞b”、“a＜b”、“a≠b”、“a≥b”或“a≤b”等式子表示，不等关系是通过不等式来体现的．课堂互动讲练在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用；没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．另外，在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一． 《铁路旅行常识》规定：
“一、随同成人旅行身高1.1～1.5米的儿童，享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米时，应买全价票．每一成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．
…十、旅客免费携带物品的体积和重量是：每件物品外部尺寸的长、宽、高之和不超过160厘米，杆状物品不超过200厘米，重量不超过20千克…”设身高为h(米)，物品外部尺寸的长、宽、高之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系：【思路点拨】 首先认真分析各不等关系中量与量之间的关系，再用不等式将其表示出来．
【解析】 身高在1.1～1.5米之间可表示为
1．1≤h≤1.5；
身高超过1.5米可表示为h＞1.5；
身高不足1.1米可表示为0＜h＜1.1；
物体长、宽、高之和不超过160厘米可表示为
0＜P≤160.【答案】 1.1≤h≤1.5 h＞1.5 0＜h＜1.1 0＜P≤160
【名师点评】 不等式是不等关系的符号表示．在用不等式表示不等关系时应特别注意能否取等号的问题，如本题中“超过”和“不足”都不能取等号；而“不超过”则包含相等情况，应该取等号．自我挑战 1970年4月24日，我国成功发射“东方红一号”人造地球卫星，2008年9月25日，我国“神舟七号”载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功．“东方红一号”与“神舟七号”部分参数的对比见下表：我们不难发现，“神舟七号”飞船比“东方红一号”卫星在很多方面都有了较大的发展，请将表格补充完整．
解析：观察参数对比表可以发现sa>sb，s′a>s′b，ta>tb，ma答案：s′a>s′b ta>tb ma【思路点拨】 此题属于两个多项式比较大小，可以作差，然后再分解因式变形即可．∴(x－1)(x2－x＋1)≥0.
∴x3＋1≥2x2－2x＋2.
【名师点评】 作差比较的关键是变形，变形的目的是利于判断符号，因此选择合理的方法是解题的关键．互动探究 若将本例中“x≥1”改为“x∈R”，再比较x3＋1与2x2－2x＋2的大小．不等式中的创新型问题的特点是：通过给出的新的数学概念或新的运算方法，在新的规则下完成某种推理证明．常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型．此类题多以选择题、填空题的形式出现．【思路点拨】 照葫芦画瓢，按“规定”去做．【答案】 m>n【名师点评】 理解“规定”，吃透“新定义”的含义是解决好创新型(新定义型)问题的关键．1．在学习本节时，要把实际问题抽象为数式之间的不等关系，赋予形象直观的具体情景，以加深对不等关系的理解．
2．明确比较两数式的大小的方法是作差比较法，作差比较法的基本步骤是作差→变形→定号→得出结论，其中，变形这一步是灵魂，常用的方法是配方法、因式分解法、分子(母)有理化等．当作差后，符号受到字母参数范围的影响而难以判断时，要注意分类讨论思想的运用．3．不等式及不等关系与实际联系较为密切，根据题意列不等式(组)和运用不等式解决实际问题是本节常见的题型．
4．比较多个实数(代数式)的大小，可先用特殊值法判断出它们的大小，然后再进行证明．特别地，对于选择题采用此法更有效．课件23张PPT。1．2 不等式的性质学习目标掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题． 课堂互动讲练知能优化训练1.2 不等式的性质课前自主学案课前自主学案1．比较实数大小的依据
a－b>0?a___b；
a－b＝0?a___b；
a－b<0?a__b.
2．通过以前的学习，我们知道，____有一些基本性质，如“等式两边加(减)同一个数(或式子)，结果仍相等．”类比等式的性质，我们可得出_______的一些基本性质，还可利用这些性质进行一些实际问题的解决．>＝<等式不等式不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b?_______
(2)传递性：a＞b，b＞c?_______
(3)可加性：a＞b?____________
(4)可乘性：a＞b，c＞0?_________；a＞b，c＜0?____________.
(5)加法法则：a＞b，c＞d?_______________.
(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0?_________.
(7)乘方法则：a＞b＞0?an＞bn＞0(n∈N，n_2)．b＜a.a＞c.a＋c＞b＋c.ac＞bcac＜bca＋c＞b＋dac＞bd≥1．若a>b>0，当n<0时，an>bn成立吗？2．两个同向不等式可以相加和相乘吗？
提示：可以相加但不能相乘，例如2>－1，－1>－3.课堂互动讲练运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质．解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．【思路点拨】 以不等式性质为依据推理正确性，或用举反例法否定其正确性．【答案】 B
【名师点评】 解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需要条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手推出与结论相反的结论或举出一个反例予以否定．利用不等式性质证明简单的不等式的实质就是根据性质把不等式进行变形，要注意不等式性质成立的条件．如果不能直接由不等式性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构，再利用不等式性质进行转化．【名师点评】 解决这类问题，常要分析条件与结论的关系，进而用不等式的性质建立起两者间的桥梁．不等式有广泛的应用，在应用时应严格依据不等式的基本性质和运算法则，做题时要有理有据，这是正确解答此类题目的保证． (2010年高考辽宁卷)已知－12．不等式性质的难点在于理解同向不等式相加、相乘的性质．在一个题目中，若多次使用该性质变形，要注意变形是否具有等价性．透彻理解不等式性质的条件与结论，对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，即每个性质是否具有可逆性．课件38张PPT。2 一元二次不等式
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2．1 一元二次不等式的解法
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2．1.1 一元二次不等式及其解法(一)学习目标1.正确理解一元二次不等式的概念．
2．掌握一元二次不等式的解法．
3．理解一元二次不等式，一元二次方程及二次函数之间的关系． 课堂互动讲练知能优化训练2.1.1 一元二次不等式及其解法(一)课前自主学案课前自主学案1．一元二次不等式的有关概念
(1)一元二次不等式：形如_________________或__________________________的不等式叫做一元二次不等式．
(2)一元二次不等式的解：一般地，使某个一元二次不等式成立的_______叫这个一元二次不等式的解．
(3)一元二次不等式的解集：一元二次不等式的________组成的集合，叫做一元二次不等式的解集．ax2＋bx＋c>0(≥0)ax2＋bx＋c<0(≤0)(其中a≠0)x的值所有解2．一元二次不等式的解集
一元二次不等式的解集如下表：1．如何理解一元二次不等式的概念？
提示：可以这样理解：①形如ax2＋bx＋c>(≥，<，≤)0(a≠0)的不等式，叫作一元二次不等式，其中a，b，c为常数，特别要注意a≠0.
②“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他的字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，哪一个是“未知数”，哪一些是“参数”就可以．
③“次数最高是2”，仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制．2．为什么能用二次函数的图像解一元二次不等式？
提示：我们知道以自变量的取值为横坐标，对应的函数值作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出所有的点，这些点就构成了函数的图像．因此函数图像上点的坐标的意义是横坐标是自变量的取值，纵坐标是对应的函数值．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像上的点的坐标的意义也是一样．由于位于x轴上方的点的纵坐标大于0，位于x轴上的点的纵坐标等于0，位于x轴下方的点的纵坐标小于0，所以二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像上位于x轴上方的点的横坐标的取值范围是不等式f(x)＝ax2＋bx＋c>0的解集，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像上位于x轴下方的点的横坐标的取值范围是不等式f(x)＝ax2＋bx＋c<0的解集．所以可以用二次函数的图像解一元二次不等式．当然，对于任意函数y＝f(x)，只要能画出它的图像，那么就可以解不等式f(x)>0或f(x)<0.课堂互动讲练解一元二次不等式的一般步骤是：
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集． 解下列不等式：
(1)2x2－3x－2>0；(2)－x2－2x≥－3；
(3)9x2－6x＋1>0；(4)x2－4x＋5>0；
(5)x2－x＋1<0.【思路点拨】 求解一元二次不等式可以依据“三个二次”之间的关系求解，也可以利用二次函数图像求解，还可以将不等式左边因式分解，转化为一元一次不等式组求解．【名师点评】 本例中第(1)题给出了三种解法，其中法一要熟练掌握，法二画图像较直观，有助于对法一的理解，法三因式分解不太容易．我们常用法一来解一元二次不等式，即求出判别式看其符号——求根——根据不等式中不等号的方向写出解集．自我挑战1 解下列不等式．
(1)3x2－5x≤2；(2)－2x2＋x＋1<0；
(3)2x2－x＋6<0；(4)－x2＋6x－9≥0；
(5)x2－x－1>0；(6)x(6－x)>0.对于这类不等式，其解法为：首先化为一元二次不等式组，再分别求每一个一元二次不等式，最后求其交集． 求下列不等式的解集：
(1)－4＜x2－5x＋2＜26；(2)0＜x2－x－2＜4.【名师点评】 注意一元二次不等式的形式，即在利用不等式的解在“两根之间”或“两根之外”的结论时，首先要弄清前提条件是a＞0还是a＜0.含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏．若二次项系数含有参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；其次，对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 解不等式ax2－(2a＋2)x＋4>0(a∈R)．
【思路点拨】 解答本题可先由a＝0，a<0，a>0分三类情况，将原不等式化为(x－x1)(x－x2)>0或(x－x1)(x－x2)<0的形式，再根据一元二次方程ax2－(2a＋2)x＋4＝0根的大小，由相应的二次函数的图像写出原不等式的解集．【名师点评】 二次项系数中含有参数时，参数的符号影响着不等号的方向．根中含有字母时，参数的符号影响根的大小．
另外对参数分类讨论，其结果应对参数分类叙述，为了叙述结果简洁，可把与其解的结构一样的相应参数的取值范围合并在一起．自我挑战2 解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a>0(a∈R)．
解：∵Δ＝[－(a＋1)]2－4a＝(a－1)2≥0.
∴方程x2－(a＋1)x＋a＝0的两根为x1＝1，x2＝a.
①当a>1时，原不等式的解集为：{x|x<1，或x>a}．
②当a<1时，原不等式的解集为：{x|x1}．
③当a＝1时，原不等式的解集为：{x|x∈R且x≠1}．1．解一元二次不等式时，应首先将所给的不等式标准化，再确定相应的二次方程的根，最后由函数图像写出解集，对于当Δ<0，Δ＝0等特殊情况的解集要从本质上理解．
2．不等式组的解集是各部分同时成立的范围，即各部分解集的交集．3．解不等式时应注意的问题
(1)解含参数的不等式时，必须注意参数的取值范围，并在此范围内对参数进行分类讨论．
(2)了解哪些情况需要分类讨论．
①二次项系数为字母时，要分等于零、大于零、小于零三类讨论．
②对应方程的根无法判断大小时，要分类讨论．
③用不等式性质对不等式变形时，必须具备的变形条件．
④若判别式含参数，则在确定解的情况时需分Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三种情况进行讨论．课件24张PPT。2．1.2 一元二次不等式及其解法(二) 课堂互动讲练知能优化训练2.1.2 一元二次不等式及其解法(二)课前自主学案对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，设Δ＝b2－4ac，它的解按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0可分为三种情况．相应地，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与x轴的位置关系也分为三种情况．课前自主学案Δ<0Δ<0{x|xx2}{x|x1提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的值满足y>0时的自变量x组成的集合，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像在x轴上方的点的横坐标x的集合，而一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根就是二次函数图像与x轴交点的横坐标，也是一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集端点．课堂互动讲练一元二次不等式解集的端点，即对应二次方程的根，也是对应二次函数的零点．∴2x2＋bx＋a<0?2x2－2x－12<0?x2－x－6<0
?(x－3)(x＋2)<0?－2∴2x2＋bx＋a<0的解为－2【名师点评】 若已知一元二次不等式的解集，则由三个“二次”之间的联系，推知相应的一元二次方程的两根及二次项系数的正负性，再利用一元二次方程根的与系数的关系即可解决问题．(3)类似地，还有f(x)≤a恒成立?[f(x)]max≤a；
f(x)≥a恒成立?[f(x)]min≥a. 当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R?【思路点拨】 不等式的解集为R，也就是函数f(x)＝(a2－1)x2－(a－1)x－1的图像恒在x轴下方，注意二次项系数a2－1可能为0，也可能小于0，应分两种情况讨论加以解决．【误区警示】 本题易忽略a2－1＝0的情况，而出题人正是抓住这一点，常在此处设置陷阱，故对于此类问题应首先考虑二次项系数是否为0的情况．互动探究 本例改为“a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为?？”如何求解？解不等式应用题，一般可按如下四步进行：
(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；
(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系；
(3)解不等式；
(4)回扣实际问题． 政府收购某种农产品的原价格是100元/担，其中征税标准为每100元征10元(叫税率为10个百分点，即10%)，计划收购a万担，为了减轻农民负担，现决定将税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点．要使此项税收在税率调节后不低于原计划的83.2%，试确定x的范围．【思路点拨】 利用降低税率后的税收大于或等于原计划税收的83.2%，建立不等式求解．【名师点评】 在建立一元二次不等式的模型时，为了理解题目中量与量之间的关系，可以像本例题这样，把题目中的文字语言转化为数学语言，从而顺利地建立不等式模型．
在解一元二次不等式应用题时，要注意的是所求出的结果必须有实际意义．自我挑战 汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：甲、乙两车有无超速现象？
解：由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2＞12，即x2＋10x－1200＞0，解得x＞30或x＜－40(不合实际意义，舍去)，这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意刹车距离略超过12 m，由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.
对于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10，即x2＋10x－2000＞0，解得x＞40或x＜－50(不合实际意义，舍去)，这表明乙车的车速超过40 km/h，超过限速．
综上，甲车无超速现象，乙车有超速现象．1．如何理解一元二次不等式的解集与二次函数和一元二次方程之间的关系
(1)从函数观点看(以a>0的二次函数为例)
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的值满足y>0时的自变量x组成的集合，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像在x轴上方时点的横坐标x的集合．而一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根就是二次函数图像与x轴交点的横坐标，因此要加深理解“二次函数、一元二次方程和一元二次不等式”这三个“二次”之间的内在联系．
2．形如“ax2＋bx＋c>0(或<0)”的不等式恒成立问题，必须对a＝0与a≠0作分类讨论，以防出错．有些恒成立问题可通过分离参变量，转化为最值问题去处理．课件31张PPT。2．2 一元二次不等式的应用学习目标1.掌握分式不等式，高次不等式的解法．
2．能把一些简单实际问题转化为不等式进行处理． 课堂互动讲练知能优化训练2.2 一元二次不等式的应用课前自主学案课前自主学案一元二次不等式的解法
一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准形式：
(1)ax2＋bx＋c>0 (a>0)；
(2)ax2＋bx＋c<0 (a>0)．
上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过方程ax2＋bx＋c＝0的根确定．设Δ＝b2－4ac，则：①Δ>0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个_____的解x1、x2，设x1②Δ＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个_____的解，即x1＝x2，则不等式(1)的解集为{x|x≠x1，x∈R}，不等式(2)的解集为___；
③Δ<0时，方程ax2＋bx＋c＝0无实数解，则不等式(1)的解集为R，不等式(2)的解集为___.不同{x|x>x2或x0f(x)g(x)<0f(x)g(x)≥0且g(x)≠0f(x)g(x)<0或f(x)＝02．高次不等式的解法——穿根法
穿根法不等式的步骤是：
(1)将f(x)最高次项的系数化为正数；
(2)将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；
(3)将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；
(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．课堂互动讲练解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解．【思路点拨】 转化为与之同解的整式不等式求解．答案：－2一元高次不等式常用穿针引线法求解，其步骤
要熟练掌握．另外，适合不等式的根在数轴上用“·”标出，不适合的根用“。”．分别令各个因式为零，可得根依次为－1,2,1，－4.
在x轴上标根，并从右上方引曲线可得图如下：由上图可得不等式的解集为{x|－4(2)对原不等式化简时，要化成右边为0，左边分解为乘积或商的形式，并且将一次项系数全化为1.实际应用问题是新课标下考查的重点，突出了应用能力的考查，在不等式应用题中常以函数模型出现，如一元二次不等式应用题常以二次函数为模型．解题时要理清题意，准确找出其中不等关系，再利用不等式解法求解．【思路点拨】 设出变量建立不等式，并解不等式．【名师点评】 对于此类实际问题，必须构建出一个符合题意的不等式(组)，同时还要注意变量的实际意义．自我挑战2 某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税，为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售量减少10P万件，据此，问：(1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围；
(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值？
(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值？解：税率为P%时，销售量为(80－10P)万件，
即工厂收入f(P)＝80(80－10P)，税金g(P)＝80(80－10P)·P%，其中02．高次不等式的解法
(1)对于“＞0”或“＜0”型的高次不等式，在标根时，应将其标为“空心点”，代表这些根不在解集之中；对于“≥0”或“≤0”型的高次不等式，在标根时，应将适合的标为“实心点”代表这些根应在解集之中．(2)有些根可能为奇次重根或偶次重根，那么画线时的原则是：奇数重根“一次穿过”，偶次重根“穿而不过”．例如(x－a1)(x－a2)2(x－a3)3(x－an)＞0，设a1＜a2＜a3＜an，画线方法如图所示．(3)有些分式不等式在等价转化后有可能成为高次不等式，此时可采用“穿根法”求解．
(4)解简单的高次不等式还可用“转化法”，即运用实数乘法的运算性质，把高次不等式转化为低次的不等式组进行求解．此法相对“穿根法”略显麻烦，因此并不经常使用．
3．解决有关二次不等式的实际应用问题时，要读懂题意，建立不等式的数学模型，在解不等式时，要注意变量的实际意义．课件24张PPT。3 基本不等式
?
3．1 基本不等式学习目标1.理解基本不等式的内容及证明．
2．能应用基本不等式解决比较大小、证明不等式等问题． 课堂互动讲练知能优化训练3.1 基本不等式课前自主学案课前自主学案1．A2 ___0.
2．|x|___0.
3．(a－b)2≥0?____________≥≥a2＋b2≥2ab.(2)成立的前提条件：a__0，b__0.
(3)等号成立的条件：当且仅当_____时等号成立．
(4)结论：两个正数的算术平均数________它们的几何平均数．>>a＝b不小于为什么基本不等式中，a，b均为正数？课堂互动讲练(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性)．
(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.【思路点拨】 由已知a，b均为正数，且四个式子均为基本不等式中的式子或其变形，可用基本不等式来解决．【名师点评】 运用基本不等式比较大小应注意等号成立的条件．特殊值法是解决不等式问题的一个有效方法，但要使特殊值具有一般性．利用基本不等式证明不等式时，要充分利用基本不等式及其变形，同时注意利用基本不等式成立的条件．对要证明的不等式作适当变形，变出基本不等式的形式，然后利用基本不等式进行证明．【思路点拨】 解答本题可先把左边拆开，再重新组合以后连续使用基本不等式证明即可．自我挑战1 求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．
证明：∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2c2a2，
∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)，
即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2，
又a2b2＋b2c2≥2ab2c，b2c2＋c2a2≥2abc2，
c2a2＋a2b2≥2a2bc，
∴2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2(ab2c＋abc2＋a2bc)，
即a2b2＋b2c2＋c2a2≥ab2c＋abc2＋a2bc＝abc(a＋b＋c)．
∴a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．含有限制条件的不等式的证明，要将条件和结论结合起来，找出变形思路构造出基本不等式．【名师点评】 上述证法中，法一是将“1”整体代入，法二是将条件变形代入，巧妙地配凑，然后利用基本不等式进行证明，证法的灵活性关键在于条件的巧用．2．在一个题目中，若多次使用基本不等式，取等号的条件要求很严格，即每次使用基本不等式等号都成立且字母取值保持一致．课件37张PPT。3．2 基本不等式与最大(小)值学习目标能灵活应用基本不等式求最大(小)值． 课堂互动讲练知能优化训练3.2 基本不等式与最大(小)值课前自主学案课前自主学案≥a＝ba＞0，b＞0a＝b算术平均数几何平均数．x＝yx＝y2．二元均值不等式具有将“_____”转化为“____”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用均值不等式的切入点．积式和式1．两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？2．应用基本不等式求最值有什么条件？课堂互动讲练(1)使用基本不等式求最值，各项必须为正数；积或和为定值；等号能够取到．如果对于两个负数相加，可以先求它们相反数的和的最值，再利用不等式的性质，求这两个负数和的最值．
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．【思路点拨】 (1)、(2)小题直接利用基本不等式或创设条件利用基本不等式求解．【规律小结】 (1)在应用基本不等式求最值时，要把握三个方面，即“一正——各项都是正数；二定——和或积为定值；三相等——等号能取得”，这三个方面缺一不可．
(2)对于求分式型的函数最值题，常采用拆项使分式的分子为常数，有些分式函数可以拆项分成一个整式和一个分式(该分式的分子为常数)的形式，这种方法叫分离常数法．利用基本不等式解决此类问题的基本方法有：
(1)有为1的等式时，将“1”整体代入，展开，运用基本不等式；
(2)利用条件的等式统一变形，然后配凑出利用基本不等式的条件；
(3)直接将条件变形配凑出积(和)为定值的形式．【思路点拨】 利用条件进行变形，构建某个积为定值，然后利用基本不等式求解.【名师点评】 在利用基本不等式求最值时，除注意“一正、二定、三相等”的条件外，最重要的是构建“定值”，恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧．基本不等式在实际中的应用是指利用不等式解决生产、科研和日常生活中的问题．解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论． (2009年高考湖北卷)围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
【思路点拨】 准确计算出用旧墙建新墙和新建墙的长度及费用．【解】 (1)如图，设矩形的另一边长为a m，【名师点评】 解实际应用题要注意以下几点：①设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；②根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；③在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．1．利用均值不等式求最值，要注意使用的条件“一正二定三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用均值不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个应用均值不等式的情境．课件32张PPT。4 简单线性规划
?
4．1 二元一次不等式(组)与平面区域学习目标1.了解不等式有丰富的实际背景，是刻画区域的重要工具．
2．能从实际问题中抽象出二元一次不等式(组)．
3．理解并能画出二元一次不等式(组)表示的平面区域． 课堂互动讲练知能优化训练4.1 二元一次不等式(组)与平面区域课前自主学案课前自主学案1．直线方程的一般形式为______________
2．坐标平面上位于第一象限的所有点构成的集合为________________________
3．把只含有_____未知数，并且未知数的最高次数是__的不等式，称为一元二次不等式．
使某个一元二次不等式成立的_______叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集．Ax＋By＋C＝0.{(x，y)|x＞0，y＞0}．一个2x的值1．二元一次不等式表示平面区域
一般地，直线l：Ax＋By＋C＝0把直角坐标平面分成了三个部分：(1)直线l上的点(x，y)的坐标满足Ax＋By＋C＝0；(2)直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足Ax＋By＋C>0；(3)直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足Ax＋By＋C<0.
所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从____________值的正负，即可判断不等式___________________Ax0＋By0＋C表示的平面区域．一般地，把直线l：Ax＋By＋C＝0画成实线，表示平面区域_____这一边界直线；若把直线画成虚线，则表示平面区域______这一边界．
2．二元一次不等式组表示平面区域
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集的______，因而是各个不等式所表示平面区域的公共部分．包括不包括交集如何判断一个二元一次不等式表示的平面区域在对应直线的哪一侧？
提示：判断一个二元一次不等式表示的平面区域在对应直线的哪一侧，通常有两种方法：
(1)特殊点法
作出直线Ax＋By＋C＝0，在直线的一侧任取一点P(x0，y0)．若Ax0＋By0＋C>0，则包含此点P的半平面为不等式Ax＋By＋C>0所表示的平面区域，不包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C<0所表示的平面区域．(2)观察法
①先将不等式化为一般形式Ax＋By＋C>0(或≥0或<0或≤0)，其中A≥0.
②当A＝0时较易判定；当A≠0时，直线Ax＋By＋C＝0与x轴相交．
③不等式Ax＋By＋C>0取右侧区域，Ax＋By＋C<0取左侧区域，如图①②.课堂互动讲练在画二元一次不等式表示的平面区域时，应用“直线定界，点定域”的方法来画平面区域，即先作直线Ax＋By＋C＝0，再在它将平面分成的两个区域中任一个区域内选取一个点的坐标，将它代入Ax＋By＋C，确定它的符号，从而确定二元一次不等式所表示的区域，在取点时，若直线不过原点，一般用“原点定域”；若直线过原点，则取点(1,0)即可，这样做能简化运算过程．特别要注意不等式是否取等号，虚线，实线不要混淆．【思路点拨】 (1)先将不等式化为x＋2y－4≤0，再画出直线x＋2y－4＝0(实线)取点定域即可．(2)先确定每个不等式表示的区域(有等号用实线，无等号用虚线)，取公共部分．【解】
(1)先作出直线x＋2y－4＝0(实线)，
取原点O(0,0)，把O点的坐标代入x＋2y－4，
得0＋2×0－4<0，
∴原点在x＋2y－4<0表示的平面区域内，
∴不等式x＋2y－4≤0表示的平面区域是x＋2y－4<0表示的平面区域加上直线x＋2y－4＝0(图中阴影部分)．(2)如图所示，不等式x－y＋1≥0表示直线x－y＋1＝0的右下方(包括直线)的平面区域；不等式3x＋2y－6>0表示直线3x＋2y－6＝0的右上方(不包括直线)的平面区域；不等式x－3≤0表示直线x－3＝0左方(包括直线)的平面区域．
所以原不等式组表示上述平面区域的公共部分(阴影部分)．【名师点评】 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而各个不等式表示的平面区域的公共部分，但要注意是否包含边界．求平面区域的面积与周长是对平面区域问题的进一步拓展，解决好这类问题的一个基本前提还是要画好平面区域．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示．
【答案】 A【名师点评】 本题考查用不等式表示平面区域，直线过定点等基础知识以及利用所学知识分析问题、解决问题的能力．对应用题而言，一个难点在于将文字语言转化成数学语言．这里面，理解是关键，要做到容易把问题理解清楚，画一个表(或图)是很有帮助的． 某人准备投资1200万元兴办一所班数应限制在20～30之间的完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)：分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件．
【思路点拨】 分别考虑班数、资金、教师等各个因素，注意它们的限制条件．【解】 设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数应限制在20～30之间，所以有20≤x＋y≤30；考虑到所投资金的限制，得到
26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1200，
即x＋2y≤40；
另外，开设的班数不能为负，
则x≥0，x∈N；y≥0，y∈N.【名师点评】 解应用题，要特别注意其隐含条件，比如本例中，所设的班数肯定不会为负数，但是要用数学表达式表示出来才体现了这种想法．自我挑战2 一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子A和B.每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三道工序．桌子A需要10 min打磨，6 min着色，6 min上漆；桌子B需要5 min打磨，12 min着色，9 min上漆．如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450 min，每天着色至多工作480 min，列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．解：由题意可列表如下：生产两类桌子所满足的生产条件是图中阴影部分的正整数点所表示的条件．1．判定二元一次不等式表示的平面区域的方法
判定二元一次不等式表示的平面区域的常用方法是以线定界，以点(原点)定域(以Ax＋By＋C＞0为例)．
(1)“以线定界”，即画二元一次方程Ax＋By＋C＝0表示的直线定边界，其中要注意实线或虚线．
(2)“以点定域”，由于对在直线Ax＋By＋C＝0同侧的点，实数Ax＋By＋C的值的符号都相同，故为了确定Ax＋By＋C的符号，可采用取特殊点法，如取原点等．2．画平面区域的步骤
(1)画线——画出不等式所反应的方程所表示的直线(如果原不等式中带等号，则画成实线，否则，画成虚线)；
(2)定侧——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧；
(3)求“交”——如果平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，再求这些区域的公共部分，这个公共部分就是不等式组表示的平面区域．3．利用二元一次不等式组及平面区域解决实际问题的步骤：(1)设出未知量x、y；(2)列出不等式组；(3)根据不等式组画出平面区域．
4．二元一次不等式组及表示的平面区域也可与函数、方程、向量运算、不等式、直线与圆等相关知识综合，考查学生的综合能力，知识的迁移能力，解决此类问题的关键是注意各部分知识的联系．
5．在解简单的线性规划问题时要注意数形结合思想方法的运用．课件33张PPT。4．2 简单线性规划学习目标1.了解线性规划的意义及基本概念．
2．掌握线性规划问题的图解法． 课堂互动讲练知能优化训练4.2 简单线性规划课前自主学案课前自主学案1．二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0或≥0或≤0)所表示的平面区域为直线_______________的一侧．
2．确定二元一次不等式所表示的平面区域的基本方法是“直线_____，点定____”．Ax＋By＋C＝0定界域线性规划中的基本概念一次二元一次解(x，y)集合可行解对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域内的所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解．最优解一般在可行域的顶点处取得，若要求最优整解，则必须满足x，y均为整数，一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然后将整点分别代入目标函数验证选出最优整解．上述求整点最优解的方法可归纳为三步：找整点→验证→选最优整解．课堂互动讲练求线性约束条件下目标函数的最值问题，首先要画出可行域，通过画等值线来求目标函数的最值．当原点不在区域内时，最大值和最小值点一般是区域上离原点距离最小或最大的点．表示斜率为－1，在y轴上截距为z的一组平行线，
由图可知，当直线z＝x＋y过直线x＋2y－6＝0与x轴的交点(6,0)时，目标函数z＝x＋y取得最大值6.
【答案】 C【名师点评】 (1)求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行域，再作出目标函数对应的直线，据题意确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值．
(2)线性目标函数z＝ax＋by取最大值时的最优解与b的正负有关，当b＞0时，最优解是将直线ax＋by＝0在可行域内向上平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的．当b＜0时，则是向下平移．【答案】 4非线性目标函数可以根据其形式表达的几何意义，利用几何知识求其最值．常见的形式有：
(1)对形如z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目标函数均可化为求可行域内的点(x，y)与点(a，b)间的距离的最值问题．【名师点评】 求目标函数的最优解，要注意分析目标函数所表示的几何意义，通常与截距、斜率、距离等联系，是数形结合的体现．已知目标函数的最值求参数，是线性规划的逆向思维问题，解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．同时，要注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系．【思路点拨】 作出约束条件所表示的平面区域．根据图形特征确定最小值在何处取得，从而求出a的取值范围．【解析】 线性约束条件所表示的平面区域如图所示．【名师点评】 最优解只有一个，则意味着目标函数所对应直线的斜率介于两条直线的斜率之间，此时解相应的不等式即可获解．最优解有无穷多个，往往是指目标函数与其中一条直线重合．互动探究 已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为________．【解析】 由约束条件画出可行域(如图)．点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax时使直线
在y轴上的截距最大．
∴－a＜kCD，即－a＜－1，∴a＞1.
【答案】 a＞11．最优解的两种确定方法
(1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解；
(2)利用围成可行域的直线的斜率来判断．若围成可行域的直线l1，l2，…，ln的斜率分别为k1＜k2＜…＜kn，而且目标函数的直线的斜率为k，则当ki＜k＜ki＋1时，直线li与li＋1相交的点一般是最优解．2．利用图解法解决线性规划问题的一般步骤
(1)作出可行解、可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式表示的半平面，然后求出所有半平面的交集．
(2)作出目标函数的等值线．
(3)求出最终结果．在可行域内平行移动目标函数等值线．从图中能判定问题有唯一最优解，或者是有无穷最优解，或者是无最优解．课件36张PPT。4．3 简单线性规划的应用学习目标掌握线性规划问题的图解法，能应用线性规划的方法解决一些实际问题，提高学生解决实际问题的能力. 课堂互动讲练知能优化训练4.3 简单线性规划的应用课前自主学案课前自主学案线性规划中的基本概念线性约束条件的解(x，y)可行解最大值最小值1．线性约束条件包括两点：一是________________________，二是____________.
2．目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函数在_________________作了严格的限定：一次解析式，即目标函数包括_______________和_________________
3．可行解必须使约束条件成立，而_________是所有的可行解构成的一个区域．变量x，y的不等式(或等式)次数为1变量x，y的次数上线性目标函数非线性目标函数．可行域怎样从已知条件中列出线性约束条件？
提示：要从题目冗长的文字和繁多的数据中明确目标函数和约束条件是有相当难度的，要解决这个难点关键是通过列表的形式把问题中的已知条件和各种数据进行整理．课堂互动讲练解线性规划应用题时，先转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一条直线l；
(2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
(3)求值——解有关方程组求出A点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 某公司计划2011年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．已知甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？【思路点拨】 先设出分配给两个电视台的广告时间，再根据时间限制条件列出约束条件，建立目标函数求解．【名师点评】 即使是简单的线性规划问题，常常题中的条件也较多．因此，在解题前应切实做到认真、细致地审清题目，将所有的约束条件列出来，尤其是约束条件中有没有等号．另外，还应弄清约束条件与目标函数的区别，不能混为一谈．约束条件一般是不等式，而目标函数是一个等式．解决实际问题中的线性规划问题，要根据实际问题列出不等式组，根据不等式组画出平面区域，再找出实际要求中的目标函数，然后求出目标函数的最值．解答与最小值有关的实际问题与解决与最大值有关的实际问题的步骤相同，这类问题的条件往往较多，可借助表格或图形梳理题目中的条件，最后要检验能否取等号，以及其他范围的限制． (2010年高考广东卷)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知1个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；1个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果1个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？【思路点拨】 根据题意列出线性约束条件，正确作出二元一次不等式组所表示的平面区域，利用线性规划解决问题．作出可行域如图，则z在可行域的四个顶点A(9,0)，
B(4,3)，C(2,5)，D(0,8)处的值分别是
zA＝2.5×9＋4×0＝22.5，
zB＝2.5×4＋4×3＝22，
zC＝2.5×2＋4×5＝25，
zD＝2.5×0＋4×8＝32.
zB最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在B(4,3)处取得最小值．
因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．
【名师点评】 应注意x、y都是整数．自我挑战1 (2009年高考湖北卷)在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )
A．2000元 B．2200元
C．2400元 D．2800元解析：设需甲型货车x辆，乙型货车y辆，由题意知答案：B对于线性规划中的最优整数解的问题，当解方程组得到的解不是整数解时，可用下面的方法求解：
(1)平移直线法：先在可行域内打网格，再描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点坐标是整点最优解．
(2)检验优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经比较得最优解．
(3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解． 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
【思路点拨】 先转化为线性规划问题，再利用解线性规划问题的知识求解，注意钢板张数为整数．法二：特值验证法
由法一知，目标函数取得最小值的整点应分布在可行域的左下侧靠近边界的地方，依次满足条件的整点A0(0,15)，A1(1，13)，A2(2,11)，A3(3,9)，A4(4,8)，A5(5,8)，A6(6，7)，A7(7,7)，A8(8,7)，A9(9,6)，A10(10,6)，…，A27(27，0)．
将这些点的坐标分别代入z＝x＋y，求出各个对应值，经验证可知，在整点A3(3,9)和A4(4,8)处z取得最小值．
其解法的思路是找整点、验证算、选优解．故本例有两种截法．
第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法最少要截两种钢板共12张．
【名师点评】 解线性规划应用题的关键和难点是从实际问题中抽象出不等式组，在此基础上再作出可行域，利用图像求最优解．自我挑战2 某运输公司有7辆载重量为6吨的A型卡车与4辆载重量为10吨的B型卡车，有9名驾驶员．在建筑某高速公路中，该公司承包了每天至少搬运360吨土的任务．已知每辆卡车每天往返的次数：A型卡车为8次，B型卡车为6次；每辆卡车每天往返的成本费用情况：A型卡车160元，B型卡车252元．试问，A型卡车与B型卡车每天各出动多少辆时公司的成本费用最低？解：设每天出动的A型卡车数为x，则0≤x≤7；每天出动的B型卡车数为y，则0≤y≤4.因为每天出车的驾驶员最多9名，则x＋y≤9，每天要完成的搬运任务为48x＋60y≥360，每天公司所花成本费用为z＝160x＋252y.结合图形可知，在四边形区域上，横坐标与纵坐标都是非负整数的点只有P1(3,4)，P2(4,4)，P3(4,3)，P4(5,2)，P5(5,3)，D(5,4)，P6(6,2)，P7(6,3)，P8(7,1)，C(7,2)10个点．作直线l：160x＋252y＝0.
把l向上方作平行移动，可发现它与上述的10个点中最先接触到的点是P4(5,2)，所以在点P4(5,2)上，得到的z的值最小，zmin＝160×5＋252×2＝1304.
即当公司每天出动A型卡车5辆，B型卡车2辆时，公司的成本费用最低．1．线性规划的理论和方法经常被应用于两类问题中
一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用其完成最多的任务；
二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能用最少的人力、物力、资金等资源来完成这项任务．
在生产和生活中，常用于：①下料问题；②优化安排活动问题；③优化运营问题等．2．应用线性规划处理实际问题时应注意的问题
(1)求解实际问题时，除严格遵循线性规划求目标函数最值的方法外，还应考虑实际意义的约束，要认真解读题意，仔细推敲并挖掘相关条件，同时还应具备批判性检验思维，以保证解决问题的准确和完美．
(2)处理实际问题时，x≥0，y≥0常被忽略，在解题中应多加注意．
(3)在求最优解时，一般采用图解法求解．课件27张PPT。本章优化总结 专题探究精讲本章优化总结知识体系网络知识体系网络专题探究精讲(1)利用不等式的性质、不等式的证明方法、解不等式等知识可以解决函数中的有关问题，主要体现在：利用不等式求函数的定义域、值域、最值、证明单调性等．
(2)利用函数、方程、不等式之间的关系，可解决一元二次方程根的分布问题．
(3)不等式与数列的综合题经常出现在高考压轴题中，主要体现在比较数列中两项的大小等． 当方程x2＋ax＋2＝0至少有一个实数根小于－1时，求实数a的取值范围．
【思路点拨】 “至少有一个实数根小于－1”包括只有一个实数根小于－1、另一个实数根大于－1或两个实数根都小于－1或有一个实数根等于－1、另一个实数根小于－1这三种情况．【解】 设f(x)＝x2＋ax＋2，其图像是抛物线．
①当原方程是一个实数根小于－1，另一个实数根大于－1时，如图(1)所示：只需f(－1)＝(－1)2＋(－1)a＋2＜0，
即－a＋3＜0，∴a＞3.【名师点评】 解答本题的关键在于清楚至少有一个实数根小于－1的含义，同时注意逻辑划分区间．解答此类题的一般策略是：①先弄清不等式的特点，还有没有其他隐含条件；②一般解不等式题目的运算常用数轴直观显示；③因涉及不等式求解的题目中常含有参数，因此要注意分类讨论，有时特例法也是解决这类问题的常用方法之一；④对于有集合和命题背景的题目，要结合背景进行思考．【解析】 f(1)＝12－4×1＋6＝3，当x≥0时，x2－4x＋6＞3，解得x＞3或0≤x＜1；当x＜0时，x＋6＞3，解得－3＜x＜0.
【答案】 A若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注意运用基本不等式解决实际问题．【思路点拨】 通过构造x＝(x＋1)－1，运用基本不等式求最值，需验证“＝”成立的条件；在(2)问中，“＝”不能取到，不能用基本不等式求解，应转化为函数单调性求解．(1)二元一次不等式组表示的平面区域，其作法是：画线、定侧、取交集．画线要分虚、实线，定侧可用特殊点检验．
(2)简单的线性规划问题应注意两点：①准确作图，尤其注意目标函数所表示的直线与过可行域边界的直线的斜率关系；②整数解问题，整数解不一定在可行域边界或顶点上．
(3)当目标函数不是线性情况时，解决问题的关键是利用图形的直观性，第一，要准确作出可行域；第二，要抓住目标函数z＝f(x，y)中z的几何意义．课件5张PPT。课标领航
本章概述第3章 不等式1.不等关系与等量关系一样，都是自然界中存在着的基本数量关系，是数学研究的重要内容．建立不等观念，处理不等关系与处理等量关系同样重要．不等式已成为高考必考的热点内容．2.本章以不等关系为基础，研究一元二次不等式，二元一次不等式(组)及基本不等式三种不等式模型和简单的线性规划问题．学习本章的基本要求为：
(1)通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着的大量的数量关系，了解不等式(组)的实际背景．了解不等式一些基本的性质．
(2)经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式尝试设计求解的流程框图．(3)从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
(4)探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最值问题.学法指导⑴加强与实际问题的联系
通过教科书及辅导资料所提供的实际背景和实际问题，充分地感受现实世界存在的不等关系，建立不等关系的理念；从中体验数学来源于生活并应用于生活；从中认识到学习不等关系和不等式的必要性；学会从实际问题去抽象出不等关系，并利用数学知识去解决它，这就是数学建模．(2)重视数学知识的形成过程
经历观察、思考、探究的过程，去理解函数、方程、不等式的关系，从函数、方程的角度出发去理解不等式，要充分利用教材中的“问题提出”、“思考交流”、“阅读材料”等栏目的引导，学会自主学习，自主探究．
(3)重视数学思想方法的运用
函数思想、方程思想、数形结合的思想贯穿全章，我们要借助对这些重要思想方法已有的认识来研究不等关系问题，从而更深刻地认识这些思想方法的意义和作用，提高逻辑思维能力.