第一章知识检测练习B卷
一、选择题
1.若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为（ ）
A.80° B.50° C.40° D.20°
答案：B
2.若直角三角形的一条直角边长是4，斜边长是5，则另一条直角边长是（ ）
A.9 B.5 C.3 D.4
答案：C
3.等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A.12 B.15 C.12或15 D.18
答案：B
4.有下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（ ）
A.1 cm,2 cm,3 cm B.6 cm,8 cm,10 cm
C.2 cm,3 cm,4 cm D.3 cm,2 cm,3 cm
答案：B
5.如图，△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为（ ）
A.9 B.8 C.6 D.12
答案：D
6.如图，要用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的条件是( )
A.AC=A′C′，BC=B′C′ B.∠A=∠A′，AB=A′B′
C.AC=A′C′，AB=A′B′ D.∠B=∠B′，BC=B′C′
答案：C
7.如图，在△ABC中，点P是△ABC的三条角平分线的交点，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=（ ）
A.45° B.120° C.180° D.90°
答案：D
8.如图，有两棵树，一棵高10 m,另一棵高4 m,两树相距8 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A.8 m B.10 m C.12 m D.14 m
答案：B
9.(四川达州)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF.若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF=( )
A.48° B.36° C.30° D.24°
答案：A
10.(山东滨州)如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE=( )
A.50° B.51° C.51.5° D.52.5°
答案：D
11.如图是一个4×4的正方形网格，图中所标示的7个角的角度之和等于（ ）
A.585° B.540° C.270° D.315°
答案：A
解析：仔细观察图形，我们可以发现：
∵AB=AZ，BC=ZV，∠B=∠Z，
∴△ABC≌△AZV，
∴∠1+∠7=180°，
同理可得：
∠2+∠6=180°，
∠3+∠5=180°，
∠4=45°，
所以图示的7个角的度数和为∠1+∠7+∠2+∠6+∠3+∠5+∠4=180°+180°+180°+45°=585°.
12.如图，△ABC是等腰三角形(AB=AC≠BC)，在△ABC所在平面内有一点P，且使得△ABP，△ACP，△BCP均为等腰三角形，则符合条件的点P的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案：D
解析：①作三边的垂直平分线必在三角形内交于一点，这点就是符合要求的P点；
②作BC的垂直平分线，以B点为圆心、AB长为半径画弧，与BC的垂直平分线有两个交点，其中一点是点A，另一点为符合要求的P点；
③作BC的垂直平分线，以A点为圆心、AB长为半径画弧，与BC的垂直平分线有两个交点，这两点为符合要求的P点；
④在△ABC的左边作一个△APB，使△APB≌△ABC，这点也是符合要求的P点；
⑤同理在△ABC的右边作一个△APC，使△APC≌△ACB，这点也是符合要求的P点.
所以共有6个符合条件的点P.
二、填空题
13.一个承重架的结构如图所示，如果∠1=25°，那么∠2= .
答案：65°
14.如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为 .
答案：5
15.命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是 .
答案：两底角的平分线相等的三角形是等腰三角形
16.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是 .
答案：18°
17.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为 .
答案：6
解析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得AD=BD，可得∠DAE=30°，易得∠ADC=60°，∠CAD=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=AD=2CD=6.
18.如图，在第1个中，∠B=20°， =CB；在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到，使，得到第3个，…，以此类推，则第5个三角形中以为顶点的内角度数是 .
答案：5°
解析：∵在中，∠B=20°，，
∴= =80°.
∵，是的外角，
∴.
同理可得
, ,
∴第n个三角形中以为顶点的内角度数为.
∴第5个三角形中以为顶点的内角度数为.
三、解答题
19.(江苏宿迁)如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC.
求证：∠C=2∠D.
答案：证明：∵AB=AC=AD，
∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，
∴∠ABC=∠CBD+∠D.
∵AD∥BC，∴∠CBD=∠D，
∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，
又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D.
20.如图，已知△ABC中，∠ABC=∠ACB,CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE与CD相交于点O.
求证：AD=AE.
答案：证明：在△ACD与△ABE中，
已知∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°.
又∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，
∴△ACD≌△ABE，∴AD=AE.
21.如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，求∠AEC的度数.
答案：解：∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=25°.
∵AD垂直平分BC，∴BE=CE，
∴∠C=∠EBC=25°，
∴∠AEC=90°+25°=115°.
22.如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE=2，求AE的长.
答案：解：∵BC的垂直平分线交AB于点E，
∴BE=CE=2，∠ECB=∠B=30°.
∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠B=30°，
∴∠A=90°，AE=EC=BE=1.
23.如图，已知CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于点D，且BD=CD.
求证：点D在∠BAC的平分线上.
答案：证明：在△BDE和△CDF中，
∵
∴△BDE≌△CDF，∴DE=DF.
又∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴点D在∠BAC的平分线上.
24.如图，点D为△ABC的边AB的延长线上一点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，交BC于点E，且BD=BE.
求证：△ABC是等腰三角形.
答案：证明：∵BD=BE，∴∠D=∠BED.
∵∠BED=∠CEF，∴∠D=∠CEF.
∵DF⊥AC，∴∠A+∠D=90°，∠CEF+∠C=90°，
∴∠A=∠C，∴AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形.
25.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于点E，D为垂足，连接EC.
(1)求∠ECD的度数；
(2)若CE=5，求BC的长.
答案：解：（1）∵DE垂直平分AC，
∴∠ECD=∠A=36°.
（2）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=72°.
∵∠BEC=∠A+∠ACE=72°，
∴∠B=∠BEC，∴BC=CE=5.
1 / 8必刷题《第一章 三角形的证明》刷中考
知识点一 命题与定理
1.[2020四川雅安中考]下列四个选项中不是命题的是（ ）
A.对顶角相等
B.过直线外一点作直线的平行线
C.三角形任意两边之和大于第三边
D.如果，那么
2.[2020湖北宜昌中考]能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是（ ）
A.
B.
C.
D.
知识点二 等腰三角形
3.[2020贵州毕节中考]已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ）
A.13
B.17
C.13或17
D.13或10
4.[2020湖北荆门中考]△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，BC=，D为BC的中点，AE=AB，则△EBD的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
5.[2020湖北恩施州中考]如图，直线∥，点A在直线上，点B在直线上，AB=BC，∠C=30°，∠1=80°，则∠2= °.
6.[2020湖南衡阳中考]如图，在△ABC中，∠B=∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别为点E，F.
（1）求证：DE=DF；
（2）若∠BDE=40°，求∠BAC的度数.
知识点三 等边三角形
7.[2020湖北宜昌中考]如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）.测得的相关数据为∠ABC=60°，∠ACB=60°，BC=48米，则AC= 米.
8.[2020浙江台州中考]如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点.分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 .
知识点四 直角三角形
9.[2020四川自贡中考]如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（ ）
A.50°
B.40°
C.30°
D.20°
10.[2020黑龙江七台河中考]如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等.
知识点五 角平分线和线段垂直平分线
11.[2020湖北十堰中考]如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线.若AE=3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为 .
12.[2020湖南湘潭中考]如图，点P是∠AOC的平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD=3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为 .
13.[2020江苏南京中考，中]如图，线段AB，BC的垂直平分线,相交于点O，若∠1=39°，则∠AOC= .
参考答案
1.答案：B
解析：由命题的定义可知，A、C、D都是命题，B不是命题.故选B.
2.答案：C
解析：C选项图中，三角形三个内角都是锐角，则∠α+∠β>90°.故选C.
3.答案：B
解析：①当腰长是3，底边长是7时，不满足三角形的三边关系，因此舍去.
②当底边长是3，腰长是7时，能构成三角形，则其周长为3+7+7=17.故选B.
4.答案：B
解析：连接AD.∵AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠B=∠C=30°.在Rt△ABD中，BD=，∠B=30°，
∴AD=AB.∵，∴AB=2,∴AD=1，
∵∴故选B.
5.答案：40
解析：如图，延长CB交于点D.∵AB=BC，∠C=30°，∴∠C=∠4=30°. ∴∥，∠1=80°，∴∠1=∠3=80°.∵∠C+∠3+∠2+∠4=180°，即30°+80°+∠2+30°=180°，∴∠2=40°.故答案为40.
6.答案：（1）【证明】∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°.
∵D是BC的中点，∴BD=CD.在△BED与△CFD中，
∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF.
（2）【解】∵∠BDE=40°，∴∠B=50°，∴∠C=50°，∴∠BAC=80°.
解析：
7.答案：48
解析：∵∠ABC=60°,∠ACB=60°,∴∠BAC=60°, ∴△ABC是等边三角形.
∵BC=48米，AC=48米.故答案为48.
8.答案：6
解析：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，∴EF=2.∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°.又∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF=∠B=60°，∠DFE=∠C=60°，∴△DEF是等边三角形，∴剪下的△DEF的周长是2×3=6.故答案为6.
9.答案：D
解析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠B=40°.∵BC=BD，∴∠BCD=∠BDC=（180°-40°）=70°，∴∠ACD=90°-70°=20°.故选D.
10.答案：AB=ED（答案不唯一）
解析：Rt△ABC和Rt△EDF中，∠BAC=∠DEF=90°.∵BC∥DF，∴∠DFE=∠BCA，∴添加AB=ED.在Rt△ABC和Rt△EDF中，∴Rt△ABC≌Rt△EDF（AAS），故答案AB=ED为AB=ED（答案不唯一）.
11.答案：19
解析：∵DE是AC的垂直平分线，AE=3，∴AC=2AE=6，AD=DC.
∵AB+BD+AD=13，∴△ABC的周长为AB+BC+AC=AB+BD+AD+AC=13+6=19.故答案为19.
12.答案：3
解析：根据垂线段最短可知，当PM⊥OC时，PM最小.∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PM⊥OC，PD=3，∴PM=PD=3，故答案为3.
13.答案：78°
解析：解法一：连接BO，并延长BO到P，如图（1）.
∵线段AB，BC的垂直平分线,相交于点O，∴AO=OB=OC，∠BDO=∠BEO=90°，∴∠DOE+∠ABC=180°.∵∠DOE+∠1=180°，∴∠ABC=∠1=39°.∵OA=OB=OC，∴∠A=∠ABO，∠OBC=∠C.∵∠AOP=∠A+∠ABO，
∠COP=∠C+∠OBC，∴∠AOC=∠AOP+∠COP=∠A+∠ABC+∠C=239°=78°.
解法二：连接OB，如图（2）.
∵线段AB，BC的垂直平分线,相交于点O，∴AO=OB=OC，∴∠AOD=∠BOD，∠BOE=∠COE.∵∠DOE+∠1=180°，∠1=39°，∴∠DOE=141°，即∠BOD+∠BOE=141°，∴∠AOD+∠COE=141°，∴∠AOC=360°-（∠BOD+∠BOE）-（∠AOD+∠COE）=78°.故答案为78°.《等腰三角形和直角三角形中的分类讨论》专项综合全练（一）
类型一 已知等腰三角形的分类讨论
1.（2020江苏徐州一模）等腰三角形中有一个角的度数是80°，则另外两个角的度数可能是（ ）
A.40°，40°
B.20°，20°
C.80°，20°
D.30°，50°
2.（2020独家原创试题）已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足|a-2b+4|+（a-b-1）2=0，则此等腰三角形的周长是（ ）
A.16
B.17
C.16或17
D.17或18
3.（2020广东广州越秀期中）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边的长为（ ）
A.17 cm
B.5cm
C.5cm或17
D.无法确定
4.已知在平面直角坐标系xOy中，O（0，0），C（3，4），点P是x轴上的动点，若△OCP为等腰三角形，则点P的坐标为________________________.
类型二 已知三角形的高的分类讨论
5.（2020陕西西安碑林期末）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则底角的度数为（ ）
A.40°
B.70°
C.40°或140°
D.70°或20°
6.已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD与高CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是（ ）
A.45°
B.45°或135°
C.45°或125°
D.135°
7.在△ABC中，∠ABC=60°，AD为BC边上的高，AD=6，CD=，则BC的长为_________.
类型三 已知直角三角形的分类讨论
8.（2019江苏连云港期中）如图，∠AOB=50°，点P是边OB上一个动点（不与点O重合），当∠A的度数为_________时，△AOP为直角三角形.
9.（2018浙江杭州萧山期中）如图，已知AO=10，P是射线ON上一动点（即P点可在射线ON上运动），∠AON=60°.
（1）OP=_________时，△AOP为直角三角形；
（2）设OP=x，则x满足_________时，△AOP为钝角三角形.
类型四 已知垂直平分线的分类讨论
10.（2019四川雅安期中）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为46°，则∠B的大小为_________.
参考答案
1.答案：C
解析：分情况讨论：
（1）若等腰三角形的顶角为80°，则底角的度数为；
（2）若等腰三角形的底角为80°，则它的另外一个底角的度数为80°，顶角的度数为180°-80°-80°=20°.
故选C.
2.答案：C
解析：∵，
∴，解得，
当腰长为5时，三边长为5，5，6，符合三角形三边关系，此时周长为5+5+6=16.
当腰长为6时，三边长为6，6，5，符合三角形三边关系，此时周长为6+6+5=17.故选C.
3.答案：B
解析：设等腰三角形的腰长是xcm，底边长是ycm.
根据题意，得，
解得.
根据三角形的三边关系知，8，8，17不能构成三角形，应舍去.
所以这个等腰三角形的底边长是5cm.故选B.
4.答案：
解析：由勾股定理得OC=5，
分三种情况：如图，
①当OC=CP时，
由点C的横坐标为3，可得点P的横坐标为6，
∴点P1的坐标为（6，0）；
②当OP=PC时，
设点P2的坐标为（a，0），
则，
即，
解得，
∴点P2的坐标为；
③当OC=OP=5时，
点P3的坐标为（5，0），点P4的坐标为（-5，0）.
综上所述，△OCP为等腰三角形时，
点P的坐标为.
5.答案：D
解析：分两种情况讨论：
①当∠A<90°时，如图1所示，
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠ABD=50°，
∴∠A=90°-50°=40°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=×（180°-40°）=70°.
②当∠BAC>90°时，如图2所示，
同①可得，∠DAB=90°-50°=40°，
∴∠BAC=180°-40°=140°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=.
综上所述，等腰三角形底角的度数为70°或20°.
故选D.
6.答案：B
解析：①如图1，△ABC是锐角三角形时，
∵BD、CE是△ABC的高线，
∴∠ADB=90°，∠BEC=90°，
在△ABD中，∵∠A=45°，
∴∠ABD=90°-45°=45°，
∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°；
②如图2，△ABC是钝角三角形时，
∵BD、CE是△ABC的高线，
∴∠A+∠ACE=90°，∠BHC+∠HCD=90°，
∵∠ACE=∠HCD（对顶角相等），
∴∠BHC=∠A=45°.
综上所述，∠BHC的度数是135°或45°.
故选B.
7.答案：
解析：在Rt△ABD中，∠ABD=60°，∴∠BAD=30°，
∴AB=2BD，，
∴，
∴，
如图1，
如图2，.
故答案为.
8.答案：90°或40°
解析：当△AOP为直角三角形时，分两种情况讨论：
①∠A=90°时，△AOP为直角三角形；
②∠APO=90°时，∠A=90°-50°=40°.
故答案为90°或40°.
9.答案：（1）5或20（2）020
解析：（1）当∠APO=90°时，∠OAP=90°-∠AOP=30°，
∴，
当∠OAP=90°时，∠OPA=90°-∠AOP=30°，
∴OP=2OA=20，
故答案为5或20.
（2）当020时，△AOP为钝角三角形，
故答案为020.
10.答案：22°或68°
解析：如图①，∵∠AED=46°，DE垂直平分AB，
∴∠ADE=90°，∴∠A=90°-∠AED=44°.
∵AB=AC，∴∠B=∠C=；
如图②，∵∠AED=46°，∠EDA=90°，∴∠EAB=44°.
∵AB=AC，∠B+∠C=∠EAB，∴∠B=∠C=22°.
综上，∠B的大小为22°或68°.《第一章 三角形的证明》章末检测
选择题
1.（2016贵州毕节中考）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A.三条高的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条边的垂直平分线的交点
2.（2020山西太原期中）以下列长度的线段为边长作三角形，可以构成直角三角形的是（ ）
A.6，15，17
B.7，12，15
C.13，15，20
D.7，24，25
3.已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.若用反证法来证明这个结论，可以假设（ ）
A.∠A=∠B
B.AB=BC
C.∠B=∠C
D.∠A=∠C
4.如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A.BC=EC，∠B=∠E
B. BC=EC，AC=DC
C.BC=DC，∠A=∠D
D.∠B=∠E，∠A=∠D
5.如图所示，AC=AD，BC=BD，则（ ）
A.CD垂直平分AB
B.AB垂直平分CD
C.CD平分∠ACB
D.以上说法均不对
6.已知等腰三角形的一个角为50°，则其顶角为（ ）
A.50°
B.80°
C.50°或65°
D.50°或80°
7.（2019河南郑州枫杨外国语学校月考）下列命题：①若|a|>|b|，则a>b；②若a+b=0，则|a|=|b|；③等边三角形的三个内角都相等；④线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.以上命题的逆命题是真命题的有（ ）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
8.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC至D，使CD=AC，则AC:BD=（ ）
A.1：1
B.3：1
C.4：1
D.2：3
9.（2018江苏南通崇川月考）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°.若BE=6cm，DE=3cm，则BC的长为（ ）
A. 4 cm
B. 6 cm
C. 9 cm
D. 12 cm
10.（2019广东揭阳普宁期中）如图，已知∠MON=30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7，的边长为（ ）
A.6
B.12
C.32
D.64
填空题
11.如图，某失联客机从A地起飞，飞行1000km到达B地，再折返飞行1000km到达C地后在雷达上消失，已知∠ABC=60°，则失联客机消失时离起飞的位置A地的距离为_________km.
12.等腰直角三角形中，若斜边长为16，则直角边的长为_________.
13.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB=14cm，则AC=_________.
14.等腰三角形的两边长a，b满足，则该三角形的周长是_________.
15.（2020独家原创试题）如图，已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2a+1，3a-4），则点P到x轴的距离为_________.
16.如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA=OB，则图中有_________对全等三角形.
17.如图，∠A=52°，O是AB，AC的垂直平分线的交点，那么∠OCB=_________.
18.如图所示，已知△ABC的周长是20，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是_________.
解答题
19.（10分）如图，已知∠ABC及射线BC上点D.
求作：等腰三角形PBD，使线段BD为等腰三角形PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等.
20.（12分）如图，已知AD，AF分别是钝角△ABC和钝角△ABE的高，如果AD=AF，AC=AE.
（1）求证：BC=BE；
（2）若∠DBF=∠BAC=30°，AC=2，求AD的长.
21.（2020河南郑州龙门实验学校第一次月考）（12分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，若点P从点A出发以每秒1cm的速度向点C运动，设运动时间为t秒.
（1）若点P恰好在∠ABC的平分线上，求出此时t的值；
（2）若点P使得PB+PC=AC，求出此时t的值.
22.（12分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD.
（1）求证：AD=BE；
（2）求证：直线AC是线段ED的垂直平分线；
（3）△DBC是等腰三角形吗？请说明理由.
参考答案
1.答案：D
解析：三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离都相等，故选D.
2.答案：D
解析：根据勾股定理的逆定理判断：验证两条较短边长的平方和是否等于最长边长的平方.
3.答案：C
解析：反证法的第一步是提出与结论相反的假设.
4.答案：C
解析：A可以利用“SAS”判定三角形全等，B可以利用“SSS”判定三角形全等，D可以利用“ASA”判定三角形全等.故选C.
5.答案：B
解析：根据AC=AD，BC=BD可知点A、B都在CD的垂直平分线上，故AB所在直线为CD的垂直平分线，即AB垂直平分CD.
6.答案：D
解析：当50°角为底角时，顶角为180°-50°×2=80°；50°角也可能为顶角，所以顶角为50°或80°.故选D.
7.答案：C
解析：①逆命题：若a>b，则|a|>|b|，是假命题；②逆命题：若|a|=|b|，则a+b=0，是假命题；③④的逆命题都是真命题，故选C.
8.答案：D
解析：在△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，∴∠BAC=30°，∴AC=2BC.∵CD=AC，∴BD=BC+2BC=3BC，∴AC：BD=2：3.
9.答案：C
解析：如图，延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEM为等边三角形，
∵BE=6 cm，DE=3 cm，
∴BM=6 cm，DM=3 cm，
∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，
∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，
∴∠NDM=30°，∴，
∴BC=2BN=9cm.故选C.
10.答案：C
解析：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴∠A1B1A2=∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2=B1A2.
又∵∠O=30°，
∴∠OB1A1=∠B1A1A2-∠O=30°，
∴A1B1=OA1=1，∠OB1A2=90°.
∴B1A2=OA2=1.
同理，，
......
∴.
11.答案：1000
解析：连接AC，∵AB=BC=1000km，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，∴AC=1000km.
12.答案：
解析：设等腰直角三角形的直角边长为x，由勾股定理得，则，故答案为.
13.答案：7cm
解析：连接AD.∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠DAB=∠B=15°，∴∠ADC=30°.又∵∠C=90°，∴AC=.
14.答案：17
解析：由题意得a=7，b=3，当腰长为7时，三边长为7，7，3，能构成三角形，周长为7+7+3=17.
当腰长为3时，∵3+3=6<7，∴不能构成三角形，故答案为17.
15.答案：11
解析：由已知得点P在第一、三象限的平分线上，
∴2a+1=3a-4，解得a=5，∴3a-4=11，
∴点P到x轴的距离为11.
16.答案：3
解析：∵OP平分∠MON，∴∠AOP=∠BOP，∵OA=OB，OP=OP，∴△OAP≌△OBP（SAS）.∴AP=BP.∵PE⊥OM，PF⊥ON，∴∠OEP=∠OFP=90°，又∵∠AOP=∠BOP，OP=OP，∴△OEP≌△OFP（AAS）.∴PE=PF.∴Rt△AEP≌Rt△BFP（HL）.故答案为3.
17.答案：38°
解析：连接OA，OB.∵O是AB、AC的垂直平分线的交点，∴OA=OB=OC，∴∠1=∠2，∠5=∠6，∠3=∠4，∴2∠1+2∠3+2∠6=180°，∴2∠6=180°-2∠BAC=180°-2×52°=76°，∴∠OCB=∠6=38°.
18.答案：30
解析：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE=OD，OF=OD，∴OE=OF=OD=3，
∵△ABC的周长是20，
∴
=30.
19.答案：见解析
解析：如图所示.等腰三角形PBD即为所求作.
20.答案：见解析
解析：（1）证明：∵AD，AF分别是钝角△ABC和钝角△ABE的高，且AC=AE.AD=AF，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）.
∴ CD=EF.
∵AB=AB，AD=AF，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）.
∴BD=BF.∴BD-CD=BF-EF，即BC=BE.
（2）∵AD，AF分别是钝角△ABC和钝角△ABE的高，AD=AF，
∴BA平分∠DBF，
∴∠ABC=∠DBF=15°，
∴∠ACD=∠ABC+∠BAC=45°，
∴AD=CD，
在Rt△ACD中，AC=2，.
21.答案：见解析
解析：（1）作PD⊥AB于D，如图，AP=tcm，
∵∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，
∴AC=8cm，
∴BP平分∠ABC，
∴PC=PD=（8-t）cm，
∵
∴，
解得t=5，
即此时t的值为5.
（2）∵PB+PC=AC，PA+PC=AC，
∴PB=PA=t cm，
在Rt△BCP中，∵PC2+BC2=BP2，
∴，解得
即此时t的值为.
22.答案：见解析
解析：（1）证明：∵∠ABC=90°，BD⊥EC，
∴∠ECB+∠DBC=90°，∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠ECB=∠ABD，
∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，
∴∠BAD=∠CBE=90°，
又∵BA=CB，
∴△BAD≌△CBE（ASA），
∴AD=BE.
（2）证明：设AC与ED交于点M，
∵E是AB的中点，∴EB=EA，
∵AD=BE，∴AE=AD.
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=45°，∴∠BAC=∠DAC，
又∵AD=AE，
∴AM⊥DE且EM=DM，即直线AC是线段ED的垂直平分线.
（3）△DBC是等腰三角形.理由：
由（2）得，CD=CE，
由（1）中△BAD≌△CBE得，BD=CE ，
∴CD=BD，∴△DBC是等腰三角形.第一章知识梳理练习A卷
知识点1等腰三角形
一、选择题
1.一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（ ）
A.12 B.16 C.20 D.16或20
答案：C
2.在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，则BC=（ ）
A.5 B.6 C.8 D.10
答案：A
3.已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.若用反证法来证明这个结论，可以假设（ ）
A.∠A=∠B B.AB=BC C.∠B=∠C D.∠A=∠C
答案：C
4.已知等腰三角形的一个内角的度数是70°，则另外两个内角的度数分别为（ ）
A.55°，55° B.70°，40°
C.55°，55°或70°，40° D.以上都不对
答案：C
5.（江苏苏州）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=35°，则∠C=（ ）
A.35° B.45° C.55° D.60°
答案：C
二、填空题
6.如果等腰三角形的顶角为60°，底边长为5，则它的腰长为 .
答案：5
7.下列条件：
①有两个角等于60°的三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点各取一个外角）都相等的三角形；
④有一条边上的高和中线重合的三角形.
其中是等边三角形的是 .（填序号）
答案：①②③
三、解答题
8.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD.
求证：BD=DE.
答案：证明：∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，
∴∠DBC=30°.
又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED.
∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°，
∴∠DBC=∠DEC，∴DB=DE.
9.（浙江温州）如图，点C，E，F，B在同一条直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D.
（1）求证：AB=CD；
（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数.
答案：（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠C.
在△ABE和△DCF中，
∵∠A=∠D，∠C=∠B，AE=DF，
∴△ABE≌△DCF，∴AB=CD.
（2）解：∵△ABE≌△CDF，∴AB=CD，BE=CF.
∵AB=CF，∴AB=BE，∴△ABE是等腰三角形，
∴∠D=∠A=（180°-∠B）=75°.
知识点2直角三角形
一、选择题
10.下列是勾股数的一组是（ ）
A.4,5,6 B.5,7,12 C.3,4,5 D.12,13,15
答案：C
11.下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A.9，12，15 B.5，6，7 C.6，8，10 D.7，24，25
答案：B
12.已知∠A=37°，∠B=53°，则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.以上都有可能
答案：C
13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，如果∠A=50°，则∠DCB=( )
A.50° B.45°
C.40° D.25°
答案：A
14.下列条件：①∠A+∠B=∠C；②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3；③∠A=∠B=∠C；④∠A=∠B=2∠C.其中能确定△ABC为直角三角形的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：C
二、填空题
15.“对顶角相等”的逆命题是命题 （填“真”或“假”）.
答案：假
16.“等腰三角形两底角相等”的逆定理为 .
答案：两底角相等的三角形是等腰三角形
17.如图是一段楼梯，高BC是3 m，斜边AC是5 m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯 m.
答案：7
三、解答题
18.如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O.
求证：△ABC≌△DCB.
答案：.证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB.
知识点3线段的垂直平分线
一、选择题
19.如图，DE是△ABC中边AC的垂直平分线，若BC=18，AB=10，则△ABD的周长为( )
A.16 B.28 C.26 D.18
答案：B
20.（福建漳州）下列尺规作图，能判定AD是△ABC边上的高的是（ ）
答案：B
21.如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个村庄的距离相等，则这个集贸市场应建在( )
A.∠A与∠B两内角平分线的交点处
B.AC，BC两边中线的交点处
C.AC，BC两边高线的交点处
D.AC，BC两边垂直平分线的交点处
答案：D
二、填空题
22.如图，在△ABC中，已知AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且∠BAC=125°，则∠DAE= .
答案：70°
三、解答题
23.如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF.
求证：AD是BC的垂直平分线.
答案：证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°.
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD，∴∠B=∠C，∴AB=AC.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴AD是BC的垂直平分线.
知识点4角平分线
一、选择题
24.(广东茂名)如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到OB的距离为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
答案：A
25.到三角形三条边的距离相等的点是三角形（ ）
A.三条角平分线的交点 B.三条高的交点
C.三边的垂直平分线的交点 D.三条中线的交点
答案：A
二、填空题
26.如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF.若∠DBC=50°，则∠ABC= .
答案：100°
三、解答题
27.如图，在△ABC中，∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P.
求证：点P在∠BAC的角平分线上.
答案：证明：作PF⊥AB于点F，PG⊥BC于点G，PH⊥AC于点H.
∵∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P，
∴PF=PG，PH=PG，∴PF=PH，
又∵PF⊥AB，PH⊥AC，
∴点P在∠CAB的角平分线上.
1 / 7必刷题《第一章 三角形的证明》刷章测
1.等腰三角形一边长等于5，另一边长等于10，则它的周长是（ ）
A.20
B.25
C.20或25
D.15
2.[2020河北邯郸校级期中]尺规作图要求：I.过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ.作线段的垂直平分线；Ⅲ.过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ.作角的平分线如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是（ ）
A.①-Ⅳ,②-Ⅱ,③-I,④-Ⅲ
B.①-Ⅳ,②-Ⅲ,③-Ⅱ,④-I
C.①-Ⅱ,②-Ⅳ,③-Ⅲ,④-I
D.①-Ⅳ,②-I,③-Ⅱ,④-Ⅲ
3.下列各命题中，其逆命题是真命题的是（ ）
A.全等三角形的三个角分别对应相等
B.如果都是正数，那么它们的积也是正数
C.全等三角形的面积相等
D.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
4.如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACB=105°，则∠B的度数为（ ）
A.15°
B.20°
C.25°
D.40°
5.[2019湖南郴州一模]我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ）
A.7.5平方千米
B.15平方千米
C.75平方千米
D.750平方千米
6.[2020安徽合肥模拟]如图，在△ABC中，AB=AC，AE平分∠BAC，DE垂直平分AB，连接CE，∠B=70°，则∠BCE的度数为（ ）
A.55°
B.50°
C.40°
D.35°
7.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，以AB，AC为边向外分别作等边三角形ABD和等边三角形ACE.若AC=2，则BE的长为（ ）
A.6
B.
C.
D.5
8.用反证法证明“直线在同一平面内，且⊥，⊥，则∥”时，应假设 .
9.[2019辽宁凤城模拟]如图，在等腰△ABC中，AB=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E.若△BCE的周长为50，则底边BC的长为 .
10.如图，有一张直角三角形纸片，AC=7 cm，BC=11 cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为 .
11.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长，交BC于点D.下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的垂直平分线上；④=1：3.其中正确的有 .（填写序号）
12.[2020北京通州区校级期中]如图，在△ABC中，∠B=45°，点D是BC边的中点，DE⊥BC于点D，交AB于点E，连接CE.
（1）求∠AEC的度数；
（2）请你判断AE，BE，AC三条线段之间的等量关系，并证明你的结论.
13.如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于点E，交BC于点G，且AE∥BC.
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC的周长.
14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1.将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，且使DE始终与AB垂直.
（1）△BDF是什么三角形？请说明理由；
（2）设AD=，CF=，试求与之间的函数关系式；（不用写出自变量的取值范围）
（3）在（2）的条件下，当移动点D使EF∥AB时，求AD的长.
参考答案
1.答案：B
解析：当5为腰长，10为底长时，∵5+5=10，∴不能构成三角形；当10为腰长，5为底长时，∵5+10>10，∴能构成三角形，∴等腰三角形的周长为10+10+5=25.故选B.
2.答案：D
解析：由作图可得，①作角的平分线；②过直线外一点作这条直线的垂线；③作线段的垂直平分线；④过直线上一点作这条直线的垂线.正确的配对是①-Ⅳ，②-I，③-Ⅱ，④-Ⅲ.故选D.
3.答案：D
解析：A选项，全等三角形的三个角分别对应相等，其逆命题：三个角分别对应相等的两个三角形全等，是假命题；B选项，如果都是正数，那么它们的积也是正数，其逆命题：如果的积是正数，那么都是正数，是假命题；C选项，全等三角形的面积相等，其逆命题：面积相等的三角形全等，是假命题；D选项，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，其逆命题：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，是真命题.故选D.
4.答案：C
解析：设∠B=.∵AC=DC=DB，∴∠CAD=∠CDA=2，
∴∠ACB=180°-3=105°，解得=25°.故选C.
5.答案：A
解析：∵∴三条边构成了直角三角形，∴这块沙田面积为×5×500×12×500=7500000平方米）=7.5（平方千米）.故选A.
6.答案：B
解析：如图，连接BE.
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE.∵AB=AC，AE=AE，∴△BAE≌△CAE（SAS），∴EB=EC，∴∠EBC=∠ECB.∵∠ABC=70°，AC=AB，∴∠ACB=∠ABC=70°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=40°.∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=20°.∵DE垂直平分AB，∴AE=EB，∴∠ABE=∠BAE=20°，∴∠BCE=∠EBC=∠ABC-∠ABE=70°-20°=50°.故选B.
7.答案：B
解析：如图，连接CD.∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，∴△ABE≌△ADC（SAS），∴DC=BE.∵∠ABC=30°，∠ABD=60°，∴∠DBC=∠ABD+∠ABC=60°+30°=90°.∵△ABD是等边三角形，AC=2，∠BAC=90°，∠ABC=30°，∴BC=4，BD=AB=.在Rt△DBC中，
DC=BE=DC=2.故选B.
8.答案：不平行
解析：反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，因此用反证法证明“∥”时，应先假设与不平行.
9.答案：23
解析：∵DE垂直且平分AB，∴BE=AE，∴BE+CE=AC=AB=27，∴BC=50-27=23.
10.答案：cm
解析：∵将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，∴AD=BD.设CD=cm.则AD=BD=BC-CD=（11-）cm.在Rt△ACD中，根据勾股定理，得，即，解得=.∴CD的长为 cm.
11.答案：①②③④
解析：①如图，连接NP，MP.
在△ANP与△AMP中，∴△ANP≌△AMP（SSS），∴∠CAD=∠BAD，即AD是∠BAC的平分线，故正确.
②∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°，故正确.
③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的垂直平分线上，故正确.
④∵在Rt△ACD中，∠2=30°）∴CD=AD，∴BC=BD+CD=AD+AD=AD，∴
，故正确.故答案为①②③④.
12.答案：（1）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，∴DE是线段BC的垂直平分线，∴EB=EC，∴∠ECB=∠B=45°，∴∠AEC=∠ECB+∠B=90°.
（2）.证明如下：∵∠AEC=90°，∴.∵，∴.
解析：
13.答案：（1）【证明】∵AE∥BC，∴∠B=∠DAE，∠C=∠CAE.∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=∠CAE，∴∠B=∠C，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.
（2）【解】∵F是AC的中点，∴AF=CF.∵AE∥BC，∴∠C=∠CAE.在△AFE和△CFG中，∴△AFE≌△CFG（ASA），∴GC=AE=8.∵GC=2BG，∴BG=4，∴BC=12，∴△ABC的周长为AB+AC+BC=10+10+12=32.
解析：
14.答案：（1）△BDF是等边三角形.理由如下：∵ED⊥AB，∠EDF=30°，∴∠FDB=60°.∵∠A=30°，∠ACB=90°，∴∠B=60°，∴△BDF是等边三角形.
（2）∵∠A=30°，∠ACB=90°，∴AB=2BC=2.∵CF=，∴BF=1-.
∵△BDF是等边三角形，∴BD=BF=1-，∴∴
（3）当EF∥AB时，∠CEF=30°，∠FED=∠EDA=90°，∴CF=EF，EF=DF，
∴CF=∵DF=BF=1-，∴即
解析：必刷题《专题1 全等三角形判定的常见模型》剧难关
知识点一 “平移”模型
1.如图，D，C，F，B四点在一条直线上，AB=DE，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为C，F，CD=BF.求证：
（1）△ABC≌△EDF；
（2）AB∥DE.
2.如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC= EF.
（1）求证：△ABC≌DEF；
（2）若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数.
知识点二 “轴对称”模型
3.如图所示，点B，F，C，E在同一直线上，AB⊥BE，DE⊥BE，连接AC，DF，且AC=DF，BF=CE，求证：AB=DE.
4.[2019山西阳泉校级期末]如图，在四边形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，EA⊥AB，EC⊥BC，且EA=EC.求证：AD=CD.
知识点三 “旋转”模型
5.[难]已知，如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，E，F分别是线段BC，CD上的点，且BE+FD=EF.求证：∠EAF=∠BAD.
6.如图，△AOB，△COD是等腰直角三角形，点D在AB上，
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）若AD=3，BD=1，求CD.
参考答案
1.答案：【证明】（1）∵AC⊥BD，EF⊥BD，∴△ABC和△EDF为直角三角形.
∵CD=BF，∴CF+BF=CF+CD，即BC=DF.在Rt△ABC和Rt△EDF中，∴Rt△ABC≌Rt△EDF（HL）.
（2）由（1）可知△ABC≌△EDF，∴∠B=∠D.∴AB∥DE.
解析：
2.答案：（1）【证明】∵AC=AD+DC，DF=DC+CF，且AD=CF，∴AC=DF.在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS）.
（2）【解】由（1）可知，∠F=∠ACB.∵∠A=55°，∠B=88°，∴∠ACB=180°-（∠A+∠B）=180°-（55°+88°）=37°，∴∠F=∠ACB=37°.
解析：
3.答案：【证明】∵BF=EC，∴BC=EF.∵AB⊥BE，DE⊥BE，∴∠B=∠E=90°.
在Rt△ABC和Rt△DEF中，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），∴AB=DE.
解析：
4.答案：【证明】∵EA⊥AB，EC⊥BC，∴∠EAB=∠ECB=90°.在Rt△EAB与Rt△ECB中∴Rt△EAB≌Rt△ECB（HL），∴AB=CB，∠ABE=∠CBE.在△ABD与△CBD中，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴AD=CD.
解析：
5.答案：【证明】把△ADF绕点A顺时针旋转∠DAB的度数得到△ABG，AD旋转到AB，AF旋转到AG，如图，∴AG=AF，BG=DF，∠ABG=∠D，∠BAG=∠DAF.∵∠ABC+∠D=180°，∴∠ABC+∠ABG=180°，∴点G，B，C共线.∵BE+FD=EF，∴BE+BG=GE=EF.在△AEG和△AEF中，∴△AEG≌△AEF，∴∠EAG=∠EAF，而∠BAG=∠DAF.∴∠EAB+∠DAF=∠EAF，∴∠EAF=∠BAD.
解析：
6.答案：（1）【证明】∵△AOB，△COD是等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD.在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD（SAS）.
（2）【解】∵△AOB，△COD是等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠AOB=∠COD=90°，∴∠B=∠OAB=45°.∵△AOC≌△BOD，BD=1，∴AC=BD=1，∠CAO=∠B=45°，∴∠CAD=45°+45°=90°.在Rt△CAD中，由勾股定理，得CD=
解析：必刷题《专题2线段的垂直平分线与角平分线的应用》刷难关
知识点一 线段的垂直平分线的应用
1.[2020山东济南期末]如图，已知∠BAC=60°，∠B=80°，DE垂直平分AC交BC于点D，交AC于点E.
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AB=10，BC=12，求△ABD的周长.
2.[2019陕西榆林定边期末，较难]如图，直线，交于点O，点P关于，的对称点分别为，.
（1）若，相交所成的锐角∠AOB=60°，则= ；
（2）若OP=3，=5，求△的周长.
知识点二 角平分线的应用
3.如图，△ABC中，∠ACD=90°，AB=10，AC=6，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E.
（1）线段AD与CE是否垂直？说明理由.
（2）求△BDE的周长.
4.[较难]如图，在△ABC与△AED中，∠C=∠E，BC=DE，CA=EA，过点A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG.
（1）求证：GA平分∠DGB；
（2）若，AF=，求FG的长.
知识点三 线段的垂直平分线与角平分线的综合应用
5. [中]如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AB于点F，交BC的延长线于点E.求证：
（1）∠EAD=∠EDA；
（2）DF∥AC；
（3）∠EAC=∠B.
参考答案
1.答案：【解】（1）∵∠BAC=60°，∠B=80°，∴∠C=180°-∠BAC-∠B=40°.∵DE垂直平分AC，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C=40°，∴∠BAD=60°-40°=20°.
（2）由（1）知DA=DC，∴△ABD的周长为AB+AD+BD=AB+BC=10+12=22.
解析：
2.答案：（1）120°（2）【解】∵点P关于的对称点分别为，∴分别是与的垂直平分线，∴.∵=5，∴△的周长为=3+3+5=11.
解析：∵点P关于的对称点分别为，∴∠OA=∠AOP，∠OB=∠POB，∴∠=2（∠AOP+∠POB）=2∠AOB=120°.
3.答案：【解】（1）线段AD与CE垂直.理由如下：
在△AED和△ACD中，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC=6，DE=DC，∴AD是CE的垂直平分线，∴线段AD与CE垂直.
（2）∵∠ACD=90°，AB=10，AC=6，BE=AB-AE=4，∴BC= =8，∴△BDE的周长为BD+BE+DE=BC+BE=12.
解析：
4.答案：【证明】如图，过点A作AH⊥BC于点H.∵在△ABC与△ADE中，∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∵AF⊥DE，
∴∴AF=AH.又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AG=AG，∴Rt△AFG≌Rt△AHG（HL），∴∠AGF=∠AGH.即GA平分∠DCB.
（2）【解】∵△ABC≌△ADE，∴AB=AD.又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AF=AH，∴Rt△ADF≌Rt△ABH（HL），∴∵Rt△AFG≌Rt△AHG，∴Rt△AFG的面积为3.∴AF=，∴解得FG=4.
解析：
5.答案：【证明】（1）∵EF是AD的垂直平分线，∴AE=DE，∴∠EAD=∠EDA.
（2）∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠FAD=∠CAD，∴∠FDA=∠CAD，∴DF∥AC.
（3）∵∠EAC=∠EAD-∠CAD，∠B=∠EDA-∠BAD，∠BAD=∠CAD，∠EAD=∠EDA，∴∠EAC=∠B.
解析：
